十字軸式限滑差速器端曲面齒輪副節(jié)曲線研究

王白王，賈巨民，譚曉明

(1.陸軍軍事交通學(xué)院 研究生管理大隊(duì)，天津300161； 2.陸軍軍事交通學(xué)院 軍事物流系，天津300161)

● 車輛工程VehicleEngineering

十字軸式限滑差速器端曲面齒輪副節(jié)曲線研究

王白王1，賈巨民2，譚曉明1

(1.陸軍軍事交通學(xué)院 研究生管理大隊(duì)，天津300161； 2.陸軍軍事交通學(xué)院 軍事物流系，天津300161)

為研究十字軸式端曲面齒輪副限滑差速器的傳動(dòng)原理, 在研究平面非圓齒輪齒條傳動(dòng)的基礎(chǔ)上，闡述將齒條節(jié)曲線貼合在柱面上形成端曲面齒輪節(jié)曲線的原理，以此為依據(jù)建立差速器行星齒輪和半軸齒輪節(jié)曲線模型，并與通過(guò)空間坐標(biāo)變換公式推導(dǎo)的節(jié)曲線模型對(duì)比，驗(yàn)證原理的正確性。最后通過(guò)計(jì)算十字軸式限滑差速器行星齒輪與半軸齒輪的節(jié)曲線曲率，表明隨著鎖緊系數(shù)的增大，行星齒輪節(jié)曲線內(nèi)凹程度也顯著增加。

節(jié)曲線；端曲面齒輪副；非圓齒輪齒條；限滑差速器

軍用汽車經(jīng)常要在濕滑、泥濘和松軟路面等特殊路況下行駛，可能出現(xiàn)兩側(cè)驅(qū)動(dòng)輪與路面之間的附著條件相差過(guò)大，驅(qū)動(dòng)輪的一個(gè)輪子不能從滑動(dòng)中脫出，差速器無(wú)法正常使用的情況[1]。因此，需要使用具有限滑功能的差速器，提升軍用汽車在特殊路面上行駛時(shí)的通過(guò)性。

變傳動(dòng)比限滑差速器是勢(shì)壘式限滑差速器的一種，通過(guò)兩側(cè)半軸輪之間周期性的傳動(dòng)比波動(dòng)給差動(dòng)運(yùn)動(dòng)造成一個(gè)勢(shì)壘[2]，使得分配在兩側(cè)的轉(zhuǎn)矩不同，相較其他限滑差速器具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、性能可靠等優(yōu)點(diǎn)，便于戰(zhàn)場(chǎng)維護(hù)搶修，能滿足戰(zhàn)時(shí)或急時(shí)的軍用汽車技戰(zhàn)術(shù)要求。

端曲面齒輪副是一種新型的空間齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，運(yùn)動(dòng)學(xué)方面具有與非圓錐齒輪副相同的特點(diǎn)，可以傳遞相交軸的變傳動(dòng)比與動(dòng)力，在許多場(chǎng)合能夠替代非圓錐齒輪副進(jìn)行傳動(dòng)[3]。其與錐齒輪副相比有許多優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)用在限滑差速器中能夠改進(jìn)非圓錐齒輪副限滑差速器的部分缺陷：由于行星齒輪是非圓齒輪，設(shè)計(jì)方法相對(duì)成熟，相較非圓錐齒輪設(shè)計(jì)更為簡(jiǎn)便；加工方便，能夠進(jìn)行蝸桿磨齒精加工[4-5]；半軸齒輪輪齒分布在柱面上，端面為圓面，在齒輪底座設(shè)計(jì)驅(qū)動(dòng)軸穿孔時(shí)不會(huì)導(dǎo)致端面受力不均而對(duì)齒輪副強(qiáng)度造成太大影響；對(duì)軸向誤差不敏感[6]，不會(huì)因?yàn)檩S向裝配誤差而導(dǎo)致差速器產(chǎn)生嚴(yán)重的脈動(dòng)和沖擊等。但是端曲面齒輪副也有缺點(diǎn)，由于根切現(xiàn)象和齒頂變尖現(xiàn)象的存在，其齒寬有所限制，導(dǎo)致其輪齒強(qiáng)度有限[7]。因此，研究端曲面齒輪副在變傳動(dòng)比限滑差速器中替代非圓錐齒輪副的可行性，并研究其節(jié)曲線模型，是設(shè)計(jì)這種新型限滑差速器的基礎(chǔ)，對(duì)進(jìn)一步改善限滑差速器性能，提升我軍軍用汽車越野通過(guò)能力具有重要意義。

