“甲蟲(chóng)爬環(huán)”問(wèn)題求解的3個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)

于志明

(連云港師范高等?？茖W(xué)校物理系,江蘇 連云港 222006)

“甲蟲(chóng)爬環(huán)”問(wèn)題求解的3個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)

于志明

(連云港師范高等?？茖W(xué)校物理系,江蘇 連云港 222006)

“甲蟲(chóng)爬環(huán)”問(wèn)題:[1]質(zhì)量為m1的甲蟲(chóng),在質(zhì)量為m2、半徑為r的圓環(huán)上爬行,圓環(huán)放在光滑的水平桌面上,開(kāi)始時(shí)甲蟲(chóng)和圓環(huán)都是靜止的.要求: (1) 甲蟲(chóng)在圓環(huán)上爬行一周時(shí),圓環(huán)自身轉(zhuǎn)過(guò)的角度.(2) 若甲蟲(chóng)以相對(duì)速度u沿逆時(shí)針?lè)较蛟趫A環(huán)上爬行,甲蟲(chóng)和環(huán)心相對(duì)于桌面運(yùn)動(dòng)的速度.(3) 運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)甲蟲(chóng)與圓環(huán)接觸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.

這道題的求解對(duì)于中學(xué)生來(lái)講有一定難度,下邊談?wù)勄蠼膺@道題的3個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié).

1 質(zhì)心知識(shí)的應(yīng)用

圖1

將甲蟲(chóng)和圓環(huán)組成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系,設(shè)開(kāi)始時(shí)甲蟲(chóng)位于圓環(huán)上的A點(diǎn),甲蟲(chóng)和圓環(huán)組成的質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心為C,甲蟲(chóng)到C的距離為r1,圓環(huán)的圓心O到C的距離為r2,如圖1所示.則

m1r1=m2r2.

(1)

r1+r2=r.

(2)

所以

(3)

(4)

由于開(kāi)始時(shí)甲蟲(chóng)和圓環(huán)在水平桌面上都是靜止的,水平桌面是光滑的,根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可知,由甲蟲(chóng)和圓環(huán)組成的質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心C在水平桌面上是始終靜止不動(dòng)的.而當(dāng)甲蟲(chóng)在圓環(huán)上爬行時(shí),由于r1、r2大小恒定,故甲蟲(chóng)和環(huán)心都在桌面上做以C為圓心的圓周運(yùn)動(dòng),且具有相同的角速度.

根據(jù)質(zhì)心的知識(shí)確定甲蟲(chóng)和圓環(huán)組成的質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心的位置、質(zhì)心在桌面上靜止、甲蟲(chóng)爬行時(shí)甲蟲(chóng)和環(huán)心都在桌面上做以質(zhì)心為圓心的圓周運(yùn)動(dòng),這是求解這道題的第1個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié).

2 爬行條件的應(yīng)用

圖2

設(shè)甲蟲(chóng)在圓環(huán)上以勻相對(duì)速度u沿逆時(shí)針?lè)较蚺佬?由于桌面是光滑的,當(dāng)甲蟲(chóng)在圓環(huán)上爬行時(shí),圓環(huán)將沿順時(shí)針?lè)较蛳蛳罗D(zhuǎn)動(dòng),同時(shí)圓環(huán)的環(huán)心O將向下移動(dòng),而環(huán)心O到C的距離保持不變.設(shè)甲蟲(chóng)開(kāi)始爬行時(shí)圓環(huán)的位置如圖2中的實(shí)線所示,而甲蟲(chóng)爬行t時(shí)間后,圓環(huán)的位置如圖2中的虛線所示,此時(shí)甲蟲(chóng)位于圓環(huán)上的B點(diǎn),甲蟲(chóng)相對(duì)于桌面沿逆時(shí)針?lè)较蚶@質(zhì)心C轉(zhuǎn)過(guò)的角度為α,而開(kāi)始時(shí)甲蟲(chóng)在圓環(huán)上的接觸點(diǎn)A繞環(huán)心O沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)過(guò)的角度為β,在t時(shí)間內(nèi)甲蟲(chóng)在圓環(huán)上由A點(diǎn)爬行到了B點(diǎn),爬過(guò)的弧長(zhǎng)為ut.由圖2可知，

(5)

上式兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)得

(6)

3 角動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用

在本題中,由甲蟲(chóng)和圓環(huán)組成的質(zhì)點(diǎn)系對(duì)其質(zhì)心C的角動(dòng)量是守恒的.甲蟲(chóng)對(duì)于質(zhì)心C的角動(dòng)量為

(7)

(8)

由于甲蟲(chóng)和圓環(huán)組成的系統(tǒng)開(kāi)始時(shí)是靜止的,故由角動(dòng)量守恒定律得

(9)

將式(9)和式(6)聯(lián)立求解得

(10)

(11)

將式(3)、(4)代入式(10)、(11)可得

(12)

(13)

(14)

(15)

有了α和β隨時(shí)間t的變化關(guān)系,“甲蟲(chóng)爬環(huán)”的所有問(wèn)題就可以迎刃而解了.

(16)

而由式(15)可知此時(shí)圓環(huán)上的A點(diǎn)在桌面上繞環(huán)心O轉(zhuǎn)過(guò)的角度為

(17)

且

α+β=2π.

(18)

(2) 由式(14)和式(3)、(4)可得甲蟲(chóng)和環(huán)心O在桌面上繞質(zhì)心C圓周運(yùn)動(dòng)的速度分別為

(19)

(20)

圖3

(3) 建立以質(zhì)心C為原點(diǎn)的靜止在桌面上的直角坐標(biāo)系C-xy,如圖3所示.由圖3可知,圓環(huán)上的A點(diǎn)在C-xy中的坐標(biāo)為

x=rcosβ-r2cosα.

(21)

y=rsinβ+r2sinα.

(22)

將式(3)、(4)、(14)、(15)代入式(21)、(22)即得A點(diǎn)的坐標(biāo)隨時(shí)間t的變化關(guān)系為

(23)

(24)

式(23)、(24)就是圓環(huán)上的A點(diǎn)在桌面上運(yùn)動(dòng)的軌跡方程.可以肯定的是如果m2?m1,則質(zhì)心C就非常靠近環(huán)心O,A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡就非常接近于圓環(huán).

1 李力,張銀.“甲蟲(chóng)爬環(huán)”問(wèn)題的解析[J].大學(xué)物理,2016,35(8):22-24.

2 哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室編.理論力學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2012.

2017-03-02)