考慮滾珠尺寸誤差時滾珠螺旋副的受力和壽命分析

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(華東理工大學機械與動力工程學院,上海 200237)

考慮滾珠尺寸誤差時滾珠螺旋副的受力和壽命分析

甄妮,安琦

(華東理工大學機械與動力工程學院,上海200237)

以外循環(huán)式滾珠螺旋副為研究對象,通過力學分析建立了一種考慮滾珠尺寸誤差、計算每個滾珠受力及滾珠螺旋副壽命的計算模型。結合一個具體的算例,研究了只存在一個滾珠誤差、所有滾珠存在隨機性誤差兩種情況下尺寸誤差對滾珠受力情況及疲勞壽命的影響,繪制了滾珠最大接觸應力曲線,計算了滾珠螺旋副的疲勞壽命。研究結果表明:提高滾珠加工精度,滾珠螺旋副的壽命也隨之增加。

滾珠螺旋副; 尺寸誤差; 力學分析; 疲勞壽命

滾珠螺旋副是在螺桿齒槽和螺旋套齒槽之間設置適量滾珠作為中間傳動體的螺旋傳動方式。與滑動螺旋副相比,滾珠螺旋副具有較高的傳動效率和較長的使用壽命。滾珠在加工過程中存在尺寸誤差,而目前對滾珠螺旋副進行力學分析及壽命計算中大多沒有考慮這一因素。

黃琴等[1]對封閉槽螺母滾動螺旋副的彈性接觸變形進行分析與推導,建立的模型忽略螺旋角、載荷分布不均的影響,推導出在軸向載荷作用下,滾珠螺旋副的軸向彈性位移量的計算公式和簡化公式。姜洪奎[2]建立了滾珠絲杠副的力學模型,并利用有限元方法驗證力學模型,分析了螺旋升角、接觸角對滾珠絲杠副力學性能的影響。翁健光等[3]以赫茲接觸理論為基礎,假設滾珠受力情況相同,建立滾珠絲桿副的接觸變形與剛度的數(shù)學模型。戰(zhàn)小明[4]在Pro-E中建立了滾珠絲桿模型,并導入仿真軟件進行動力學分析,得到變形與受力的關系。趙國平等[5]以短時高過載精密滾珠絲桿副為研究對象,結合赫茲接觸理論和彈性變形理論,假設軸向載荷均勻地分配給每個滾珠,得到高承載工況下單螺母滾珠絲桿副的接觸變形的理論計算方法,結果表明絲桿副塑性變形量遠小于彈性變形量。王琦等[6]對滾珠絲桿空間運動過程進行了分析,假設滾珠均勻受載,利用Matlab分析了螺旋升角、接觸角、載荷對滾珠螺旋接觸變形和接觸剛度的影響。張佐營[7]假設滾珠受力相同,得到滾珠螺旋副軸向載荷與變形關系,分析了只有一個滾珠存在誤差時的各滾珠受力情況。Mei等[8]研究了誤差對滾珠螺旋副載荷分布的影響,認為負誤差使?jié)L珠受載減小,當負誤差達到某一值時,滾珠與齒槽不接觸,不存在接觸受力;正誤差使?jié)L珠受載增加。Xu等[9]進一步進行研究,提出一種改進計算模型,降低力的突變程度,并分析了螺距對載荷分布的影響。Shimoda[10]分析了載荷分布和制造誤差對滾動螺旋副剛度的影響,尺寸誤差使各滾珠接觸變形發(fā)生變化,而滾珠螺旋副的剛度與最大接觸變形有關。Bertolaso等[11]通過理論分析、實驗、數(shù)值分析3種方法研究了滾動螺旋副載荷分布情況,并且分析了接觸角對受力的影響。

通過以上文獻分析可知,目前研究中構建的力學模型,大多是假設滾珠不存在誤差,每個滾珠受力相同,但在實際加工過程中,滾珠一定存在誤差,從而使每個滾珠受力不同,這將對使用壽命產(chǎn)生影響。本文通過對滾珠螺旋副的力學分析,在考慮滾珠尺寸誤差的基礎上,構建能對每一個滾珠進行受力計算的力學模型,利用數(shù)值模擬的方法進行計算研究,探尋滾珠尺寸誤差對滾珠螺旋副受力及疲勞壽命的影響規(guī)律。

1 力學模型的構建

1.1滾珠螺旋副整體受力分析

本文對滾珠螺旋副進行力學建模時首先引入如下假設:

(1) 滾珠螺旋副只受到軸向載荷的作用;

