基于數(shù)學(xué)活動(dòng)的抽象策略探析

趙瑞生

摘要：“抽象”是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征之一，它既是數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的思維活動(dòng)，也是數(shù)學(xué)活動(dòng)中最基本的思維方法。針對(duì)具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生在體驗(yàn)中抽象、在操作中抽象、在比較中抽象、在探究中抽象、在“創(chuàng)新”中抽象等，長期訓(xùn)練，不僅有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、學(xué)會(huì)抽象的方法，還將有助于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)活動(dòng)抽象創(chuàng)新策略

“數(shù)學(xué)教學(xué)不能停留在直觀和操作的水平，必須發(fā)展到‘形式化階段，在抽象的層次上思維?！盵1]數(shù)學(xué)中的抽象指的是“抽取事物在量的關(guān)系和空間形式等方面的本質(zhì)屬性?！盵2]“抽象”是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征之一，它既是數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的思維活動(dòng)，也是數(shù)學(xué)活動(dòng)中最基本的思維方法。不僅“數(shù)學(xué)知識(shí)”的形成依賴于抽象，從歷史的角度來看，數(shù)學(xué)的發(fā)展也是人類不斷抽象的結(jié)果。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，結(jié)合具體的內(nèi)容，設(shè)計(jì)體驗(yàn)、操作、比較、探究、“創(chuàng)新”等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷抽象過程，不僅能獲取抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，還將學(xué)會(huì)如何抽象以及感悟數(shù)學(xué)抽象的基本特征，促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。

一、在體驗(yàn)中抽象

體驗(yàn)是指學(xué)生在親身經(jīng)歷的活動(dòng)中獲得的數(shù)學(xué)理解、情感體驗(yàn)以及生成新意義的過程。長期以來，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)比較多地停留在知識(shí)教學(xué)的層面，數(shù)學(xué)知識(shí)只是作為一個(gè)符號(hào)留在學(xué)生的記憶深處，而沒有引起學(xué)生強(qiáng)烈的情感體驗(yàn)和內(nèi)在感受。走進(jìn)教室的學(xué)生不是一張白紙，他們?cè)谏钪幸呀?jīng)積累了一些關(guān)于數(shù)學(xué)的知識(shí)和初始經(jīng)驗(yàn)。盡管這些“初始經(jīng)驗(yàn)”可能“模糊、膚淺、零散、混亂”，甚至可能還沒有明確的數(shù)學(xué)意義，但卻是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考不可或缺的基礎(chǔ)。設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)體驗(yàn)活動(dòng)，可以嘗試從學(xué)生的“初始經(jīng)驗(yàn)”入手。因?yàn)閷W(xué)生對(duì)熟悉的內(nèi)容會(huì)感到親切，接下來的學(xué)習(xí)就會(huì)覺得有趣并樂于接受挑戰(zhàn)。

如教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”（把一個(gè)蛋糕平均分為2份，每份是它的二分之一）時(shí)，可以先讓學(xué)生用圓片代替蛋糕折一折、畫一畫，接著讓學(xué)生演示。演示中，會(huì)出現(xiàn)兩份一樣大或者一份大一份小的情況。再讓學(xué)生解釋為什么這樣操作，你認(rèn)為哪種折法是對(duì)的在比較、辨別中，學(xué)生理解了“平均分成2份”的意思是分成的兩份要一樣大。這兩份分別叫作“一等份”“一等份”，合起來就是“兩等份”，其中的一等份占兩等份的二分之一。這就是把一個(gè)蛋糕平均分成2份，每份是它的二分之一的數(shù)學(xué)含義。

小學(xué)生由于受到年齡特征和知識(shí)水平的限制，往往不能參加“純抽象”的數(shù)學(xué)活動(dòng)，通常要借助有趣和有數(shù)學(xué)味的已有經(jīng)驗(yàn)，借助“直觀”進(jìn)行“抽象”。本例中，學(xué)生經(jīng)驗(yàn)中相等的“半個(gè)”“大半個(gè)”“小半個(gè)”是在生活中積累起來的。通過“折一折”，認(rèn)識(shí)活動(dòng)本身與學(xué)生的原始經(jīng)驗(yàn)發(fā)生了關(guān)聯(lián)，在好奇心、求知欲的參與下，經(jīng)驗(yàn)被激活，學(xué)生基于自己的理解表達(dá)出了心中的二分之一。在“辯一辯”環(huán)節(jié)，學(xué)生的情感與思維更是介入了對(duì)這個(gè)知識(shí)的理解，有同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)自己的錯(cuò)誤并及時(shí)改正，主動(dòng)吸納別人的方法。活動(dòng)的結(jié)果，除了收獲對(duì)所學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的情感體驗(yàn)外，還生成了對(duì)二分之一的理解。錯(cuò)誤的原始經(jīng)驗(yàn)得到改造，成為同化新知的基礎(chǔ)。學(xué)生在新的基礎(chǔ)上，逐步理解了諸如三分之一、四分之一、五分之一等的含義，此時(shí)抽象“分子”“分母”的意義，初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)。

