關(guān)于解析函數(shù)性質(zhì)的若干思考

李春龍

【摘要】解析函數(shù)作為一種具有某種特性的可導(dǎo)函數(shù)，在我們研究復(fù)變函數(shù)時，常常將其作為研究的主要對象。研究解析函數(shù)的性質(zhì)，對我們正確分析、判斷復(fù)變函數(shù)有著十分重要的作用。本文研以函數(shù)f（z）在域D內(nèi)解析為背景，探討了f（z）解析函數(shù)的幾個典型性質(zhì)與應(yīng)用時需要注意的問題。

【關(guān)鍵詞】函數(shù) 解析函數(shù) 函數(shù)性質(zhì)

【中圖分類號】G64 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）38-0134-01

一、什么是解析函數(shù)

解析函數(shù)能夠揭示函數(shù)非常多的重要信息，因此我們在研究復(fù)變函數(shù)時常常會應(yīng)用到它。關(guān)于它的的定義，用公式表示為：函數(shù)f（z）在某一域D內(nèi)可導(dǎo)，即f（z）稱為D內(nèi)的解析函數(shù)。解析函數(shù)表現(xiàn)了函數(shù)的解析性特征，而函數(shù)的解析性總是與某一域聯(lián)系在一起。只有在某一域中，解析函數(shù)才能得以實現(xiàn)。從這個角度來講，解析函數(shù)其實就是函數(shù)在某一域中某一點的解析，并且，在這該點及其領(lǐng)域，函數(shù)處處可導(dǎo)。所有的三角函數(shù)（如sin z，cos z）都為解析函數(shù)。關(guān)于解析函數(shù)的零點與奇點：若f（z）在域D內(nèi)a點的對應(yīng)值為0，即a點稱為f（z）的零點（零點的階段都是正整數(shù)）。若f（z）在a點與鄰域處處不可導(dǎo)，或雖可導(dǎo)但不解析，則a點稱為f（z）的奇點（孤立奇點是解析函數(shù)中最重要的一個奇點）。

二、解析函數(shù)性質(zhì)分析

假設(shè)f（z）是某一域D的解析函數(shù)，則解析函數(shù)f（z）有以下幾種性質(zhì)。

其一，f（z）具有唯一性特征。若f1（z）、f2（z）都是域D內(nèi)的解析函數(shù)，且f1（z）、f2（z）在一個收斂于D的a點（a∈D但a≠zn）的對應(yīng)值相同，那么f1（z）、f2（z）在域D內(nèi)恒等。若f1（z）、f2（z）在域D某一區(qū)域內(nèi)恒等，那么二者也在域D內(nèi)恒等。同時，f1（z）、f2（z）在z實軸上恒等，那么二者也在z平面上恒等。

其二，若f（z）是某一域D內(nèi)的解析函數(shù)，則二解析函數(shù)f1（z）、f2（z）以及f1（z）與f2（z）之和也是域D內(nèi)的解析函數(shù)，即f1（z）、f2（z）在D內(nèi)某一點可導(dǎo)，且二者之和在該點同樣可導(dǎo)。同樣，若f′1（z）、f′2（z）在D內(nèi)連續(xù)，則二者之和同樣連續(xù)。這里僅僅說明了二解析函數(shù)與其和是D內(nèi)的解析函數(shù)，除此之外，則二解析函數(shù)f1（z）、f2（z）的和、差、積、商都是該域D的內(nèi)的解析函數(shù)。基于此性質(zhì)，在實際計算解析函數(shù)時，我們可以自由地將其對應(yīng)的二解析函數(shù)進行差、和、積與商運算，以便于運算，快速求解。

其四，f（z）在D內(nèi)每一點都滿足柯西-黎曼條件。若f（z）在D內(nèi)可導(dǎo)，那么f（z）在D內(nèi)解析的一個重要條件就是f（z）在D內(nèi)每一點都滿足柯西-黎曼條件。這也就是說，f（z）在D內(nèi)具有實部與虛部之間的聯(lián)系。通過這種聯(lián)系，我們可以通過實部（虛部），通過柯西-黎曼方程，計算出相對應(yīng)的虛部（實部）。需要說明的是，f（z）在D內(nèi)的實部與虛部之間的聯(lián)系是一種相互依賴關(guān)系，并不是誰決定誰的關(guān)系，二者互相影響，互相作用。很多時候，我們可以將二者形象化地表現(xiàn)出來，這樣會更加直觀地分析解析函數(shù)。例如，在計算兩族曲線切線方向時，通過設(shè)定兩個常數(shù)組，再由柯西-黎曼方程計算出兩族曲線切線方向之間的標(biāo)積，就會得出對應(yīng)解析函數(shù)的實部與虛部。另外還需要說明的是，解析函數(shù)的實部與虛部必須滿足二維拉普拉斯方程，即兩者必須是調(diào)和函數(shù)。

其五，設(shè)域D有邊界，邊界為L，若f（z）在該域內(nèi)解析，在D=D+L上連續(xù)，則f（z）在D內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，即f（z）在D內(nèi)有無窮可導(dǎo)性。解析函數(shù)的這種特性，可以便于我們計算一些周線積分。需要注意的是，如果被積函數(shù)在D邊界C內(nèi)部有兩個以上的不解析點，則不能直接應(yīng)用它們。

結(jié)語

解析函數(shù)能夠揭示函數(shù)非常多的重要信息，因此我們在研究復(fù)變函數(shù)時常常會應(yīng)用到它。正確分析與判斷解析函數(shù)的概念，并熟練掌握它的性質(zhì)，能夠給我們數(shù)學(xué)、力學(xué)和工程學(xué)等領(lǐng)域的工作帶來很大的幫助。

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