(2) 滾珠直徑存在誤差,但滾珠只發(fā)生尺寸誤差,外形仍保持為球形;

(3) 滾珠螺旋副的受力均在彈性變形范圍;

(4) 滾珠螺旋副轉速較低,忽略離心力和陀螺力矩。

滾珠螺旋副結構如圖1(a)所示。工作過程中,螺旋套固定在機座上,螺桿轉動,加在螺桿上的軸向力為Fa(包含螺桿自重),滾珠與螺桿及螺旋套發(fā)生接觸產(chǎn)生彈性變形,螺桿產(chǎn)生軸向位移δa,nj為螺桿旋轉速度。對第i個滾珠受力分析如圖1(b)所示,滾珠與螺桿的接觸力為Pji,滾珠與螺旋套的接觸力Poi。

螺桿軸向平衡方程如下:

(1)

其中:z為滾珠數(shù);α為螺旋升角;βi為第i個滾珠的接觸角。

圖1 軸向力作用下滾珠螺旋副的受力示意圖Fig.1 Ball screw load schematic with axial load

1.2滾珠受力及變形分析

兩彈性體接觸未發(fā)生變形時為點接觸(圖2實線部分),受力發(fā)生赫茲接觸,接觸點變成一個平面(圖2虛線部分),兩彈性體均產(chǎn)生趨近量,分別為δ1、δ2。由圖2可知,兩彈性體間發(fā)生赫茲接觸產(chǎn)生赫茲接觸變形量δ,δ=δ1+δ2。

圖2 兩彈性體發(fā)生赫茲接觸Fig.2 Hertz contact deformation

對第i個滾珠進行分析。如圖3所示,不考慮滾珠離心力時,滾珠與螺桿齒槽和螺旋套齒槽的接觸角相同,螺桿齒槽曲率中心Oj和螺旋套齒槽曲率中心Oo與滾珠球心OD共線,此時接觸點為E和F,β0為未變形時的初始接觸角,螺旋套齒槽曲率中心和螺桿齒槽曲率中心間距離為A。

A=ro+rj-D

(2)

其中:ro為螺旋套齒槽曲率半徑;rj為螺桿齒槽曲率半徑;D為滾珠直徑。

圖3 施加載荷后的變形關系Fig.3 Contact deformation with axial load

(3)

滾珠與齒槽間赫茲接觸變形量δni由兩部分組成,一部分為滾珠與螺桿齒槽間接觸變形量δni,j,另一部分為滾珠與螺旋套齒槽接觸變形δni,o。則δni可表示為

(4)

由幾何關系可得接觸角βi為

(5)

由赫茲接觸理論,Pji與δni的關系為

(6)

(7)

其中:a、b為螺桿及螺旋套上的接觸橢圓長半軸和短半軸。

將式(4)～(6)帶入式(1)得到

(8)

1.3考慮滾珠誤差的計算模型

考慮滾珠尺寸誤差時,每個滾珠的受力情況發(fā)生改變。設Ti表示第i個滾珠的尺寸誤差,尺寸誤差為正誤差時Ti為正值;尺寸誤差為負誤差時Ti為負值。由于每個滾珠的直徑不同,產(chǎn)生的接觸變形不同,受力也不同,所以當齒槽與部分滾珠發(fā)生接觸時,可能有一些滾珠由于尺寸偏小而未與齒槽發(fā)生接觸,不存在接觸載荷。

對第i個滾珠進行分析,如圖4所示。

若δni+Ti>0,說明螺桿齒槽與螺旋套齒槽之間趨近量大于滾珠尺寸誤差,此時滾珠與螺桿、螺旋套均接觸,滾珠受載,但趨近量發(fā)生變化,則考慮滾珠尺寸誤差時的接觸變形量(δni)T可表示為(δni)T=δni+Ti;若δni+Ti<0,說明螺桿齒槽與螺旋套齒槽之間趨近量小于滾珠尺寸誤差,此時滾珠與螺桿、螺旋套均不接觸,滾珠不受載,(δni)T=0。

考慮滾珠尺寸誤差時,相對于不考慮滾珠尺寸誤差的求解過程,需對滾珠是否產(chǎn)生接觸變形、接觸

圖4 考慮滾珠尺寸誤差的接觸變形Fig.4 Contact deformation considering dimension errors

變形為多少進行判斷,計算過程如下:

(1) 給定軸向載荷Fa、滾珠螺旋副結構參數(shù)、滾珠誤差序列Ti、計算精度ERR,迭代數(shù)值Δδa;

(2) 給軸向位移δa賦初值;

(3) 利用式(4)和式(5)計算螺桿齒槽與螺旋套齒槽間接觸變形δni及接觸角βi;