二、在操作中抽象

“兒童的智慧集中在指尖上?！睂W(xué)生在操作時(shí)，手指間的觸覺產(chǎn)生的刺激能迅速傳遞給大腦，引起大腦的興奮，從而產(chǎn)生思考的愿望。操作后，要求學(xué)生離開具體的實(shí)物，腦中把剛才的操作過程回憶出來，根據(jù)操作中獲得的具體經(jīng)驗(yàn)和形成的表象，進(jìn)行分析、綜合、比較等思維活動(dòng)，并及時(shí)抽象，獲取數(shù)學(xué)知識(shí)。

如學(xué)習(xí)“長方形的面積計(jì)算”時(shí)，我首先安排操作：用幾個(gè)1平方厘米的正方形擺出3個(gè)不同的長方形，并填寫下表。

然后引導(dǎo)學(xué)生思考這幾個(gè)問題：長方形的長和寬與什么有關(guān)系小正方形的個(gè)數(shù)與什么有關(guān)系小正方形的個(gè)數(shù)與長方形的面積有什么關(guān)系

接著，安排第二次操作：用1平方厘米的正方形量出下面長方形（長5cm、寬3cm）的面積并交流拼擺的方法。依次交流：全部擺滿，每行擺5個(gè)，擺了3行，擺了15個(gè)小正方形，面積是15cm2。不擺滿，第一行擺5個(gè)，擺3行，面積是15cm2。不用擺，直接在腦子里想擺的過程：長5cm，一行可以擺5個(gè)；寬3cm，擺3行；面積是15cm2。比較三種方法，可以得出：不用親自去擺，只要在腦子里想擺的過程，就可以推算出長方形的面積。

最后，讓學(xué)生推算長方形的面積。如長12分米，寬8分米；長8米，寬6米。交流推算過程?？梢赃@樣想：根據(jù)長是（），知道每行擺（）個(gè)；根據(jù)寬是（），知道擺了（）行；面積單位的個(gè)數(shù)有（）個(gè)，長方形的面積是（）。在此基礎(chǔ)上，總結(jié)長方形的面積計(jì)算方法。

抽象是“過程的內(nèi)化、壓縮到對(duì)象化的轉(zhuǎn)變過程”。“過程的內(nèi)化”是一個(gè)操作過程。本例中，通過第一次操作，發(fā)現(xiàn)三組關(guān)系：長方形的長和寬與每行擺的個(gè)數(shù)、擺的行數(shù)的關(guān)系；小正方形個(gè)數(shù)與長和寬的關(guān)系；長方形的面積與長和寬的關(guān)系。“壓縮”是把熟悉的操作過程轉(zhuǎn)化為一種心理操作，可以離開實(shí)物進(jìn)行。通過第二次操作，發(fā)現(xiàn)可以“在腦子里想擺的過程”：知道長是幾，就知道每行擺幾個(gè)；知道寬是幾，就知道可以擺幾行，求面積單位的個(gè)數(shù)可以借用“長寬”算出來。“對(duì)象化”則是徹底擺脫具體實(shí)物的限制，發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)現(xiàn)象背后隱藏的規(guī)律（在此即長方形的面積計(jì)算公式），從整體上把過程的實(shí)質(zhì)抽取出來。

三、在比較中抽象

有比較才有鑒別。比較是區(qū)別對(duì)象的相同和相異時(shí)常用的方法。運(yùn)用比較的方法不能僅僅局限在同類對(duì)象或某一對(duì)象的不同側(cè)面，不同類對(duì)象之間也可以進(jìn)行比較。教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)富有挑戰(zhàn)性和探索性的問題或情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，既可以促進(jìn)學(xué)生深度理解和掌握知識(shí)，還能促進(jìn)學(xué)生思維品質(zhì)的發(fā)展。endprint

