試論基于發(fā)現(xiàn)學(xué)習的高中數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)內(nèi)容設(shè)計原則

昌明

摘要：高中數(shù)學(xué)學(xué)科直接影響著學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。如何建構(gòu)適合高中生學(xué)習的教學(xué)方式則是新課程改革面臨的重大選擇。在課題研究的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)總結(jié)了高中數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)學(xué)習教學(xué)中的導(dǎo)學(xué)內(nèi)容的六條設(shè)計原則，并通過實踐證明能夠有效促進學(xué)生進行發(fā)現(xiàn)學(xué)習，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習能力、發(fā)現(xiàn)問題及解決問題能力，提高創(chuàng)新能力。

關(guān)鍵詞：發(fā)現(xiàn)學(xué)習；高中數(shù)學(xué)；導(dǎo)學(xué)案；內(nèi)容設(shè)計

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2017）09B-0018-04

基于“導(dǎo)學(xué)案”中高中數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)學(xué)習教學(xué)范式，是建立在布魯納發(fā)現(xiàn)學(xué)習理論基礎(chǔ)上并結(jié)合當前高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革實際而進行的一種整合教學(xué)樣式，是學(xué)生利用導(dǎo)學(xué)案，通過自己再發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識形成的過程，以獲取數(shù)學(xué)新知并發(fā)展探究性思維的一種學(xué)習方式，為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)達成而進行的一種教學(xué)建構(gòu)，其教學(xué)范式基本流程如下：

該范式以導(dǎo)學(xué)案始終貫穿學(xué)生的整個學(xué)習過程，指導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)習，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習與合作學(xué)習能力、發(fā)現(xiàn)問題及解決問題能力、反思能力。通過導(dǎo)學(xué)案將學(xué)習前置、問題前置，課堂則成為討論爭論、展示交流、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、探究學(xué)習的舞臺，課后鞏固知識，反思總結(jié)學(xué)習經(jīng)驗。

如何呈現(xiàn)給學(xué)生行之有效的導(dǎo)學(xué)內(nèi)容為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一種學(xué)習情境產(chǎn)生認知矛盾，激發(fā)學(xué)生對新問題的學(xué)習興趣，潛在地教給學(xué)生自主學(xué)習的方法則是該范式施行的關(guān)鍵要素。這對高中生的問題意識，提高創(chuàng)新能力至關(guān)重要。筆者認為，建構(gòu)適合當下高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革及關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的導(dǎo)學(xué)案 必須堅持以下原則。

一、循序漸進原則

所謂循序漸近原則，是指依據(jù)學(xué)生的認知規(guī)律與智力水平，按照數(shù)學(xué)知識邏輯體系由易到難、由簡到繁有階段、有次序地設(shè)計導(dǎo)學(xué)內(nèi)容。學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力隨著社會經(jīng)驗的不斷豐富以及學(xué)習的不斷深入逐漸提升，進入中學(xué)階段，學(xué)生“能夠運用抽象概念進行思考。運用邏輯和實事求是的方法思考?！盵1]但是，抽象的邏輯思維需要經(jīng)歷一個發(fā)展過程。“從初二年級開始，中學(xué)生的抽象邏輯思維即由經(jīng)驗型水平向理論型水平轉(zhuǎn)化，到了高中二年級，這種轉(zhuǎn)化初步完成，這意味著他們的思維趨向成熟。”[2]因而，在設(shè)計導(dǎo)學(xué)內(nèi)容時要遵循學(xué)生的認知發(fā)展規(guī)律引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)習。高一年級導(dǎo)學(xué)內(nèi)容的設(shè)計要注意初、高中的銜接，借助學(xué)生已有經(jīng)驗、圖形直觀等適度降低抽象程度，綜合運用抽象概念和形象直觀發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，并逐步提升學(xué)生抽象思維能力。高二、高三年級導(dǎo)學(xué)內(nèi)容的設(shè)計逐漸提高抽象化程度，逐步培養(yǎng)學(xué)生運用抽象的概念、定理、法則進行思考，減少對直觀與具體的依賴，并合乎邏輯地進行推理、預(yù)測。

