采用FFT-PSO策略的多約束稀疏陣天線方向圖綜合*

潘紅光1,薛紀(jì)康1,高海南**2,江能前

(1.西安科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院，西安710054;2.西安衛(wèi)星測控中心，陜西 渭南714000;3.西安交通大學(xué) 經(jīng)濟(jì)金融學(xué)院，西安710049)

采用FFT-PSO策略的多約束稀疏陣天線方向圖綜合*

潘紅光1,薛紀(jì)康1,高海南**2,江能前3

(1.西安科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院，西安710054;2.西安衛(wèi)星測控中心，陜西 渭南714000;3.西安交通大學(xué) 經(jīng)濟(jì)金融學(xué)院，西安710049)

采用稀疏布陣的相控陣測控天線，陣元等幅激勵時的陣列峰值副瓣電平無法滿足指標(biāo)要求。在考慮天線增益、半功率波束寬度等指標(biāo)約束時設(shè)計了合適的適應(yīng)度函數(shù)，并基于粒子群算法(PSO)對陣元激勵幅度進(jìn)行優(yōu)化以降低天線副瓣電平。同時，分析了等間距柵格平面陣列天線方向圖與離散傅里葉變換的關(guān)系，采用快速傅里葉變換(FFT) 降低了陣列方向圖計算復(fù)雜度。仿真結(jié)果表明，該方法可有效降低峰值副瓣電平和計算復(fù)雜度。

航天測控；相控陣天線；稀疏平面陣列;粒子群優(yōu)化；方向圖綜合

1 引 言

隨著航天測控技術(shù)的發(fā)展和測控任務(wù)的增加，相控陣天線在測控設(shè)備天線的設(shè)計中應(yīng)用越來越廣泛。相控陣天線具備波束賦形和掃描靈活的優(yōu)勢，可用來提高陣列系統(tǒng)的整體性能，增加對輻射方向圖的控制能力[1-3]。實際中，需要天線陣列的優(yōu)化布陣技術(shù)以滿足其設(shè)計中成本、結(jié)構(gòu)和設(shè)備功能等方面的需求。一般來說，相控陣天線陣列設(shè)計分為稀疏和稀布兩種布陣方式[4]。稀疏陣列是將一定數(shù)目的天線單元從均勻間隔陣列中稀疏而形成的，其陣元間距是原均勻陣列的陣元間距的整數(shù)倍；而稀布陣列的天線單元在天線孔徑上隨機(jī)分布，其陣元間距是相互不可整除的[4-5]。相較而言，由于稀疏陣列的結(jié)構(gòu)設(shè)計和波束控制簡便易行，因此在工程實際中應(yīng)用更為常見。

對稀疏陣列天線而言，工程中采用陣元等幅度激勵方法時，稀疏陣列天線方向圖的峰值副瓣電平(Peak SideLobe Level，PSLL) 很難滿足指標(biāo)要求，并會帶來一系列問題[6]，如：較高的PSLL 會增大副瓣誤跟蹤的幾率，進(jìn)而增加任務(wù)風(fēng)險。因此，需要對稀疏平面陣列天線方向圖進(jìn)行低副瓣綜合以降低PSLL[7]。

對測控(Telemetry，Track and Command，TT&C)天線而言，接收天線增益反映接收靈敏，半功率波束寬度BW(又稱主瓣寬度)對目標(biāo)測向精度有很大的影響。由于基于陣元激勵幅值的方向圖綜合時降低陣列天線峰值副瓣電平的同時，一般也會降低天線增益和展寬半功率波束寬度，導(dǎo)致接收信號電平門限的降低和測向數(shù)據(jù)誤差的增大，因此需要在設(shè)計適應(yīng)度函數(shù)時考慮考慮以上兩個指標(biāo)約束。

稀疏平面陣列方向圖綜合問題中的目標(biāo)函數(shù)和約束條件往往是多參數(shù)、非線性、不可微的，因此傳統(tǒng)的解析方法和梯度尋優(yōu)數(shù)值方法均無法有效求解[9]。而遺傳算法(Genetic Algorithm，GA)、粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)、自適應(yīng)差分算法和模擬退火算法等智能算法[9-14]在求解多變量非線性優(yōu)化問題上具有很大的優(yōu)勢，算法簡單、易于實現(xiàn)，因此在陣列天線方向圖綜合中得到了廣泛的應(yīng)用。譬如：文獻(xiàn)[14]中所采用的自適應(yīng)差分算法在處理分布式孔徑雷達(dá)的方向圖問題時，僅通過較少的仿真次數(shù)即可穩(wěn)定的獲得更低的旁瓣電平。