1 端曲面齒輪副傳動(dòng)原理分析

1.1節(jié)曲線的形成原理

端曲面齒輪副傳動(dòng)可以看作是由平面非圓齒輪齒條傳動(dòng)轉(zhuǎn)化而來(lái)。如圖1所示，非圓齒輪節(jié)曲線為S1，變傳動(dòng)比齒條節(jié)曲線為S2，坐標(biāo)系Oxyz和齒條節(jié)曲線S2固連，點(diǎn)Oc是非圓齒輪的旋轉(zhuǎn)中心，當(dāng)非圓齒輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)齒條沿軸平移。圖1(a)為兩齒輪節(jié)曲線初始位置，當(dāng)非圓齒輪順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)θ后，兩齒輪節(jié)曲線位置如圖1(b)所示，根據(jù)齒輪嚙合原理可知兩齒輪節(jié)曲線作純滾動(dòng)，設(shè)非圓齒輪參數(shù)方程為r(θ)，則變傳動(dòng)比齒條參數(shù)方程為

(1)

式中：x1和y1為齒條節(jié)曲線在坐標(biāo)系Oxyz下的縱、橫坐標(biāo)；r0為初始位置OOc時(shí)的長(zhǎng)。

將圖1的齒條節(jié)曲線貼合在半徑為R的圓柱上，產(chǎn)生圖2(a)所示的曲線S2′，齒條上直線OA1對(duì)應(yīng)柱面上曲線OA2，兩者長(zhǎng)度相等。如圖2(b)所示，令非圓齒輪旋轉(zhuǎn)軸和圓柱旋轉(zhuǎn)軸正交，節(jié)曲線S1和曲線S2′相切，則節(jié)曲線S1和曲線S2′作純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)。通過(guò)非圓齒輪和變傳動(dòng)比齒條的共軛關(guān)系可知，曲線S2′就是和非圓齒輪共軛的端曲面齒輪的節(jié)曲線。根據(jù)式(1)和圖2中的幾何關(guān)系，可以直接得到端曲面齒輪節(jié)曲線S2′的參數(shù)方程為

(2)

式中：

(3)

圖1 非圓齒輪和變傳動(dòng)比齒條節(jié)曲線

圖2 端曲面齒輪節(jié)曲線形成

1.2端曲面齒輪副傳動(dòng)參考面

端曲面齒輪副傳動(dòng)與錐齒輪副傳動(dòng)不同，其瞬軸面和節(jié)曲面不是同一個(gè)面，為使得端曲面齒輪副傳動(dòng)形象化，可類比面齒輪副傳動(dòng)，定義其瞬軸面、節(jié)曲面和節(jié)曲線的概念[9]。

圖3所示是端曲面齒輪副傳動(dòng)的示意圖，兩齒輪旋轉(zhuǎn)軸相交于點(diǎn)O，OP表示兩齒輪瞬時(shí)回轉(zhuǎn)軸，在瞬時(shí)回轉(zhuǎn)軸上兩齒輪相對(duì)速度為0；瞬時(shí)回轉(zhuǎn)軸在各自隨動(dòng)坐標(biāo)系下形成的直線族即為齒輪副傳動(dòng)的瞬軸面。端曲面齒輪副傳動(dòng)的瞬軸面為兩個(gè)錐面，當(dāng)兩齒輪繞各自軸線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩瞬軸面作純滾動(dòng)，其切觸線即為OP。O′P為非圓齒輪的節(jié)曲線，與非圓齒輪旋轉(zhuǎn)軸平行，非圓齒輪和端曲面齒輪的節(jié)曲面在傳動(dòng)過(guò)程中是相切觸的，直線O′P就是兩齒輪節(jié)曲面的切觸線。因此，OP齒輪各自隨動(dòng)坐標(biāo)系中形成的直線族即為節(jié)曲面。直線OP和瞬時(shí)回轉(zhuǎn)軸O′P交于點(diǎn)P，在直線O′P上僅點(diǎn)P處是純滾動(dòng)，其余點(diǎn)既有滾動(dòng)也有滑動(dòng)。因此，選取點(diǎn)P作為端曲面齒輪副傳動(dòng)的參考點(diǎn)，其在兩齒輪各自隨動(dòng)坐標(biāo)系下形成的曲線作為端曲面齒輪副傳動(dòng)的節(jié)曲線。