(4) 對滾珠是否產(chǎn)生接觸變形進行判斷,若δni+Ti<0,則滾珠不受載,(δni)T=0;若δni+Ti>0,則滾珠受載,(δni)T=δni+Ti,將接觸變形帶入式(6)和式(7)計算Pji和σmax,i;

利用Matlab計算上述過程,程序流程見圖5。

1.4疲勞壽命計算方法

材料疲勞曲線的指數(shù)方程:

(9)

其中:N為疲勞壽命循環(huán)次數(shù);σ為N對應的接觸應力;σ0為循環(huán)基數(shù);N0為對應的接觸疲勞極限。當硬度 HRC=60時,σ0=2 450 N/mm2,N0=108,當鋼受接觸應力時,m=6。

對第i個滾珠進行運動分析如圖6所示,其中D0為滾珠中心圓直徑,DF為F點中心圓直徑。

螺旋套固定不動,螺桿以轉速nj旋轉,接觸點E為滾珠運動瞬心,vj為接觸點F的線速度,vD為滾珠中心線速度,由圖6可知速度關系如下:

vD=vj/2

(10)

圖5 Matlab計算流程圖Fig.5 Matlab calculation flow chart

圖6 滾珠運動分析Fig.6 Kinematics analysis of ball

由圖6中幾何關系及式(10)計算滾珠繞螺桿公轉轉速nDg為

(11)

滾珠繞螺桿公轉的同時自轉,設其自轉轉速為nDz,滾珠與齒槽間無滑動,在接觸點F上螺桿和滾珠的相對線速度相同,則滾珠自轉轉速nDz為

1.2.1 醫(yī)務工作者職業(yè)幸福感調查問卷 該問卷由李桂華等[6]編制，包含5個維度24個條目：身心健康狀況(6個條目)；價值/能力體現(xiàn)(6個條目)；社會支持(5個條目)；工作環(huán)境(4個條目)；經(jīng)濟收入(3個條目)。采用Likert 5級評分法：1分為完全不符合，2分為基本不符合，3分為不確定，4分為基本符合，5分為完全符合?？偡?20分，分數(shù)越高表示職業(yè)幸福感越強。

(12)

滾珠每自轉一圈,滾珠上某一定點接觸齒槽兩次,則通過式(9)可以計算出疲勞壽命對應的循環(huán)次

數(shù),進而計算出以小時為單位的疲勞壽命t為

(13)

2 算例分析

2.1參數(shù)設置

選用3210-4型滾珠螺旋副進行分析,其尺寸及性能參數(shù)見表1,其中c為工作圈數(shù)。滾珠材料為軸承鋼GCr15。

表1 滾珠螺旋副性能參數(shù)

表1中工作圈數(shù)存在半圈是因為滾珠螺旋副中有部分滾珠在返回裝置中,不參與工作,不承受軸向載荷。本算例中共48個滾珠,工作圈數(shù)2.5,則40個滾珠在滾道中,承受軸向載荷,8個滾珠在返回裝置中,不承受軸向載荷。以第1個承受軸向載荷的滾珠為1號滾珠,41到48號滾珠不承受軸向載荷。

不考慮滾珠尺寸誤差時,各滾珠受力相同,按照第1.4節(jié)中式(13)的計算方法,利用Matlab計算各滾珠受力。設軸向載荷為5 kN,計算得到滾珠與螺桿間最大接觸應力為1 655 MPa,根據(jù)式(13)計算壽命:

t=

2.2只有一個滾珠存在誤差

2.2.1 只有一個滾珠存在負誤差 設軸向載荷為5 kN,假設只有第3個滾珠出現(xiàn)3.0 μm的負誤差,各滾珠與螺桿、螺旋套接觸時的最大接觸應力如圖7所示。由圖7可知,當?shù)?個滾珠存在負誤差時,這個滾珠受到的應力減小,齒槽中其他滾珠受到的應力隨之略微增大,以保證與軸向力平衡。返回裝置中滾珠不承受軸向力。

由于一個滾珠存在3.0 μm負誤差使正常滾珠受力增大,對壽命產(chǎn)生影響,此時滾珠與螺桿間最大接觸應力為1 665 MPa,根據(jù)式(13)計算壽命:

t=

當負誤差為0～3.0 μm時,齒槽中正常滾珠(齒槽中除3號滾珠以外)和齒槽中誤差滾珠(3號滾珠)最大接觸應力如圖8所示。由圖8可知,齒槽中隨著一個滾珠負誤差的增大,誤差滾珠受到的應力減小,而其他正常滾珠受到的應力逐漸增大,而應力增大會導致壽命降低。所以隨著負誤差的增大,滾珠受到的最大應力增大,壽命降低。