粒子群算法源自對鳥群捕食行為的研究，由Kennedy 和Eberhart[15]提出。基于標(biāo)準(zhǔn)PSO算法及改進(jìn)的PSO算法優(yōu)化稀布陣列天線間距和稀疏陣列天線的稀疏位置和陣元激勵幅度、相位，可得到滿意的PSLL，但構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)時很少考慮工程中對天線增益和半功率波束寬度等指標(biāo)約束要求和柵瓣存在的影響。對于PSO等智能優(yōu)化算法，采用級數(shù)求和求解天線方向圖的方法也使得計算復(fù)雜度呈指數(shù)級增長[16]。當(dāng)陣元間距等于半波長的特殊情況下，可采用快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform Algorithm，F(xiàn)FT)計算直接得到天線方向圖，但該條件需放寬至任意陣元間距情況方能滿足測控天線方向圖計算需求。

本文建立了稀疏平面陣列天線數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上構(gòu)造了滿足TT&C天線性能指標(biāo)要求的適應(yīng)度函數(shù)，并采用粒子群算法實現(xiàn)了稀疏陣列天線低副瓣方向圖綜合。另外，在分析等間距柵格平面陣列天線方向圖與FFT關(guān)系的基礎(chǔ)上，本文利用離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transformation，DFT)的周期性拓展方向圖，得到了任意陣元間距情況陣列方向圖，降低了計算復(fù)雜度。仿真驗證了方法的有效性。

2 稀疏平面陣列天線方向圖

2.1稀疏陣列天線方向圖數(shù)學(xué)模型

對于圖1所示的稀疏平面陣列天線，陣元只分布于x-y平面內(nèi)的M×N個等間距柵格上，dx為x方向的柵格間距，dy為y方向的柵格間距。定義矩陣A表示陣元稀疏信息，Am，n=1表示(m，n)坐標(biāo)柵格上有陣元，Am，n=0表示該位置陣元被稀疏掉，m∈[0，M-1]，n∈[0，N-1]。平面陣列方向圖為

(1)

其中：xm=mdx；yn=ndy；θ為波束指向與陣列平面法線的夾角；φ為波束指向與陣列平面x正方向的夾角；Cm，n為每個陣元的口徑分布展開的復(fù)電壓，Cm，n=cm，nejΘm;n，cm，n為陣元激勵幅度，cm，n∈[0，1]，Θm，n為歸一化陣元激勵相位，Θm，n∈[0，2π]，均受陣元中的移相器控制[17]。

圖1 稀疏平面陣列天線模型Fig.1 The model of sparse planar array antenna

若僅考慮幅度激勵，則對?m∈[0，M-1]和?n∈[0，N-1]，有Θm，n=0，式(1)可變?yōu)?/p>

(2)

由天線方向圖的乘積原理可知，相控陣天線的天線方向圖為陣元方向圖e(θ，φ)與陣列因子f(θ，φ)的乘積，即

F(θ，φ)=e(θ，φ)f(θ，φ)，

(3)

(4)

2.2陣列天線方向圖的FFT計算方法

陣元方向圖e(θ，φ)固定不變，因此計算陣列天線方向圖需首先計算陣列因子f(θ，φ)。 直接按照式(2)計算方向圖需要(MN)2次復(fù)數(shù)乘法和MN(MN-1)次復(fù)數(shù)加法，當(dāng)陣元個數(shù)較多時，計算量很大。通過變換將式(2)寫為

(5)

圖2 FFT 變換后的u-v空間示意圖Fig. 2 The u-v space diagram after FFT transformation

對u和v進(jìn)行變換處理有

(6)

uL≤u≤uR，vL≤v≤vR。

(7)