圖3 端曲面齒輪傳動(dòng)

1.3端曲面齒輪副傳動(dòng)規(guī)律

設(shè)非圓齒輪角速度為w1，節(jié)曲線上任一點(diǎn)速度為v1，與之相嚙合的端曲面齒輪角速度為w2，節(jié)曲線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的速度為v2，可知

(4)

根據(jù)齒輪嚙合原理，在嚙合節(jié)點(diǎn)有v1=v2，則端曲面齒輪和非圓齒輪傳動(dòng)比為

(5)

設(shè)端曲面齒輪副轉(zhuǎn)角為φ，則

(6)

因此

(7)

根據(jù)齒輪節(jié)曲線封閉條件[10]，可得

(8)

式中n1、n2分別為非圓齒輪和端曲面齒輪的節(jié)曲線的階數(shù)。當(dāng)傳動(dòng)比i21為周期函數(shù)時(shí)，節(jié)曲線封閉條件顯然成立。

2 端曲面齒輪副限滑差速器節(jié)曲線

2.1節(jié)曲線模型

由1.2節(jié)可知，為實(shí)現(xiàn)端曲面齒輪副限滑差速器的“限滑”功能，需要選擇合適的傳動(dòng)比。正弦曲線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的加速度規(guī)律為余弦規(guī)律，加速度曲線連續(xù)。由齒輪傳動(dòng)理論，傳動(dòng)比函數(shù)為周期函數(shù)，既保證節(jié)曲線的封閉，又使傳動(dòng)比周期性變化，同時(shí)余弦加速度規(guī)律又減小了沖擊[11]。因此，本文選用傳動(dòng)比規(guī)律為

(9)

式中：i21為行星齒輪與半軸齒輪傳動(dòng)比函數(shù)；z1為行星齒輪齒數(shù)；z2為半軸齒輪齒數(shù)；c為常數(shù)；φ為行星齒輪轉(zhuǎn)角。

為保證端曲面齒輪副限滑差速器擁有足夠的強(qiáng)度并能夠連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)，選用如圖4所示的十字軸式差速器結(jié)構(gòu)。該差速器由2個(gè)半軸齒輪、4個(gè)行星齒輪組成，用十字軸支撐。其中，行星齒輪為非圓齒輪，半軸齒輪為端曲面齒輪。

由式(5)可得到行星齒輪節(jié)曲線方程：

(10)

由式(2)可得到半軸齒輪節(jié)曲線方程：

(11)

式中θ、φ分別為行星齒輪和半軸齒輪轉(zhuǎn)角。

圖4 十字軸式變傳動(dòng)比限滑差速器結(jié)構(gòu)

行星齒輪和半軸齒輪節(jié)曲線模型，還可以通過(guò)齒輪嚙合原理和空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式得到[12]。

半軸齒輪與行星齒輪節(jié)曲線空間嚙合關(guān)系如圖5所示。坐標(biāo)系OfXfYfZf和OmXmYmZm為固定坐標(biāo)系，固定在齒輪傳動(dòng)的機(jī)架上；坐標(biāo)系Of′Xf′Yf′Zf′為隨動(dòng)坐標(biāo)系，與行星齒輪剛性固接，坐標(biāo)系Om′Xm′Ym′Zm′為隨動(dòng)坐標(biāo)系，與半軸齒輪剛性固接。初始狀態(tài)下，兩齒輪的固定坐標(biāo)系和隨動(dòng)坐標(biāo)系相重合。傳動(dòng)過(guò)程中，行星齒輪以角速度ω1繞其軸OfZf順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)；半軸齒輪以角速度ω2繞軸OmZm逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，其中平面YfOfZf到平面YmOmZm的距離為r0，平面XmOmYm到平面XfOfYf的距離為R。

