考慮支撐間隙的齒輪系統(tǒng)動力學響應(yīng)分析

張 將，秦訓鵬，陳浩冉

（1.武漢理工大學 汽車工程學院，武漢 430070；2.現(xiàn)代汽車零部件技術(shù)湖北省重點實驗室，武漢 430070）

考慮支撐間隙的齒輪系統(tǒng)動力學響應(yīng)分析

張 將1，2，秦訓鵬1,2，陳浩冉1,2

（1.武漢理工大學 汽車工程學院，武漢 430070；2.現(xiàn)代汽車零部件技術(shù)湖北省重點實驗室，武漢 430070）

以兩軸式變速器三檔傳動齒輪為研究對象，對于通過花鍵與輸出軸連接的從動齒輪，由于制造誤差和裝配誤差，在其中心處所存在的支撐間隙必將影響齒輪傳遞動態(tài)特性，對此以二狀態(tài)模型描述從動齒輪支撐處間隙副的接觸狀態(tài)及碰撞摩擦特性，建立考慮時變嚙合剛度，齒側(cè)間隙，綜合齒頻誤差等非線性特性因素的運動微分方程，采用變步長Runge-Kutta法對狀態(tài)方程進行數(shù)值求解，結(jié)合相圖、Poincare截面和功率譜密度圖，綜合分析間隙值大小等因素對齒輪系統(tǒng)的動力學特性的影響。數(shù)值算例分析表明，隨著間隙值的增大，齒輪嚙合線的傳遞誤差從單周期運動逐漸過渡到混沌運動，從動輪的位移響應(yīng)經(jīng)歷了單周期-準周期-單周期的變化；間隙值過大時，間隙副出現(xiàn)明顯的單邊接觸狀態(tài)。

振動與波；齒輪系統(tǒng)；支撐間隙；非線性動力學；二狀態(tài)法

齒輪系統(tǒng)是各種機器和機械裝備中應(yīng)用最廣的動力和運動傳遞裝置，其力學行為和工作性能對機器有重要的影響。近年來，對于齒輪傳動的精度、振動和噪聲等特性提出了更高的要求，并隨著非線性科學的發(fā)展，國內(nèi)外學者對于齒輪傳動系統(tǒng)的非線性現(xiàn)象展開了大量深入的研究與分析。Theodossiadas S采用解析法對于含有輪齒間隙和時變嚙合剛度的齒輪系統(tǒng)進行了研究，確定了齒輪系統(tǒng)的周期性穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，并對其進行數(shù)值求解[1]；Al-Shyya等建立了單級行星輪系非線性扭轉(zhuǎn)振動模型，運用增量諧波平衡法對系統(tǒng)的響應(yīng)進行求解，并將解析解結(jié)果數(shù)值法結(jié)進行了對比[2]；Chang Jian等在含時變嚙合剛度模型的基礎(chǔ)上研究了齒輪系統(tǒng)中含有非線性懸掛和無非線性懸掛模型，利用分形維數(shù)和分岔圖等方法分析兩者的區(qū)別[3]；Parke等建立了行星齒輪傳動的扭轉(zhuǎn)集中參數(shù)模型和有限元模型，分析比較了兩種模型下行星齒輪傳動的非線性動力學響應(yīng)[4]；許生等以分岔和混沌作為分析手段，研究單對齒輪傳動系統(tǒng)在不同載荷下齒側(cè)間隙的大小對齒輪非線性動力徐響應(yīng)的影響[5]；李同杰等建立行星齒輪系扭轉(zhuǎn)非線性振動模型，結(jié)合Poincare圖形分析，研究轉(zhuǎn)速、嚙合阻尼以及齒側(cè)間隙等參數(shù)對系統(tǒng)分岔特性的影響，同時利用改進后的PNF方法，研究了間隙行星齒輪非線性傳動系的周期軌道及其穩(wěn)定性[6–7]；王鑫等分別建立了含行星輪斷齒和磨損故障的行星輪系量綱一非線性動力學方程，研究了行星輪斷齒故障、行星輪全齒磨損故障隨激勵頻率變化的分岔特性及故障特性，并分析了嚙合阻尼比及外部激勵對系統(tǒng)的影響[8]。李晟等建立了兩級行星齒輪傳動系統(tǒng)非線性扭轉(zhuǎn)動力學模型，研究了激勵頻率、嚙合阻尼比對系統(tǒng)分岔與混沌特性的影響[9]；巫企晶等分析了拉威娜式復合行星齒輪傳動系統(tǒng)中激勵頻率對系統(tǒng)分岔與混沌特性的影響[10]。

以上研究多針對齒輪系統(tǒng)內(nèi)外部激勵對其動態(tài)特性的影響，其簡化的模型中有一些影響因素并未完全考慮到非線性動力學模型中，如齒輪與傳動軸連接副處的支撐間隙。本文針對兩軸式變速器三檔傳動齒輪，其從動輪通過花鍵和輸出軸相連，由于制造誤差和裝配誤差，在從動輪中心支撐處必然存在間隙，并且對齒輪傳遞特性產(chǎn)生影響，對此應(yīng)用二狀態(tài)法描述從動輪與傳動軸之間的間隙副接觸狀態(tài)，建立含有支撐間隙的單對齒動力學模型。對上述模型進行數(shù)值分析，基于非線性動力學相關(guān)理論，借助相平面、Poincare映射及分岔特性等分析了支撐間隙對齒輪系統(tǒng)動力學性能的影響。