通過FFT方法可將陣列因子方向圖的計算復(fù)雜度由(MN)2降低到(MN)lb(MN)數(shù)量級，提高了優(yōu)化算法的效率[16]。

3 基于粒子群優(yōu)化的多約束方向圖綜合

3.1粒子群優(yōu)化算法簡介

粒子群算法首先在給定的解空間中隨機(jī)初始化粒子群，待優(yōu)化問題的變量數(shù)決定了解空間的維數(shù)。每個粒子均有初始位置、初始速度和優(yōu)化目標(biāo)構(gòu)造的適應(yīng)度函數(shù)，在解空間中按照一定的速度迭代尋優(yōu)。每次迭代中，粒子通過跟蹤兩個極值來更新自己在解空間中的位置與速度，一個是單個粒子在迭代過程中找到的最優(yōu)個體極值，另一個為種群所有粒子在迭代過程中所找到的全局最優(yōu)極值。

粒子群算法的速度、位置的迭代方程為

(8a)

(8b)

3.2適應(yīng)度函數(shù)設(shè)計

適應(yīng)度函數(shù)的設(shè)計是粒子群算法的關(guān)鍵，合適的適應(yīng)度函數(shù)能夠提高算法的優(yōu)化結(jié)果，因此，其設(shè)計必須根據(jù)所要優(yōu)化的問題具體分析。對于TT&C天線而言，接收天線增益可反映接收靈敏度，而半功率波束寬度BW(又稱主瓣寬度)也對目標(biāo)測向精度有很大的影響。基于陣元激勵幅值的方向圖綜合時，在降低陣列天線峰值副瓣電平的同時，一般也會降低天線增益和半功率波束寬度，導(dǎo)致接收信號電平門限的降低和測向數(shù)據(jù)誤差的增大，因此在設(shè)計適應(yīng)度函數(shù)時需要考慮以上兩個指標(biāo)約束。

對于式(3)表示的方向圖函數(shù)，若限定最大副瓣電平與主瓣電平之差(對數(shù))為KF，構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)，即

(9)

其中:max函數(shù)為求極大值，且滿足

(10)

(11)

其中：BW，S為設(shè)定的半功率波束寬度，BW不應(yīng)大于BW，S；FS為設(shè)定的天線增益，F(xiàn)max不應(yīng)小于FS；α、β、γ分別為對應(yīng)項的權(quán)值，權(quán)值越大表示該項指標(biāo)越重要。通過最小化該適應(yīng)度函數(shù)，不斷迭代搜索滿足約束條件的最優(yōu)解，可實現(xiàn)方向圖的低副瓣綜合。

3.3整體算法

對于TT&C天線，離主瓣波束最近的若干峰值副瓣電平大小對目標(biāo)角度捕獲影響最大，因此，方向圖綜合的目的在于優(yōu)化陣元激勵幅度以降低一定角度范圍的峰值副瓣電平。為保證天線方向圖E面和H面的對稱，陣元激勵幅度也應(yīng)以陣元為中心一致。稀疏陣列天線的陣元稀疏位置由矩陣A控制，故被優(yōu)化變量為MN個等效陣元激勵幅度Im，n(Am，ncm，n)。 算法實施框圖如圖3所示。具體地，將等效陣元激勵幅度Im，n(m∈[0，M-1]，n∈[0，N-1])視為粒子，并進(jìn)行初始化，可采用FFT算法計算得到陣元方向圖F(θ，ψ)；在此基礎(chǔ)上，即可得到峰值副瓣電平、天線增益和半功率波束寬度等指標(biāo)；綜合上述3個指標(biāo)得到適應(yīng)度函數(shù)值并進(jìn)行搜索優(yōu)化，完成一次迭代；最后，達(dá)到迭代次數(shù)或者適應(yīng)度函數(shù)值滿足誤差要求后優(yōu)化完成。

圖3 粒子群優(yōu)化方向圖框圖Fig.3 The pattern diagram of particle swarm optimization

算法1(整體算法):

Step1 初始化等間距柵格節(jié)點(diǎn)上的陣元幅值及其速度值。

Step2 由FFT計算陣列方向圖和初始種群適應(yīng)度函數(shù)，并根據(jù)式(11)所示的適應(yīng)度函數(shù)得到全局最優(yōu)種群和個體最優(yōu)種群。