學(xué)生通過自主探索得到的方法是個(gè)體的“創(chuàng)造”，這樣的學(xué)習(xí)成果既包含個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)的理解，更體現(xiàn)了可貴的探索因子，但個(gè)體的成果還需在比較中優(yōu)化。第一次比較，各種算法在交流中顯現(xiàn)各自的特點(diǎn)。第二次比較，會(huì)發(fā)現(xiàn)各種算法的長處與不足，會(huì)發(fā)自內(nèi)在地覺得“通分”方便，自覺進(jìn)行算法優(yōu)化。有了這樣的體驗(yàn)過程，在計(jì)算中就會(huì)主動(dòng)使用“通分”的方法。第三次比較，會(huì)發(fā)現(xiàn)各種加減法計(jì)算的本質(zhì)相同——都是“相同單位的數(shù)相加減”。此時(shí)的例題教學(xué)已經(jīng)從單一的異分母分?jǐn)?shù)計(jì)算深入到探索已學(xué)過的所有加減法之間的內(nèi)在聯(lián)系，在掌握新知的同時(shí)更加著力于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。

四、在探究中抽象

“猜想—驗(yàn)證是探究教學(xué)的核心成分。”探究有沒有方向以及能否持續(xù)進(jìn)行，關(guān)鍵在于能不能提出假設(shè)（猜想）。如果能提出解決問題的假設(shè)，探究就會(huì)進(jìn)行下去，否則，探究就無從進(jìn)行或陷入盲目的“嘗錯(cuò)”活動(dòng)。因?yàn)橛辛思僭O(shè)，就會(huì)形成一種懸而未決但又必須解決的求知狀態(tài)，就能激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖動(dòng)和創(chuàng)造性思維，學(xué)生就會(huì)針對(duì)假設(shè)搜集資料、尋找證據(jù)，開展驗(yàn)證假設(shè)的活動(dòng)，對(duì)各種假設(shè)做出合理解釋，直至找到問題的答案。

如教學(xué)“3的倍數(shù)的特征”。由于已經(jīng)學(xué)了2和5的倍數(shù)特征，受思維定勢(shì)的影響，學(xué)生自然認(rèn)為3的倍數(shù)的特征也和個(gè)位上的數(shù)字有關(guān)。因此，做出類比猜想：“個(gè)位上是0、3、6、9的數(shù)是3的倍數(shù)”。舉例驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)猜想是錯(cuò)誤的，同時(shí)也可以得出結(jié)論：不能僅憑個(gè)位上的數(shù)字來判斷一個(gè)數(shù)是不是3的倍數(shù)。那又該從什么角度思考呢學(xué)生產(chǎn)生了新的認(rèn)知沖突。此時(shí)，可以安排如下的教學(xué)過程：（1）猜想：出示百數(shù)表，按順序找出3的倍數(shù)并圈出來。自己觀察，大膽猜想3的倍數(shù)有什么特征。（2）交流：組內(nèi)交流、小組匯報(bào)，得出結(jié)論：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。（3）驗(yàn)證：百以內(nèi)3的倍數(shù)有這樣的特征，百以上的數(shù)呢引導(dǎo)學(xué)生想出驗(yàn)證的方法，在小組內(nèi)對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證。（4）辨析：不是3的倍數(shù)的數(shù)會(huì)不會(huì)也有這樣的特征（5）總結(jié)：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)一定是3的倍數(shù)。經(jīng)歷上述過程，學(xué)生不僅學(xué)到了數(shù)學(xué)知識(shí)，還在不知不覺中學(xué)習(xí)了科學(xué)的探究方法，獲得類比可能無效、碰壁后需要改變策略等的寶貴經(jīng)驗(yàn)。

“2和5的倍數(shù)”的特征和“3的倍數(shù)”的特征真的沒有聯(lián)系嗎為什么判斷“2和5的倍數(shù)”只要看個(gè)位而判斷“3的倍數(shù)”卻需要看各數(shù)位上數(shù)字之和呢因?yàn)橐粋€(gè)整十、整百、整千數(shù)一定是2和5的倍數(shù)，如一個(gè)三位數(shù)472，可以寫成：1004+107+2，1004+107一定是2和5的倍數(shù)，所以只要看個(gè)位上的數(shù)字。472=1004+107+2=994+97+（4+7+2），994+97一定是3的倍數(shù)，而（4+7+2）就是各數(shù)位上數(shù)字之和。如果一個(gè)三位數(shù)用100a+10b+c表示（想想為什么），你會(huì)推理嗎如果是四位數(shù)呢