設(shè)計導(dǎo)學(xué)內(nèi)容應(yīng)充分理解教材意圖，尊重學(xué)情，在學(xué)習內(nèi)容與學(xué)生認知能力之間構(gòu)建引導(dǎo)學(xué)生自主探索、發(fā)現(xiàn)問題的橋梁。例如，“對應(yīng)說”函數(shù)概念對于剛進入高一的學(xué)生來說過于抽象。一是函數(shù)概念的定義中包含了集合、元素、對應(yīng)等多個概念，與初中“變量說”函數(shù)概念相比缺少直觀的物理背景；另一方面學(xué)生對于用量詞“每一個、唯一”表達的關(guān)系缺少經(jīng)驗、直觀的支撐。蘇教版《數(shù)學(xué)必修1》選擇了通過三個實例讓學(xué)生體會兩個非空數(shù)集之間的一種特殊的對應(yīng)關(guān)系。教材首先以生活中的實例為背景引出3個問題，每個問題都涉及一個確定的函數(shù)，這3個函數(shù)分別以圖表、解析式、圖象的形式呈現(xiàn)，然后提出：如何用集合語言來闡述上述3個問題的共同特點？這個問題是本節(jié)課的引領(lǐng)性問題，但學(xué)生很難直接回答這個問題。為此，導(dǎo)學(xué)內(nèi)容可進行如下設(shè)計：

請你回顧初中所學(xué)的函數(shù)概念，并閱讀教材（蘇教版《數(shù)學(xué)必修1》）第23頁內(nèi)容，完成下列問題：

問題1：每個問題的兩個變量變化范圍能否用集合表示，如何表示？

問題2：兩個變量和之間是一種對應(yīng)關(guān)系，如何對應(yīng)的？可用圖形、符號或文字表述。

問題3：能否用集合語言來闡述上述3個問題？可用圖形或文字表述。

通過課前導(dǎo)學(xué)，讓每位學(xué)生都能有足夠時間思考問題，上課前教師對學(xué)生自學(xué)情況進行診斷，準確了解學(xué)情，課堂第一部分讓學(xué)生交流展示問題3的答案。問題3要求學(xué)生用圖形或文字表述，一方面給學(xué)生自由表達的空間，另一方面引導(dǎo)學(xué)生畫出“映射圖”，借助圖形構(gòu)建函數(shù)概念并加深理解。

二、情境創(chuàng)設(shè)原則

所謂情境創(chuàng)設(shè)原則，是指根據(jù)教學(xué)的內(nèi)容，為落實教學(xué)目標，設(shè)定適合學(xué)生主動積極建構(gòu)性學(xué)習的具有學(xué)習背景、景象和學(xué)習活動條件的導(dǎo)學(xué)內(nèi)容。情境創(chuàng)設(shè)幫助學(xué)生進一步增強對數(shù)學(xué)知識的理解，引發(fā)學(xué)生對問題感興趣，使學(xué)生在此情境中產(chǎn)生認知矛盾，從而提出要求解決的或必須解決的問題。生活中數(shù)學(xué)無處不在，新課程注重數(shù)學(xué)知識與實際的聯(lián)系，《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）》在教學(xué)建議中指出：“通過豐富的實例引入數(shù)學(xué)知識，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，經(jīng)歷探索、解決問題的過程，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值?！毙抡n程呼喚科學(xué)世界向生活世界的回歸。