Step3 按式(8)產(chǎn)生新的種群，并計算新種群的適應(yīng)度函數(shù)，更新全局最優(yōu)和個體最優(yōu)值，然后更新種群速度。

Step4 判斷是否達(dá)到終止條件，若是，終止迭代，否則轉(zhuǎn)向Step 3。

注釋1:

(1)粒子群算法作為一種常見的啟發(fā)式算法，其明顯優(yōu)勢是算法的有效性和程序?qū)崿F(xiàn)的便捷性。

(2)由圖3及算法1的描述可知，該整體算法可作為解決此類問題的通用框架，能夠方便地采用遺傳算法、差分進(jìn)化算法等啟發(fā)式算法替換。

(3)適應(yīng)度函數(shù)可以靈活的采用不同指標(biāo)進(jìn)行構(gòu)造，以滿足應(yīng)用中出現(xiàn)的不同需求。

注釋2:

(1)本文通過分析等間距柵格平面陣列天線方向圖與離散傅里葉變換的關(guān)系，采用FFT來降低陣列方向圖計算復(fù)雜度。在整體算法1中，每個粒子的每步迭代計算均采用FFT算法降低陣列方向圖的計算量，從而顯著降低了整體算法的計算量。

(2)根據(jù)注釋1及注釋2(1)，在采用其他啟發(fā)式算法(如遺傳算法、差分進(jìn)化算法等)后，整體算法的計算量主要取決于這些啟發(fā)式算法參數(shù)(如遺傳算法的種群和遺傳代數(shù)、差分進(jìn)化算法的個體數(shù)和迭代次數(shù)等)的設(shè)置。因此，已有文獻(xiàn)對于此類啟發(fā)式算法計算復(fù)雜度的比較結(jié)果也適用于本文的整體算法1。

4 仿真與分析

本仿真采用的臺式計算機(jī)參數(shù)如下：酷睿i5 4590系列處理器，CPU頻率為3.3 GHz，內(nèi)存容量為4 GB。

測控陣列天線陣元稀疏情況如圖4所示，灰色方格為陣元，白色方格表示陣元被稀疏掉，陣列中陣元行數(shù)M=16，列數(shù)N=16。下行信號空間自由波長λ，陣元間距dx=dy=2λ。

注釋3：

工程應(yīng)用的設(shè)備工作在S頻段，信號波長為0.13～0.16 m，設(shè)備研制方選取陣元間距dx=dy=2λ，那么單個陣元尺寸為0.27～0.35 m，平面陣列尺寸約為5 m×5 m，在這個尺寸下，既方便結(jié)構(gòu)設(shè)計、降低成本，又能滿足性能要求。因此，選取陣元間距dx=dy=2λ是綜合衡量的結(jié)果。

4.1波束未掃描時的仿真結(jié)果

當(dāng)不存在波束掃描，即掃描角θ=0°時，若陣元為等幅激勵，則通過Matlab仿真得到陣列天線的三維空間歸一化方向圖如圖5 所示(坐標(biāo)u′、v′定義為u′=sinθcosφ、v′=sinθsinφ)，對應(yīng)的E面歸一化方向圖如圖6所示，陣列天線理論增益為65.77 dB，方向圖峰值副瓣電平為-10.25 dB，半功率波束寬度為BW=1.47°。同時可以看到，在偏離主波束30° 存在第一柵瓣。在工程實際中，考慮到拼陣損失和數(shù)字移相器幅相誤差等因素影響，實際峰值幅瓣電平和半功率波束寬度一般均大于上述仿真值。

圖4 陣元排布示意圖Fig.4 The diagram of array element configuration

圖6 陣列天線E 面歸一化方向圖Fig.6 The E-plane normalized pattern of array antenna

如表1所示，測控設(shè)備天線峰值副瓣電平要求小于-13 dB，采用粒子群算法進(jìn)行方向圖低副瓣綜合時，展寬后的半功率波束寬度不大于1.6°，天線增益下降不超過2 dB?？紤]到測控設(shè)備天線測角的功能需求，方向圖關(guān)于陣面法線對稱分布，因此，圖4的每個子陣中的陣元激勵幅度關(guān)于陣面中心對稱，則粒子的維數(shù)為子陣柵格數(shù)64，粒子數(shù)目n=50，陣元激勵幅度范圍為[0，1]，迭代次數(shù)N=200，c1=c2=2，慣性權(quán)重ω隨迭代次數(shù)從1到0.4線性遞減，ξ、η取[0，1]的隨機(jī)數(shù)，適應(yīng)度函數(shù)各項加權(quán)系數(shù)α、β、γ分別為1、0.5、1。