圖5 半軸齒輪與行星齒輪節(jié)曲線空間嚙合圖

在齒輪傳動(dòng)的過(guò)程中，兩節(jié)曲線作純滾動(dòng)，令Qf為行星齒輪節(jié)曲線上的一點(diǎn)，Qm為半軸齒輪節(jié)曲線上的一點(diǎn)，當(dāng)行星齒輪轉(zhuǎn)過(guò)角度θ1，半軸齒輪轉(zhuǎn)過(guò)角度φ1時(shí)，Qf和Qm相重合，根據(jù)齒輪嚙合原理，兩節(jié)曲線在相切點(diǎn)的速度相等，因此有

(12)

因此行星齒輪節(jié)曲線方程為

(13)

式中z1和z2分別是行星齒輪和半軸齒輪齒數(shù)。

行星齒輪隨動(dòng)坐標(biāo)系Of′Xf′Yf′Zf′到半軸齒輪隨動(dòng)坐標(biāo)系Om′Xm′Ym′Zm′的齊次轉(zhuǎn)換矩陣為

Mm′f′=Mm′mMmfMff=

(14)

根據(jù)空間齒輪嚙合原理，行星齒輪節(jié)曲線上任一點(diǎn)Qf在其隨動(dòng)坐標(biāo)系Of′Xf′Yf′Zf′中的坐標(biāo)變換至半軸齒輪的隨動(dòng)坐標(biāo)系Om′Xm′Ym′Zm′中，即為半軸齒輪節(jié)曲線上相應(yīng)點(diǎn)Qm的坐標(biāo)，因此Qm的坐標(biāo)為

(15)

由此可得半軸齒輪的節(jié)曲線方程為

(16)

對(duì)比式(11)和式(16)可以看出，兩種方法所求得的半軸齒輪節(jié)曲線模型是一樣的，驗(yàn)證了將齒條節(jié)曲線貼合在柱面上形成端曲面齒輪節(jié)曲線的正確性。

2.3節(jié)曲線設(shè)計(jì)

根據(jù)式(13)和(16)可知行星齒輪節(jié)曲線和半軸齒輪節(jié)曲線方程所含參數(shù)有行星齒輪齒數(shù)z1、半軸齒輪齒數(shù)z2、柱面半徑R、常數(shù)c等。其中R由差速器尺寸大小決定，行星齒輪與半軸齒輪齒數(shù)之比由式(8)決定，為滿足強(qiáng)度需要，在齒形設(shè)計(jì)可能的范圍內(nèi)行星齒輪和半軸齒輪齒數(shù)越少越好。c決定了鎖緊系數(shù)的大小，其中鎖緊系數(shù)K為

(17)

為了提高汽車的通過(guò)性，鎖緊系數(shù)并不是愈大愈好。過(guò)大的鎖緊系數(shù)不但對(duì)汽車轉(zhuǎn)向操縱的輕便靈活性、行駛的穩(wěn)定性、傳動(dòng)系的載荷及輪胎磨損和燃料消耗等有不同程度的不良影響，而且在某些條件下會(huì)使汽車的通過(guò)性降低。因此，在設(shè)計(jì)軍用越野汽車的差速器時(shí)，必須選擇恰當(dāng)?shù)逆i緊系數(shù)。

以0.5 t軍用越野汽車“勇士”為例進(jìn)行變傳動(dòng)比限滑差速器端曲面齒輪副節(jié)曲線設(shè)計(jì)。根據(jù)二代“勇士”車驅(qū)動(dòng)橋差速器的大小，選取R= 40 mm；根據(jù)十字軸式差速器結(jié)構(gòu)形式和節(jié)曲線封閉條件，為使得圖4所示的十字軸式差速器能夠連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)，取行星齒輪與半軸齒輪齒數(shù)之比為3∶4。根據(jù)“勇士”汽車技戰(zhàn)術(shù)性能需求分別取c=0.3、0.4、0.5設(shè)計(jì)差速器節(jié)曲線(如圖6所示)，利用Matlab軟件繪制節(jié)曲線圖形，圖中黑色細(xì)線為行星齒輪節(jié)曲線，黑色粗線為半軸齒輪節(jié)曲線。從圖中可以直觀地看出，其他參數(shù)不變的情況下，c越大，差速器鎖緊系數(shù)越大，行星齒輪節(jié)曲線內(nèi)凹程度越大。