圖7 第3個滾珠存在負誤差時各滾珠最大接觸應力Fig.7 Maximum stress of every ball when No.3 ball has negative error

2.2.2 只有一個滾珠存在正誤差 設軸向載荷為5 kN,假設只有第3個滾珠出現(xiàn)3.0 μm的正誤差,各滾珠與螺桿、螺旋套接觸時的最大接觸應力如圖9所示。由圖9可知,當?shù)?個滾珠存在正誤差時,則這個滾珠受到的應力增大,齒槽中其他滾珠受到的應力隨之略微減小,以保證與軸向力平衡。返回裝置中滾珠不承受軸向力。

圖9 第3個滾珠存在正誤差時各滾珠最大接觸應力Fig.9 Maximum stress of every ball when No.3 ball has positive error

由于一個滾珠存在3.0 μm正誤差使誤差滾珠受力增大,對壽命產(chǎn)生影響,此時滾珠與螺桿間最大接觸應力為1 931 MPa,根據(jù)式(13)計算壽命:

t=

當正誤差范圍為0～3.0 μm時,齒槽中正常滾珠(齒槽中除3號滾珠以外)和齒槽中誤差滾珠(3號滾珠)最大接觸應力如圖10所示。由圖10可知,齒槽中隨著一個滾珠正誤差的增大,正常滾珠受到的應力逐漸減小,誤差滾珠受到的應力增大,而應力增大會導致壽命降低。所以隨著正誤差的增大,滾珠受到的最大應力增大,壽命降低。綜上,齒槽中任意滾珠存在誤差時,其接觸載荷發(fā)生突變,影響接觸應力分布,并使齒槽中其他滾珠受力發(fā)生變化。存在負誤差時,正常滾珠應力增大壽命減小;存在正誤差時,誤差滾珠應力增大壽命減小,且正誤差對壽命的影響較大,返回裝置中的滾珠不受載。

圖10 正誤差與接觸應力關系Fig.10 Relationship between positive error and maximum stress

2.3所有滾珠存在隨機性誤差

實際加工中每個滾珠都可能存在誤差,誤差具有隨機性,本文在分析時利用Matlab中的函數(shù)隨機生成一組滾珠直徑誤差,模擬實際滾珠的誤差分布。由于各滾珠誤差存在隨機性,每個滾珠的誤差不同,受力和壽命也不同。返回裝置中的滾珠不承受軸向載荷。

當滾珠誤差范圍為±3.0 μm時,隨機生成的各滾珠尺寸誤差值如圖11所示,滾珠不斷轉動的過程中,參與受載的滾珠不斷變化,每個滾珠的受力也不斷變化。設軸向載荷為5 kN,圖11為滾珠分別轉過1、2、3圈時各滾珠與螺桿、螺旋套間最大接觸應力。

由圖11可知,在齒槽中受力最大的滾珠始終是有最大正誤差的滾珠。每個滾珠轉動一圈的過程都會經(jīng)歷在齒槽中承受載荷及在返回裝置中不承受載荷,22號滾珠存在最大的正誤差,工作過程中受力最大。圖12示出了22號滾珠完成一個循環(huán)的最大接觸應力變化。由圖12可知,最大接觸應力的峰值出現(xiàn)在滾珠轉過292.5°,滾珠與螺桿間的最大接觸應力為1 945 MPa,根據(jù)式(13)計算壽命:

t=

由計算結果可知,相對于無誤差情況,考慮滾珠尺寸誤差時,疲勞壽命明顯降低。

圖11 一個循環(huán)中各個滾珠最大接觸應力Fig.11 Maximum stress of every ball in a cycle

滾珠誤差范圍為±2.0 μm時,隨機生成的各滾珠尺寸誤差如圖13所示,各滾珠與螺桿齒槽、螺旋套齒槽間最大接觸應力如圖13所示,與誤差范圍在±3.0 μm相比,最大接觸應力的變化范圍縮小。

由圖13可知,39號滾珠存在最大正誤差,其從初始位置經(jīng)過一個循環(huán)回到初始位置的最大接觸應力變化如圖14所示。最大接觸應力的峰值出現(xiàn)在滾珠轉過1 057.5°,滾珠與螺桿間的最大接觸應力為1 864 MPa,根據(jù)式(13)計算壽命:

t=

計算結果表明,當誤差范圍在±2.0 μm時,與誤差范圍在±3.0 μm相比,疲勞壽命增加。

圖12 22號滾珠經(jīng)過一個循環(huán)時在各位置的最大接觸應力Fig.12 Maximum stress of No.22 ball at each location in a cycle

