數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

◎譚子灝

數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

◎譚子灝

數(shù)形結(jié)合是高中階段的重要解題思想，在實(shí)際問題解決中的應(yīng)用價(jià)值較高，能提升問題解決質(zhì)量與效率。學(xué)生在高中階段的數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)對(duì)該解題思想的應(yīng)用研究。本文簡(jiǎn)要就數(shù)形結(jié)合思想在實(shí)際問題中的解題策略進(jìn)行分析，并以此為基礎(chǔ)，總結(jié)性的探索了該解題思想的實(shí)際應(yīng)用模式。以期為廣大高中學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用能力提升提供參考，保證解題質(zhì)量。

數(shù)形結(jié)合思想主要是指學(xué)生在實(shí)際問題解決時(shí)，通過就數(shù)與形之間的相互關(guān)系進(jìn)行分析，將題目中理解較為困難抽象的條件與關(guān)鍵點(diǎn)通過形象的集合圖形進(jìn)行表示。從而實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，幫助學(xué)生找準(zhǔn)問題解決的關(guān)鍵點(diǎn)，避免重復(fù)冗長(zhǎng)的問題分析與計(jì)算，是重要的高中數(shù)學(xué)問題解決工具。該解題思想的應(yīng)用相比其他解題方式更加有效，學(xué)生在實(shí)際問題解決時(shí)不僅能實(shí)現(xiàn)解題精確度的提升，還能有效實(shí)現(xiàn)解題時(shí)間的節(jié)約。

數(shù)形結(jié)合思想在實(shí)際數(shù)學(xué)問題解決中的應(yīng)用分析

數(shù)形結(jié)合思想作為重要的數(shù)學(xué)解題思想，在高中數(shù)學(xué)問題解決中的應(yīng)用是十分常見的，在多種問題解決中都具有重要的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)，且具體表現(xiàn)在以下幾方面數(shù)學(xué)知識(shí)的解決中。其一，集合類問題的解決。集合是高中階段的重要數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容，在高考數(shù)學(xué)試題的選擇與填空題中十分常見，而其大多是以就集合的交集、并集以及補(bǔ)集的方式出現(xiàn)。學(xué)生在進(jìn)行該類型的問題解決時(shí)可采用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行問題解決，即利用數(shù)軸展開問題思考，將抽象的集合問題具體化，方便學(xué)生快速地得到問題答案。

例1，現(xiàn)存在一全集為U=N，集合A={X=2n,n∈ N},B={X|X=4n,n∈ N}，試求出集合U=( )。

學(xué)生可根據(jù)題目繪畫出相應(yīng)的Venn圖來就問題中的數(shù)據(jù)關(guān)系進(jìn)行表示，從而求出相應(yīng)的集合。如圖1所示，B集合其實(shí)是A集合的真子集，所以集合U=A∪CuB。

圖1

其二，方程與不等式問題的解決。方程問題與不等式問題不僅可作為單獨(dú)的計(jì)算問題，同時(shí)還可能會(huì)出現(xiàn)在綜合性數(shù)學(xué)題當(dāng)中，學(xué)生在就方程問題進(jìn)行解決時(shí)可將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)問題，而不等式問題可轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)問題。之后再利用函數(shù)的幾何意義來繪制相應(yīng)的幾何圖形，從而實(shí)現(xiàn)問題解決。

例2，試求方程組x+y=3,y=2x這一方程組的解。

學(xué)生在就該方程問題解決時(shí)，可根據(jù)方程數(shù)據(jù)將其變化成圖像交點(diǎn)圖形，即圖2，并根據(jù)交點(diǎn)的坐標(biāo)來就該方程組的解的大小進(jìn)行明確，從而進(jìn)行問題解決。最終解出該方程組的解為x=1,y=2。

圖2

其三，絕對(duì)值問題的解決。學(xué)生在就絕對(duì)值問題進(jìn)行解決時(shí)可通過數(shù)形結(jié)合的思想，將絕對(duì)值問題中的數(shù)值轉(zhuǎn)換到相應(yīng)的數(shù)軸上，依靠絕對(duì)值性質(zhì)確定解題范圍，從而求解。

例3，當(dāng)|x|＞a,(a＞0)，試求x的取值范圍。

學(xué)生在就該問題解決時(shí)，可首先根據(jù)題干中的數(shù)據(jù)繪制出相應(yīng)的數(shù)軸圖，即圖3，由兩點(diǎn)之間的具體可分析得出x的取值范圍為：x＜-a或者x＞a.