圖6 行星齒輪與半軸齒輪節(jié)曲線

為了對(duì)下一步齒形設(shè)計(jì)提供理論和數(shù)據(jù)支撐，需要對(duì)節(jié)曲線的凹凸程度進(jìn)行定量計(jì)算。根據(jù)微分幾何中曲線理論，曲率可以用來(lái)衡量節(jié)曲線凹凸程度，曲率ρ的計(jì)算公式為

(18)

將行星齒輪節(jié)曲線方程代入式(18)，分別取c=0.3、0.4、0.5得到行星齒輪節(jié)曲線曲率隨轉(zhuǎn)角θ1的變化情況(如圖7所示)。

圖7 行星齒輪節(jié)曲線曲率變化

計(jì)算不同c取值下的鎖緊系數(shù)和行星齒輪的曲率最值(見表1)。

表1 行星齒輪節(jié)曲線曲率最值

從圖7和表1可以看出，隨著鎖緊系數(shù)的增大，行星齒輪的外凸程度、內(nèi)凹程度以及曲率的變化幅度均增加，其中行星齒輪外凸程度只有略微增加，但是內(nèi)凹程度卻幾乎成倍增加，由于節(jié)曲線內(nèi)凹程度越大，齒形設(shè)計(jì)越困難，因此在滿足限滑差速器性能要求的前提下，應(yīng)盡可能選擇較小的鎖緊系數(shù)。

3 結(jié) 語(yǔ)

本文提出了將平面變傳動(dòng)比齒條節(jié)曲線貼合在柱面上形成端曲面齒輪節(jié)曲線的方法，在此基礎(chǔ)上建立了端曲面齒輪副嚙合坐標(biāo)系，推導(dǎo)了行星齒輪和半軸齒輪節(jié)曲線方程；利用行星齒輪和半軸齒輪節(jié)曲線模型，繪制了十字軸式變傳動(dòng)比限滑差速器端曲面齒輪副節(jié)曲線圖形。通過(guò)計(jì)算表明，隨著鎖緊系數(shù)的增大，行星齒輪節(jié)曲線內(nèi)凹程度顯著增大，對(duì)齒形設(shè)計(jì)不利，因此在滿足差速器“限滑”性能要求的前提下，應(yīng)盡可能選擇較小的鎖緊系數(shù)。

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(編輯：張峰)

PitchCurvesofCurve-faceGearPairforCross-axleLimitedSlipDifferential

WANG Baiwang1, JIA Jumin2, TAN Xiaoming1

(1.Postgraduate Training brigade, Army Military Transportation University, Tianjin 30061, China; 2.Military Logistics Department, Army Military Transportation University, Tianjin 300161, China)

To study the transmission principle of cross-axle limited slip differential, after studying the transmission of face non-circular gear rack, the paper firstly elaborates the principle of forming pitch curve of curve-face gear by sticking pitch curve on cylinder. Then, it builds pitch curves model of planetary gear and half axle gear, and verifies the validity of the principle by comparing the model with pitch curves model derived from transformation formula of space coordinates. Finally, by calculating the curvature of planetary gear and half axle gear for cross-axle limited slip differential, it indicates that the concave degree of planetary gear pitch curves has increased obviously with the increase of locking coefficient.

pitch curves; curve-face gear pair; non-circular gear rack; limited-slip differential

10.16807/j.cnki.12-1372/e.2017.10.011

TH132.41

A

1674-2192(2017)10- 0043- 05

2017-06-08；

2017-07-14.

王白王(1992—)，男，碩士研究生；賈巨民(1965—)，男，博士，教授，博士研究生導(dǎo)師.