蘇教版初中數(shù)學二次函數(shù)最值問題解法

江蘇省常州市新北區(qū)實驗中學 潘麗琴

蘇教版初中數(shù)學二次函數(shù)最值問題解法

江蘇省常州市新北區(qū)實驗中學 潘麗琴

二次函數(shù)是初中數(shù)學的重要內(nèi)容，特別是它的最值問題，更是教師“教”與學生“學”的重難點。筆者通過調(diào)查法、歸納總結(jié)等方法，對蘇教版初中數(shù)學二次函數(shù)最值問題的解法進行了歸納，以期學生能夠從容不迫地面對、解決二次函數(shù)的最值問題。

蘇教版；二次函數(shù)；最值問題；解法

二次函數(shù)的最值問題是初中數(shù)學教學的重難點，而大部分學生在面對“二次函數(shù)最值問題”的時候，往往找不到“著手點”，導致思維不暢，進而影響學生學習的質(zhì)量，長此以往，同樣不利于學生樹立學好數(shù)學的自信心。為了拓展學生的思維，鍛煉和提升學生的分析能力和解題能力，實現(xiàn)“柳暗花明又一村”，筆者舉例說明了常用的解法，具體如下：

一、換元法

二次函數(shù)最值問題已經(jīng)成為當前中考的熱點之一，它出現(xiàn)在試卷中的樣式呈現(xiàn)多樣性，因此，作為一線的教育工作者，要充分發(fā)揮自身的引導和指導作用，讓學生掌握解決最值問題的方法，從而抓住著手點，輕松解決問題。這樣不僅能夠提高學生學習數(shù)學的自信心，還能夠拓展學生的思維。通過研讀中考試卷發(fā)現(xiàn)，其中有一類題目考查的知識點確實是“二次函數(shù)”，但是從表面來看，其涉及很多未知量，導致學生迷茫，找不到解決途徑。

【評注】從表面來看，題目中含有3個未知數(shù)，求含3個未知數(shù)的代數(shù)式的最小值。巧妙運用“換元法”，將其轉(zhuǎn)化成為有關(guān)未知數(shù)的二次代數(shù)式，之后構(gòu)建二次函數(shù)，利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求取最小值。這里需要特別注意的就是t的取值范圍。

二、圖形法

圖形法又被稱之為“數(shù)形結(jié)合法”，它往往是根據(jù)問題的已知條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而將數(shù)量關(guān)系與空間形式巧妙地結(jié)合起來，進一步根據(jù)這種“結(jié)合”，抓住題目解決的“切入點”，形成解題思路，從而準確、快速地解決問題。但是由于受到各種因素的影響，學生一般會忽視“圖形法”，甚至認為作圖是一件非常費力的事情，導致“圖形法”未能物盡其用。新課改背景下，教育工作者要抓住機遇，引導學生認識到“圖形法”的價值和意義，幫助學生擺脫不正確的思想觀念，且能夠在實踐中合理運用該方法，提高自身的解題效率，同時提高自身的正確率。

圖1

【評注】要想順利解決該類題目，首先要將問題轉(zhuǎn)化成為求取“b”的最大值與最小值；其次就是根據(jù)題意化簡，得到然后結(jié)合二次函數(shù)的相關(guān)知識點，畫出簡圖，求得“b”的最大值與最小值。乍看之下，這類題目并不是二次函數(shù)的最值問題，但實質(zhì)仍舊是二次函數(shù)的最值問題，同時還考查了學生對于“圖形法”的掌握情況。

三、配方法

配方法又被稱之為“公式法”。結(jié)合二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)可以歸納出：對于二次函數(shù)皆為常數(shù)，且y有最大值，且考試中，往往會將其置放于實際問題中，讓學生利用二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)解決實際問題，從而鍛煉和提高學生利用知識解決實際問題的能力。

例3 某一個玩具廠計劃生產(chǎn)一種玩具兔子，每天最高的生產(chǎn)量為40只，且每日生產(chǎn)的兔子能夠全部售出。已知生產(chǎn)x只兔子的成本為R（元），每只玩具兔子的售價為P（元），并且R與x的關(guān)系式為R=500+30x，P與x的關(guān)系式為P=170-2x。求：

（1）當日產(chǎn)量為多少時，日獲取利潤可以得到1750元？

（2）當日產(chǎn)量為多少時，可以獲取最大利潤？最大利潤是多少元？

【分析】面對該類型題目，首先應該構(gòu)建一個以“x”為自變量的函數(shù)，結(jié)合題意可以得出：結(jié)合二次函數(shù)的相關(guān)形式，函數(shù)具有最大值，通過配方法可以得到：可以得到日產(chǎn)量為35只時，可以獲得最大利潤，且最大利潤為1950元。

【評注】遇到實際問題時，要結(jié)合題意構(gòu)建二次函數(shù)，根據(jù)“配方法”可以求得最值。

二次函數(shù)最值問題是初中數(shù)學的重難點，但是通過歸納總結(jié)可知二次函數(shù)最值問題的解決方法還是有規(guī)律性的，解決問題中，往往會運用到換元法、圖形法以及配方法，為高中階段的進一步學習奠定良好的基礎。作為一線的教育工作者，要認識到初中生的生理和心理特征，充分發(fā)揮自身的引導和指導作用，及時做好解法的歸納工作。

[1]梅寧寧．初中數(shù)學最值問題的解法探究[J]．寧波教育學院學報，2016（06）．

[2]趙秀琴． 初中數(shù)學最值問題的解法[J]．考試周刊，2012（44）．

[3]廖青馨．初中二次函數(shù)典型題的解題技巧[J]．經(jīng)營管理者，2016（30）．