表1 優(yōu)化前后參數(shù)對比Tab.1 Comparison between the non-optimized and optimized parameters

粒子群優(yōu)化算法性能如圖7所示，第49次迭代后適應(yīng)度函數(shù)值已基本接近于0。圖8所示為粒子群算法得到的陣元激勵幅值直方圖分布，圖9 所示為陣列天線E面方向圖，優(yōu)化后的峰值副瓣電平為-13.25 dB，天線增益下降1.89 dB，波束寬度為1.55°，均滿足設(shè)定的指標(biāo)要求。另外，與陣元疊加原理計算方向圖相比，F(xiàn)FT方法計算方向圖的每次平均迭代時間由4.58 s 降為0.23 s，因此FFT 方法的運(yùn)用提高了計算效率。

圖7 粒子群優(yōu)化算法性能Fig.7 The algorithm performance of PSO

圖8 陣元激勵幅值直方圖分布Fig.8 The amplitude histogram of array element excitation

圖9 E面方向圖Fig.9 The E-plane pattern

4.2進(jìn)一步討論

4.2.1波束掃描時的仿真結(jié)果

采用4.1節(jié)中θ=0°時優(yōu)化得到的陣元等效激勵幅度Im，n，并保持其他參數(shù)不變，通過改變波束掃描角θ的數(shù)值來分析波束掃描時的離線優(yōu)化結(jié)果，具體如表2所示。由表2可知，隨著掃描角度θ的增大，半功率波束寬度隨著掃描角度的增大逐漸展寬；同時，峰值副瓣電平逐漸增大、天線增益逐漸下降，這兩項指標(biāo)在θ=6°時均不滿足指標(biāo)要求。顯然，如果不能針對變化的掃描角逐個優(yōu)化陣元等效激勵幅度Im，n，那么，在掃描角度θ逐步增大的過程中，峰值副瓣電平、半功率波束寬度和天線增益這3項指標(biāo)均會逐步下降。

表2 波束掃描時的優(yōu)化結(jié)果Tab.2 Optimization results with beam scanning

4.2.2權(quán)重影響分析

本節(jié)對適應(yīng)度函數(shù)式(11)中參數(shù)α、β和γ的選取及其對算法的影響展開討論。

首先，在權(quán)重α、β和γ選取時，需要考慮峰值副瓣電平、半功率波束寬度和天線增益這3項指標(biāo)的重要程度。一般來說，若要體現(xiàn)某個指標(biāo)的重要性，其對應(yīng)的權(quán)重應(yīng)該較其他指標(biāo)的權(quán)重至少高出一個數(shù)量級，下面的仿真結(jié)果也驗證了該結(jié)論。

其次，為了量化權(quán)重α、β和γ對式(11)的影響，采用4.1節(jié)中的仿真參數(shù)，僅將3項指標(biāo)的參考值(分別為峰值副瓣電平≤16.00 dB、半功率波束寬度≤1.48°、天線增益≥65.76 dB)加以收緊，收緊后的各指標(biāo)如表3所示。我們共設(shè)計4組仿真:第一組，α、β和γ均取為1，作為后續(xù)3組仿真的比較基準(zhǔn)；在第二、三、四組中，α、β和γ分別取為100，表示其對應(yīng)的某項指標(biāo)重要性高于其他指標(biāo)。以第四組為例，當(dāng)α、β和γ時，天線增益較第一組中增加2.1 dB，而峰值副瓣電平則距離指標(biāo)偏差增大；也即，增大的權(quán)重值明顯體現(xiàn)了其對應(yīng)指標(biāo)在優(yōu)化過程中的重要性。類似地，從第二、三組的結(jié)果中也可得出相似的結(jié)論。

表3 不同權(quán)重取值對3項指標(biāo)的影響Tab.3 Influence of different weight on three indexes