圖13 誤差范圍為±2.0 μm時各滾珠接觸應力Fig.13 Maximum stress of every ball when error range is ±2.0 μm

圖14 39號滾珠經(jīng)過一個循環(huán)時在各位置的最大接觸應力Fig.14 Maximum stress of No.39 at each location ball in a cycle

根據(jù)機械設計手冊[13],滾珠加工精度G有10個等級,其對應的誤差見表2,按照以上分析過程,計算不同加工精度下滾珠螺旋副壽命如圖15所示。

表2 各精度下滾珠尺寸誤差

由圖15可知,當精度越高時,滾珠尺寸誤差范圍越小,滾珠螺旋副壽命越長。因此在設計滾珠螺旋副時,可以根據(jù)本文的算法思想,由滾珠螺旋副壽命要求來選擇精度,然后按照本文的計算方法得到每一個滾珠的接觸應力,從而計算出滾珠螺旋副壽命,再與疲勞壽命要求進行對比后確認所選的精度是否可以滿足要求,這對實際應用很有意義。

圖15 不同加工精度的滾珠螺旋副疲勞壽命Fig.15 Fatigue life of ball screw under different accuracy

3 結 論

(1) 通過對滾珠螺旋副進行力學分析,研究了滾珠在工作過程中受力計算的力學模型,建立了能夠在考慮滾珠尺寸誤差的情況下計算每一個滾珠受力的計算方法,結合滾珠螺旋副滾珠的運動學分析及疲勞壽命計算方法,實現(xiàn)了在考慮滾珠尺寸誤差條件下對滾珠螺旋副滾珠疲勞壽命的計算。

(2) 結合一具體算例,計算研究了只有一個滾珠存在尺寸誤差時各滾珠受力及壽命。當只有一個滾珠存在正誤差時,該滾珠的受力將會明顯增大,并且隨誤差的增加而增加,其他滾珠的受力將會減小,但由于該滾珠的受力增加,從而使得螺旋副的壽命降低;當只有一個滾珠存在負誤差時,該滾珠的受力將會減小,其他滾珠的受力將會增大,也會導致螺旋副疲勞壽命的降低。

(3) 結合算例研究了滾珠存在隨機性誤差時各個滾珠受力及壽命。隨機性誤差使每個滾珠受力都不同,同時在滾珠不斷轉動的過程中,參與受載的滾珠不斷變化,每個滾珠的受力也不斷變化,但最大接觸應力出現(xiàn)在有最大正誤差的滾珠上,同時這個滾珠的壽命最短,而這個滾珠的壽命決定滾珠螺旋副的壽命。

(4) 計算了隨機誤差分別在±3.0 μm和±2.0 μm范圍內各個滾珠的受力情況及滾珠螺旋副的壽命,結果表明縮小誤差范圍可以提高滾珠螺旋副壽命。在此基礎上得到滾珠加工精度與滾珠螺旋副壽命的關系曲線,該曲線表明隨著加工精度的提高,疲勞壽命增加,為實際工程中保證滾珠螺旋副的壽命提供了有益的參考。

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AnalysisofStressandFatigueLifeofBallScrewwithConsideringDimensionErrorsofBalls

ZHENNi,ANQi

(SchoolofMechanicalandPowerEngineering,EastChinaUniversityofScienceandTechnology,Shanghai200237,China)

Taking ball screw with outer cycling device as the research object,by means of mechanics analysis,a calculation model,which can calculate the contact stress of every ball and the fatigue life of ball screw with considering dimension errors,is put forward.With a concrete example,the influences of the dimension error on the contact stress and fatigue life of two situations,the first one is only one ball has dimension error and the second one is that every ball has random dimension error,are studied.The maximum contact stress of balls is mapped,and the fatigue life of ball screw is calculated.Meanwhile the influences of machining accuracy on the ball screw’s fatigue life have been analyzed.The fatigue life of ball screw increases as the machining accuracy increases.

ball screw; dimension errors; mechanics analysis; fatigue life

TH133.33

A

1006-3080(2017)05-0724-09

10.14135/j.cnki.1006-3080.2017.05.019

2016-12-27

上海市設計學 IV 類高峰學科項目(DA17014)

甄 妮(1992-),女,哈爾濱人,碩士生,研究方向為工程摩擦學。E-mail:1306673980@qq.com

安 琦,E-mail:anqi@ecust.edu.cn