根據(jù)“2和5的倍數(shù)”的特征類推出“3的倍數(shù)”的特征，原本容易產(chǎn)生負(fù)遷移，卻因深究其內(nèi)在本質(zhì)而聯(lián)系起來，這樣探究的價(jià)值在于引導(dǎo)學(xué)生透過表面看到知識(shí)的內(nèi)在規(guī)律，經(jīng)過這樣的感染與訓(xùn)練，將促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的理性特征。

五、在“創(chuàng)新”中抽象

“創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)應(yīng)該從義務(wù)教育階段做起，貫穿數(shù)學(xué)教育的始終”。學(xué)生與生俱來就有探究的興趣和愿望，因而結(jié)合具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)新符合學(xué)生個(gè)體內(nèi)在的發(fā)展需要。數(shù)學(xué)學(xué)科特有的直觀與抽象、邏輯的嚴(yán)密、廣泛的運(yùn)用，為學(xué)生發(fā)揮潛能、進(jìn)行創(chuàng)新提供了廣闊的空間。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要喚醒學(xué)生固有的天性，以教學(xué)創(chuàng)新帶動(dòng)師生關(guān)系、學(xué)習(xí)方式等方面的實(shí)質(zhì)性變革，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的過程，真正獲得富有生命活力的數(shù)學(xué)知識(shí)，將知識(shí)的獲得過程和生命的提升過程協(xié)調(diào)起來，讓每一個(gè)學(xué)生的自由個(gè)性獲得可持續(xù)性發(fā)展。

如教學(xué)“兩位數(shù)乘一位數(shù)”，首先呈現(xiàn)情境：湖面上飛過3隊(duì)大雁，每隊(duì)12只。一共有多少只學(xué)生列出算式123后，讓學(xué)生先用小棒擺一擺，再說說可以怎樣算。因?yàn)樾“舨僮髦庇^形象，突出了計(jì)算原理，所以學(xué)生會(huì)有如下的算法。方法1：12+12+12=36；方法2：3個(gè)2是6，3個(gè)10是30，合起來是36；方法3：23=6，103=30，6+30=36。這三種不同的想法之間是相互聯(lián)系的，為接下來理解豎式計(jì)算的過程做好了鋪墊和準(zhǔn)備。

接著，要求學(xué)生把這樣的想法寫成豎式。學(xué)生通常會(huì)這樣寫：

學(xué)生解釋每個(gè)豎式的意義后，提出新的要求：計(jì)算是有一定速度要求的，寫三個(gè)豎式很麻煩，能不能把它們合并在一個(gè)豎式里

解釋豎式2每一步的意義，著重討論“+”能不能省去不寫。因?yàn)閷憽?”表示求和，“+”省去不寫，大家也明白算的是加法，所以“+”可以省去。

進(jìn)一步指出：“0”也可以省去不寫。因?yàn)榈诙剿?03=30，可以看成1（個(gè)十）3=3（個(gè)十），所以“0”省去不寫。但是，“3”必須寫在十位上。這樣就把“兩位數(shù)乘一位數(shù)”變成了兩次“一位數(shù)乘一位數(shù)”，一次是23，另一次是1（個(gè)十）3，方便計(jì)算。

在此基礎(chǔ)上，觀察簡(jiǎn)便豎式，抽象概括計(jì)算方法。先用一位數(shù)乘兩位數(shù)的個(gè)位，積的末尾寫在個(gè)位上；再用一位數(shù)乘兩位數(shù)的十位，積的末尾寫在十位上。按照這個(gè)步驟演算就能得到計(jì)算的結(jié)果。經(jīng)歷這樣的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生不僅理解了兩位數(shù)乘一位數(shù)計(jì)算法則的推導(dǎo)過程，還經(jīng)歷了一次從已知到未知，從特殊歸納出一般的抽象體驗(yàn)。

獲取數(shù)學(xué)知識(shí)需要抽象，學(xué)會(huì)抽象的方法更要融入到具體的數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，經(jīng)過長期訓(xùn)練，學(xué)生將逐步獲得“抽象”這一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的法寶，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。

參考文獻(xiàn)：

[1]張奠宙，李士锜，李俊.數(shù)學(xué)教育學(xué)導(dǎo)論[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]侯正海，徐文彬.試論小學(xué)數(shù)學(xué)抽象教學(xué)的時(shí)機(jī)把握[J].課程·教材·教法，2013（09）.

[3]李士锜.PME：數(shù)學(xué)教育心理[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2001.

[4]岳欣云，董宏建.探究式教學(xué)的“扶”“放”之度與層次性——由一則小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)案例引發(fā)的思考[J].課程·教材·教法，2013（07）.endprint