圖3

數(shù)形結(jié)合思想的解題應(yīng)用模式分析

由數(shù)據(jù)變化為圖形。高中階段的數(shù)學(xué)問題對(duì)于學(xué)生的抽象思維與邏輯思維的能力要求較高，所以大多數(shù)的題目中給出的數(shù)據(jù)與條件都較為抽象，利用代數(shù)解題方式實(shí)現(xiàn)問題解決將難以抓住問題解決的關(guān)鍵點(diǎn)。學(xué)生在進(jìn)行該類型的問題解決時(shí)就可根據(jù)問題中涵蓋的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)變形，將其轉(zhuǎn)化為圖形。首先，學(xué)生應(yīng)當(dāng)就實(shí)際問題中的條件以及結(jié)果進(jìn)行分析，積極調(diào)動(dòng)所學(xué)的幾何與立體幾何知識(shí)進(jìn)行問題中的數(shù)據(jù)重現(xiàn)，繪出相應(yīng)的圖形。并就該圖形的性質(zhì)以及幾何意義進(jìn)行標(biāo)明，之后再根據(jù)具體的圖形表達(dá)式或者相關(guān)公式來進(jìn)行問題解決，求出問題目標(biāo)。

由圖形變化為數(shù)據(jù)。圖形問題逐漸成為當(dāng)前高中數(shù)學(xué)考察中的重要類型，但是在實(shí)際問題中所涉及到的圖形往往十分復(fù)雜，學(xué)生可將相關(guān)圖形轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的數(shù)據(jù)，通過代數(shù)法來進(jìn)行問題的解決。而為保證圖形轉(zhuǎn)化的準(zhǔn)確性，學(xué)生應(yīng)當(dāng)首先就題目中的圖形特征進(jìn)行分析，觀察該題目中是否存在隱含性條件。而在實(shí)際問題解決時(shí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)遵循以下解題規(guī)律。即首先就題目要求與問題求解目標(biāo)進(jìn)行明確，其次在就圖形中所含有的幾何意義與幾何條件進(jìn)行分析，最后利用代數(shù)式進(jìn)行圖形數(shù)據(jù)與條件的表達(dá)，利用所學(xué)的代數(shù)公式或者代數(shù)定理進(jìn)行問題求解。

使數(shù)據(jù)和圖形相互變化。該解題模式的應(yīng)用從本質(zhì)上講，其實(shí)就是以上兩種解題模式的有機(jī)結(jié)合體，其主要被應(yīng)用于更為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題當(dāng)中。該類型的問題往往不僅含有較多的抽象的數(shù)據(jù)，同時(shí)還以復(fù)雜的圖形作為已知條件。學(xué)生在進(jìn)行該問題解決時(shí)，應(yīng)當(dāng)就實(shí)際問題進(jìn)行深入的分析，并就題干中所給出的數(shù)形關(guān)系進(jìn)行標(biāo)注。注意觀察題目中是否存在隱含性的條件，養(yǎng)成數(shù)據(jù)與圖形相互變化的意識(shí)。

數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)問題解決中的應(yīng)用十分廣泛，能就常見的集合問題、不等式問題、三角函數(shù)問題、線性規(guī)劃問題以及絕對(duì)值問題等進(jìn)行解決，相比其他解題方式更加快速便捷。而學(xué)生在實(shí)際問題解決的過程中，還應(yīng)當(dāng)注重由數(shù)變形、以形變數(shù)以及數(shù)形互變等多種解題模式的應(yīng)用，切實(shí)實(shí)現(xiàn)自身的數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能力提升，保證問題解決的質(zhì)量與問題解決的效率。

（作者單位：長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)）