數(shù)學(xué)解題反思：層次性及其案例（上）

潘小明

早在上世紀(jì)80年代，Zeichner & Liston就曾根據(jù)Van Manen的研究提出了關(guān)于學(xué)習(xí)者反思具有低、中、高等不同層次的觀點(diǎn)[1][2]。國(guó)內(nèi)也有學(xué)者把反思劃分為“前反思”“準(zhǔn)反思”和“反思”三種不同水平的反思層次[3]。那么，就中學(xué)生數(shù)學(xué)解題這一特定的實(shí)踐而言，實(shí)踐者的實(shí)踐反思在層次上有怎樣的特點(diǎn)？針對(duì)這一現(xiàn)實(shí)而基本的問(wèn)題，研究者于2015年3月開始對(duì)江蘇省中部地區(qū)某農(nóng)村初中學(xué)生數(shù)學(xué)解題反思的行為進(jìn)行了跟蹤研究，初步概括了初中生數(shù)學(xué)解題反思的常識(shí)性、知識(shí)性、技術(shù)性和思想性特點(diǎn)，本文擬結(jié)合具體案例對(duì)這4種不同層次的反思進(jìn)行簡(jiǎn)要的描述與分析。

1.解題反思的常識(shí)性層次

這種層面的反思表現(xiàn)對(duì)當(dāng)下數(shù)學(xué)解題活動(dòng)瞬間的常識(shí)化思維，本質(zhì)上是一種對(duì)數(shù)學(xué)解題活動(dòng)沒(méi)有深層思考的準(zhǔn)反思。研究者在調(diào)研時(shí)發(fā)現(xiàn)，成績(jī)較差的學(xué)生在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中如果遇到了自己熟悉的數(shù)學(xué)刺激或問(wèn)題情境，就容易表現(xiàn)出常規(guī)式、習(xí)慣性“想一想”“推一推”的數(shù)學(xué)活動(dòng)方式。他們的數(shù)學(xué)解題行為更多地表現(xiàn)出一種自動(dòng)化、半自動(dòng)化的特性。個(gè)別訪談時(shí)發(fā)現(xiàn)，一些學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中之所以出現(xiàn)數(shù)學(xué)錯(cuò)誤，是因?yàn)樗麄兊姆此际冀K處于一種即時(shí)化、意識(shí)流式的常識(shí)狀態(tài)，在數(shù)學(xué)思維上沒(méi)有或很少涉及下一步該如何行動(dòng)以及為什么這樣行動(dòng)。從本質(zhì)上看，與其說(shuō)這些學(xué)生處于數(shù)學(xué)解題反思狀態(tài)中，還不如說(shuō)他們僅僅是處于數(shù)學(xué)解題活動(dòng)的準(zhǔn)反思狀態(tài)中。

案例1求4m的倒數(shù)。

由于學(xué)生的解題反思水平僅僅處于常識(shí)性的層次，他們?cè)诮忸}過(guò)程中就容易被一些看起來(lái)合情合理的常識(shí)所迷惑。比如，正數(shù)是表示大于0的數(shù)，對(duì)應(yīng)的符號(hào)用+表示，負(fù)數(shù)是表示小于0的數(shù)，對(duì)應(yīng)的符號(hào)用-表示，這是一種常識(shí)。在特定的數(shù)學(xué)情境下，這種所謂的常識(shí)會(huì)掩蓋數(shù)學(xué)整體的意義，稍有不慎，就有可能犯實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)錯(cuò)誤。一個(gè)典型的例子是，在對(duì)學(xué)生進(jìn)行“比較4m與-4m大小”這一類題的測(cè)試中，有學(xué)生就因?yàn)樗^的常識(shí)而不加分析地?cái)喽?m是正數(shù)、-4m是負(fù)數(shù)，并由此得到4m>-4m的唯一答案，而沒(méi)有認(rèn)識(shí)到字母m除了可取正值，還可取負(fù)值或0，4m與-4m的大小比較要根據(jù)m的取值進(jìn)行討論?？偟膩?lái)說(shuō)，僅僅處于常識(shí)性反思層面的學(xué)生在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中并非沒(méi)有“想一想”“推一推”，只是他們的“想一想”“推一推”更多地停留于非常淺顯的數(shù)學(xué)思維層次。