數(shù)學(xué)起源于人類的社會實踐和生產(chǎn)活動，并在人類社會的發(fā)展中發(fā)揮著越來越重要的作用。在導(dǎo)學(xué)內(nèi)容中創(chuàng)設(shè)情境，提供有助于形成概括結(jié)論的實例，讓學(xué)生對現(xiàn)象進行觀察分析，逐漸縮小觀察范圍，將注意力集中在某些要點上。模擬生活，貼近現(xiàn)實，使學(xué)習更接近現(xiàn)實生活，使學(xué)生如臨其境，感知真實世界，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界。創(chuàng)設(shè)學(xué)習情境是強化數(shù)學(xué)知識與實際的聯(lián)系，有利于“幫助學(xué)生認識到：數(shù)學(xué)與我有關(guān)，與實際生活有關(guān)，數(shù)學(xué)是有用的，我要用數(shù)學(xué)，我能用數(shù)學(xué)?！鼻榫车膭?chuàng)設(shè)除了追求自然、真實、與學(xué)科知識緊密相聯(lián)的實際事物或?qū)嶋H事物的相關(guān)背景外，還應(yīng)追求趣味性、挑戰(zhàn)性、有故事、有豐富的文化內(nèi)涵等引人入勝的元素，有情趣的學(xué)習場景有利于激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習的興趣，激發(fā)學(xué)生自動探索數(shù)學(xué)的奧秘。

“圓錐曲線”是蘇教版《數(shù)學(xué)（選修2-1）》2.1節(jié)的教學(xué)內(nèi)容，如何發(fā)現(xiàn)在圓錐面和截面之間嵌入雙球是證明定理的關(guān)鍵，也是師生感到困惑的教學(xué)難點。為了更自然地引導(dǎo)學(xué)生進行探究性學(xué)習，在導(dǎo)學(xué)內(nèi)容中創(chuàng)設(shè)情景：

問題1：在公元前3世紀前后，古希臘學(xué)者梅內(nèi)赫莫斯、歐幾里德、阿基米德、阿波羅尼奧斯等發(fā)現(xiàn)并研究了一類曲線——用一個平面截圓錐面所得到的曲線。很顯然，當平面經(jīng)過圓錐面的頂點時，可得到兩條相交直線；當平面與圓錐面的軸垂直時，截得的圖形是一個圓。用平面截圓錐面還能得到哪些曲線？這些曲線具有哪些幾何特征？

問題2：一個球在點光源S的照射下的投影，當點光源S的位置變化時，投影有哪些變化？

問題3：你能發(fā)現(xiàn)問題1與問題2之間有某種聯(lián)系嗎？

問題4：我們已經(jīng)知道圓上的點到圓心的距離等于定長，其他曲線有類似性質(zhì)嗎？你能借助問題2這一生活實例探索古希臘人用平面截圓錐面所得曲線上的點具有的幾何特征嗎？

以聯(lián)想圓具有的幾何特征為基礎(chǔ)、以實驗活動為抓手引導(dǎo)學(xué)生對橢圓等圓錐曲線幾何特征進行探究，有意識地引導(dǎo)學(xué)生對球與截面的切點的關(guān)注并能提出相關(guān)猜測，在課堂教學(xué)中根據(jù)對稱性等特點進一步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)雙球并證明圓錐曲線的截線定義與軌跡定義的一致性。

三、方法滲透原則

所謂方法滲透原則，是指在導(dǎo)學(xué)內(nèi)容中有意識地滲透數(shù)學(xué)猜測的方法幫助學(xué)生對提出的問題建立各種假設(shè)，并進行推測，探尋數(shù)學(xué)知識聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

匈牙利數(shù)學(xué)家伊姆雷·拉卡托斯指出我們的討論是在“問題與猜想的階段過去以后”開始的，這就是說，樸素的猜想構(gòu)成了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)的邏輯的實際出發(fā)點。[3]一般說來，提出數(shù)學(xué)猜測主要有以下幾種方法：第一，通過類比來提出猜測；第二，通過歸納來提出猜測；第三，通過減弱或強化定理條件提出猜測；第四，通過想象和直覺提出猜測；第五，通過逆向思維提出猜測。[4]《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）》要求學(xué)生：“能利用歸納和類比進行簡單的推理，體會并認識合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的應(yīng)用?！毙乱惠喺n改中，數(shù)學(xué)教學(xué)增添了合情推理教學(xué)內(nèi)容，但只占5課時，且安排在《數(shù)學(xué)（選修2-2）》中，選修物理的學(xué)生在高二年級下學(xué)期學(xué)習。然而，邏輯推理是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，通過邏輯推理的學(xué)習，學(xué)生形成良好的思維品質(zhì)和理性精神，因而，需要在平時的教學(xué)中滲透歸納、類比等邏輯推理方法。在發(fā)現(xiàn)學(xué)習教學(xué)中的導(dǎo)學(xué)內(nèi)容設(shè)計中，要有意識地滲透數(shù)學(xué)猜測的方法幫助學(xué)生盡可能多地靠自己去發(fā)現(xiàn)。