需要說明的是，4.1節(jié)中對于指標(biāo)參考值的選取主要考慮了實際工程中的影響，當(dāng)然，此種情況下，各權(quán)重對指標(biāo)重要性的區(qū)分度會有所降低，但其作用仍不容忽視，這是工程應(yīng)用中通常采用式(11)作為適應(yīng)度函數(shù)的原因之一。

5 結(jié) 論

為解決TT&C稀疏平面陣列天線峰值副瓣電平過高問題，本文在分析相控陣天線方向圖數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，將天線增益、半功率波束寬度等指標(biāo)加入適應(yīng)度函數(shù)設(shè)計中，采用粒子群算法優(yōu)化陣元激勵幅度，使峰值副瓣電平滿足指標(biāo)要求。FFT方法的運(yùn)用加快了陣列天線方向圖計算速度，顯著降低了計算復(fù)雜度。仿真試驗驗證了算法的有效性，算法可在陣列天線設(shè)計中進(jìn)行應(yīng)用。

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ThinnedArrayAntennaPatternSynthesiswithMultipleConstraintsUsingFFT-PSOStrategy

PAN Hongguang1，XUE Jikang1，GAO Hainan2，JIANG Nengqian3
(1.School of Electrical and Control Engineering，Xi′an University of Science and Technology，Xi′an 710054，China;2.Xi′an Satellite Control Center，Weinan 714000，China;3.School of Economics and Finance，Xi′an Jiaotong University，Xi′an 710049，China)

For the thinned array antenna,the peak sidelobe level (PSLL) of the array with equal amplitude excitation can not meet the requirements of the designed performances. Considering the constraints of antenna gain and the half-power beamwidth,the appropriate fitness function is designed,and the excitation amplitude of the element based on particle swarm optimization (PSO) is optimized to reduce the antenna sidelobe level.Meanwhile,the relationship between the pattern of planar phased array with rectangular grid and the discrete Fourier transform (DFT) is analyzed,then the fast Fourier transform (FFT) is used to reduce the computational complexity. The simulation results show that the proposed approach can effectively reduce the maximum PSLL and the computational complexity.

space TT&C;phased array antenna;thinned planar array;particle swarm optimization;pattern synthesis

date:2017-03-03；Revised date：2017-07-14

國家自然科學(xué)基金資助項目(61603295)；陜西省科技廳工業(yè)科技公關(guān)項目(2016GY-040,2105GY020)

**通信作者：gaohainan1505@163.com Corresponding author：gaohainan1505@163.com

TN821

A

1001-893X(2017)10-1133-07

潘紅光(1983—),男,山東臨沂人,2015年于西安交通大學(xué)獲博士學(xué)位,期間獲國家留學(xué)基金委資助赴美聯(lián)合培養(yǎng),現(xiàn)工作于西安科技大學(xué)電控學(xué)院,主要研究方向為預(yù)測控制、智能控制及其應(yīng)用；

Email:hongguangpan@163.com

薛紀(jì)康(1993—),男,陜西富平人,西安科技大學(xué)電控學(xué)院碩士研究生,主要研究方向為嵌入式控制、預(yù)測控制、智能控制；

Email:jkxue1993@163.com

高海南(1987—),男,安徽太和人,2013年于西安交通大學(xué)獲碩士學(xué)位,現(xiàn)工作于西安衛(wèi)星測控中心,目前研究方向為無線電測控與通信、預(yù)測控制、智能控制；

Email:gaohainan1505@163.com

江能前(1982—),男,江蘇蘇州人,西安交通大學(xué)經(jīng)濟(jì)與金融學(xué)院博士研究生,主要研究方向為應(yīng)用經(jīng)濟(jì)、環(huán)保能源、戰(zhàn)略管理等。

Email:jnq999@hotmail.com

10.3969/j.issn.1001-893x.2017.10.006

潘紅光,薛紀(jì)康，高海南,等.采用FFT-PSO策略的多約束稀疏陣天線方向圖綜合[J].電訊技術(shù)，2017,57(10):1133-1139.[PAN Hongguang,XUE Jikang,GAO Hainan,et al.Thinned array antenna pattern synthesis with multiple constraints using FFT-PSO strategy[J].Telecommunication Engineering,2017,57(10):1133-1139.]

2017-03-03；

2017-07-14