2.解題反思的知識(shí)性層次

解題的第一要?jiǎng)?wù)是把題目解出來(lái)，基于這種基本使命，學(xué)生對(duì)題目“究竟怎么解決”“究竟怎么做”往往有較高的關(guān)注度，由此也使他們的解題反思表現(xiàn)出知識(shí)性層次的特點(diǎn)。這種特點(diǎn)表現(xiàn)為學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)題目中相關(guān)概念、命題、法則“所知”的反思，并因此產(chǎn)生對(duì)問(wèn)題中相關(guān)要素界定的思維。比如，有學(xué)生在討論中會(huì)問(wèn)：“這句話是什么意思？”“這個(gè)式子是什么含義？”“條件或結(jié)論在說(shuō)什么？”知識(shí)性層次解題反思也會(huì)表現(xiàn)為學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)題目中相關(guān)概念、命題、法則“所識(shí)”的反思。這是學(xué)生基于個(gè)人經(jīng)驗(yàn)、見識(shí)對(duì)當(dāng)下數(shù)學(xué)問(wèn)題及其解答過(guò)程中相關(guān)刺激、相關(guān)要素進(jìn)行必要的辨認(rèn)、識(shí)別、判斷，并據(jù)此產(chǎn)生進(jìn)一步問(wèn)題表征、方法匹配、解題決策的解題行為?？梢?，在知識(shí)性層次的解題反思中，學(xué)生不僅結(jié)合個(gè)人的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)對(duì)當(dāng)下的事實(shí)性、命題性和程序性三類數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行必要的提取，而且據(jù)此進(jìn)一步揭示待解數(shù)學(xué)題目的一些特征，初步分析問(wèn)題所屬的類型，基于“所知”“所識(shí)”進(jìn)行解題思路、模式和經(jīng)驗(yàn)的匹配與對(duì)接。

案例2在一節(jié)習(xí)題課上，數(shù)學(xué)教師要求學(xué)生解答如下的一道選擇題：

A.第一、二象限B.第一、三象限

C.第二、四象限D(zhuǎn).第三、四象限

案例3下午4點(diǎn)到5點(diǎn)，電視里播出一部動(dòng)畫片，開始時(shí)分針與時(shí)針正好成一條直線，結(jié)束時(shí)兩針正好重合，試求解這部動(dòng)畫片播了多少時(shí)間？

案例描述與分析在這一測(cè)試中，研究者要求3名學(xué)生就本題的解答進(jìn)行出聲思維。為了說(shuō)明出聲思維的含義，研究者本人結(jié)合其他數(shù)學(xué)題目的思考過(guò)程進(jìn)行了必要的示范。

研究者發(fā)現(xiàn)，被試學(xué)生拿到題目后，先是讀了兩遍題目，然后準(zhǔn)備在作業(yè)紙上書寫。不過(guò)，他們很快放下了筆，因?yàn)樗麄儾恢缹懯裁?。研究者啟發(fā)他們：“動(dòng)筆之前，好好想一想喲！”但后來(lái)發(fā)現(xiàn)有2位學(xué)生開始自言自語(yǔ)：“這好像是小學(xué)里的算術(shù)問(wèn)題！”“什么類型的呢？”“我想想！”“行程問(wèn)題？噢，不，不是的?！薄坝悬c(diǎn)像追及問(wèn)題?！薄拔胰绻逊轴樅蜁r(shí)針?lè)謩e看成2個(gè)人，不就是分針這個(gè)人追趕時(shí)針這個(gè)人，追趕的時(shí)間不就是動(dòng)畫片播放的時(shí)間嗎？”“嗯，解答有了。只要假設(shè)時(shí)針行走的速度為每小時(shí)1格，則分針行走的速度就是每小時(shí)12格，如果這部動(dòng)畫片播了x小時(shí)，那么分針行走到與時(shí)針重合時(shí)也需要x小時(shí)，根據(jù)題目的信息，因?yàn)榉轴槺葧r(shí)針多走6格，所以可以列出方程：12x=1·x+6，嗯，搞定！”在該案例中，類似的問(wèn)題通常被稱為鐘面問(wèn)題。開始時(shí)，分針與時(shí)針成一條直線，所以相差180毅；結(jié)束時(shí)兩針重合，所以相差0毅。有學(xué)生在表征問(wèn)題階段，聯(lián)想到小學(xué)階段應(yīng)用題中的追及問(wèn)題，本身體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)模式的識(shí)別。據(jù)此，這些學(xué)生不僅重新理解了待求解的數(shù)學(xué)題目，而且解題時(shí)的思路顯得十分清晰。

中學(xué)生在數(shù)學(xué)解題反思中的“所識(shí)”直接影響著其“所知”的狀態(tài)。

（待續(xù)）endprint