例如，“兩角和與差的余弦”是蘇教版《數(shù)學(xué)必修4》3.1節(jié)的教學(xué)內(nèi)容，在導(dǎo)學(xué)內(nèi)容中安排兩角差的余弦公式發(fā)現(xiàn)的猜測以及公式證明的探究活動，讓學(xué)生經(jīng)歷對各種可能結(jié)果的合情猜測、反駁、論證，培養(yǎng)學(xué)生探索性思維。

問題1：cos（α-β）與 α、β的哪些三角函數(shù)有關(guān)？試說明理由。

問題2：猜測cos（α-β）用α、β的三角函數(shù)表示的關(guān)系式，對你所得結(jié)果進行必要的聯(lián)想，并嘗試證明。

課堂教學(xué)中通過學(xué)生的交流展示，暴露學(xué)生的推理過程。如：首先，減弱公式中的條件固定一個角進行歸納推理，令α=π，此時，cos（α-β）=-cosβ=cosπcosβ=cosαcosβ；再令α=，可得，cos（α-β）=sinβ=sinsinβ=sinαsinβ，至此，已明確cos（α-β）與cosαcosβ、sinαsinβ有關(guān)。其次，再取α、β 的特殊值進行歸納推理猜測：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。

四、自主建構(gòu)原則

所謂自主建構(gòu)原則是指對某些相關(guān)知識或某幾種題型讓學(xué)生進行自主整理，發(fā)現(xiàn)規(guī)律、建立聯(lián)系，建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)。

經(jīng)歷階段性學(xué)習后，導(dǎo)學(xué)內(nèi)容應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)知識體系，繪制知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)，把握知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生能系統(tǒng)、深刻地理解和掌握已學(xué)的知識，并能用聯(lián)系、全面的眼光審視這部分知識的架構(gòu)。導(dǎo)學(xué)內(nèi)容應(yīng)將知識學(xué)習扎根于知識的結(jié)構(gòu)掌握，根據(jù)學(xué)生學(xué)習習慣和思維方式，把數(shù)學(xué)知識同化成自己的認知圖式，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習過程中發(fā)現(xiàn)知識、組織知識并活用知識的過程。

導(dǎo)學(xué)內(nèi)容中引導(dǎo)學(xué)生對相關(guān)內(nèi)容自主建構(gòu)，繪制知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)，研究習題之間的內(nèi)在聯(lián)系，把握問題的本質(zhì)。不僅有利于學(xué)生“學(xué)習事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)”的，還有利于學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上記憶和保持，具有“生成力”或“遷移力”的效能，更有利于學(xué)生的后續(xù)發(fā)展。通過這一過程而形成的數(shù)學(xué)知識，是一種具有再生性、簡化的基本知識，容易納入認知結(jié)構(gòu)，也就便于形成遷移能力，這對進一步完善學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有一定的促進作用。

五、資源統(tǒng)整原則

所謂內(nèi)容資源統(tǒng)整原則，是指將導(dǎo)學(xué)內(nèi)容與教學(xué)目標的有機融合，學(xué)生認知能力與問題表達相結(jié)合，進一步貫穿導(dǎo)學(xué)內(nèi)容系統(tǒng)性表達，關(guān)注學(xué)生的興趣和經(jīng)驗，加強知識之間的聯(lián)系。

強化導(dǎo)學(xué)內(nèi)容與教材協(xié)調(diào)。當前，導(dǎo)學(xué)內(nèi)容的設(shè)計水平參差不齊，大量出現(xiàn)簡單地對課本上概念進行提問、做大量習題的現(xiàn)象。如果導(dǎo)學(xué)內(nèi)容僅僅是教材的“斷章取義”或簡單重組，就談不上創(chuàng)新意識、發(fā)現(xiàn)能力的培養(yǎng)；如果導(dǎo)學(xué)內(nèi)容游離于教材之外，將會加重學(xué)生的學(xué)習負擔。導(dǎo)學(xué)內(nèi)容應(yīng)與教材形成有機的組合體，應(yīng)在吃透教材，理解新課程理念基礎(chǔ)上，將導(dǎo)學(xué)內(nèi)容設(shè)計成學(xué)生進一步學(xué)習的抓手。

強化導(dǎo)學(xué)內(nèi)容的跨學(xué)科融通。導(dǎo)學(xué)內(nèi)容統(tǒng)整性主要分為多學(xué)科、跨學(xué)科以及超學(xué)科主題內(nèi)容的設(shè)計三種模式。簡單來說，就是將一個單一的數(shù)學(xué)問題通過這三種模式不斷擴充，使學(xué)生能夠在學(xué)習數(shù)學(xué)的同時，加強其對于其他學(xué)科的理解，對于社會知識的感悟。

強化導(dǎo)學(xué)內(nèi)容與鞏固性作業(yè)統(tǒng)一。如果我們不能正確處理好課前導(dǎo)學(xué)與課后鞏固練習的關(guān)系，學(xué)習量過大，這勢必演變成作業(yè)前置，延長學(xué)生的學(xué)習時間，造成學(xué)生學(xué)業(yè)負擔過重。

六、以生為本原則

所謂以生為本原則，是指以學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展為本，以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為要，通過導(dǎo)學(xué)案內(nèi)容的優(yōu)化設(shè)計，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題與解決問題的能力，并持之以恒形成較為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維方式，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題能力和創(chuàng)新精神，提升學(xué)習效益。

注重導(dǎo)學(xué)內(nèi)容與學(xué)生素養(yǎng)整合。發(fā)現(xiàn)學(xué)習是一種自我學(xué)習素養(yǎng)提升的重要學(xué)習方式，對高中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習尤其重要。因此，導(dǎo)學(xué)內(nèi)容的設(shè)計必須基于學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)視角予以關(guān)注，落腳在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，提升學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的理解力和轉(zhuǎn)化力。

注重導(dǎo)學(xué)內(nèi)容與學(xué)生學(xué)習動機匹配。學(xué)習動機是發(fā)現(xiàn)學(xué)習關(guān)鍵要素，如何激發(fā)學(xué)生積極的學(xué)習心向，產(chǎn)生一種學(xué)習欲望并能有一定的數(shù)學(xué)學(xué)習意志品質(zhì)，對于導(dǎo)學(xué)內(nèi)容的設(shè)計至關(guān)重要。因為只有動機切合，才能相得益彰，取得應(yīng)有的學(xué)習效益。布魯納認為，首先，強化動機的形式要符合學(xué)生的年齡特征。高中生的數(shù)學(xué)抽象思維逐步形成，對于導(dǎo)學(xué)形式不能過于具象，要幫助學(xué)生逐步樹立高中數(shù)學(xué)必須具備的思維品質(zhì)。其次，強化的步驟要適時。教師對于學(xué)生引導(dǎo)要有耐心，在實際教學(xué)中要基于導(dǎo)學(xué)案的實際狀況。學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)果與教學(xué)目標相近或相同時，教師才可以提示，否則不利于強化學(xué)生的發(fā)現(xiàn)。

當前，以導(dǎo)學(xué)案為載體的課堂教學(xué)研究受到越來越多地關(guān)注。只有認真貫徹為學(xué)生自主學(xué)習而“導(dǎo)”、為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習興趣而“導(dǎo)”、為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)而“導(dǎo)”的設(shè)計理念，才能達到預(yù)期的教學(xué)效果。

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責任編輯：趙赟