1 含間隙的齒輪副動力學模型

建立一個含有時變嚙合剛度、嚙合阻尼、綜合齒頻誤差、齒側(cè)間隙以及支撐接觸副間隙等多種非線性因素的動力系統(tǒng)，采用集中質(zhì)量法建立齒輪系統(tǒng)非線性動力模型，即認為系統(tǒng)是由只有彈性而無質(zhì)量的彈簧和只有質(zhì)量而無彈性的質(zhì)量塊組成的。假設(shè)主動輪的力矩由電機直接提供，其支撐處剛度足夠大；考慮從動輪處傳動軸與齒輪之間的間隙，傳動軸半徑為R1，與傳動軸配合的從動輪孔半徑為R2，則接觸副的間隙為r=R2-R1；齒輪之間的嚙合力始終作用在嚙合線方向上，由此得到簡化后的含間隙單對齒輪嚙合的動力學模型如圖1所示。

圖1 含間隙單對齒輪嚙合動力學模型

建立在主動輪中心處的坐標為OXY，從動輪傳動軸中心處的坐標系為O1X1Y1，上述坐標均為固定坐標系，設(shè)從動輪中心O2在O1X1Y1坐標系中的位移為（x2，y2），則中心距O1O2為

當中心距小于半徑間隙r時，兩構(gòu)件將不接觸，故自由狀態(tài)的條件判斷條件為

接觸狀態(tài)條件為

取等號表示開始接觸，取“＞”表示兩構(gòu)件接觸且接觸表面有變形。

接觸時的接觸角φ即O1O2與X1軸的夾角為

故在接觸點處，運動的從動輪相對于傳動軸的的法向速度和切向速度為

引入階躍函數(shù)δ

表示δ與Vt的正負號相同。引入判斷函數(shù)σ

表示傳動軸與孔為接觸狀態(tài)時，可計算出接觸力，當兩者為自由接觸狀態(tài)時，認為其接觸力為零。認為構(gòu)件表面具有彈性和阻尼，把接觸表面力-位移特性線性化，可得接觸力的法向和切向分力為

式中K，Cn，Ct，f分別為接觸副元素表面的線性化接觸剛度系數(shù)、線性化法向黏性阻尼系數(shù)、切向黏性阻尼系數(shù)和庫侖摩擦系數(shù)。

圖1中，rb1，rb2分別為主從動輪的嚙合基圓半徑；k(t)為齒輪副的時變嚙合剛度；Ce為齒輪副的嚙合阻尼系數(shù)；e(t)為綜合齒頻誤差；T1、T2為作用在主從動輪上的轉(zhuǎn)矩；θ1、θ2分別為主從動輪的扭轉(zhuǎn)角位移；I1、I2為主從動輪的轉(zhuǎn)動慣量。

根據(jù)模型得到系統(tǒng)的含間隙運動微分方程為

式中f是指具有側(cè)隙時的輪齒間的嚙合力非線性位移函數(shù)，具有線性分段性；若假設(shè)齒輪副間的側(cè)隙為2b，則此分段函數(shù)f可表示為

引入輪齒在嚙合線上的傳遞誤差為

對式（9）可化簡為

式中M為齒輪副的等效質(zhì)量，為系統(tǒng)的外部載荷激勵，為由于間隙接觸副摩擦引起的載荷激勵，為齒輪副的嚙合角。

齒輪在嚙合過程中會存在嚙合剛度激勵，剛度激勵就是齒輪嚙合過程中由綜合剛度的時變性引起的動態(tài)激勵。本文根據(jù)石川算法計算出各嚙合齒輪的變形，進而得出單對齒嚙合剛度和雙對齒嚙合剛度，將輪齒嚙合時變剛度的變化近似為矩形方波的周期變化，通過傅里葉級數(shù)展開并略去高階項后整理得

式中km為平均嚙合剛度；kai為變剛度幅值，ω為輪齒嚙合頻率，ω=πnz/30 ，n，z，φ為轉(zhuǎn)速、齒數(shù)及相位角。

齒輪的綜合誤差為單頻的簡諧函數(shù)，即

式中e為綜合誤差幅值，φe為對應(yīng)的相位角。

2 方程的求解及系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析

對于間隙性非線性微分方程組，本文采用變步長自適應(yīng)Runge-Kutta數(shù)值積分方法來得到方程的數(shù)值解，并對某變速器單對嚙合齒輪進行了計算。被計算的齒輪系統(tǒng)參數(shù)為：齒數(shù)Z1=23，Z2=35；壓力角α=20°，齒輪質(zhì)量m1=1.362 kg，m2=0.566 kg；模數(shù)m=2 mm，齒頻誤差幅值為e=30 μm，齒側(cè)間隙為b=80 μm，初始相位角φe=0，驅(qū)動轉(zhuǎn)矩T1=90 N·m，負載轉(zhuǎn)矩T2=135 N·m，嚙合剛度通過石川算法計算變形后用4階傅里葉級數(shù)擬合。

假設(shè)中間傳動軸的半徑為8 mm，分別計算間隙值為0 μm，10 μm，20 μm，50 μm，100 μm下系統(tǒng)的響應(yīng)，用嚙合線上的傳遞誤差S和從動輪位移X2考察間隙值對齒輪傳遞系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)。

圖2為間隙值為0時的分析結(jié)果，從動輪不發(fā)生任何方向上的位移，S的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為單周期運動，相圖為橢圓，Poincare截面為單個離散點，F(xiàn)FT頻譜只出現(xiàn)在激勵頻率上，此時的系統(tǒng)為單頻激勵下的單頻響應(yīng)。

圖2 輪齒嚙合線上的傳遞誤差響應(yīng)（r=0 μm）

圖3、4為間隙為10 μm時的分析結(jié)果，S的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為二周期運動，Poincare截面為兩個離散點，F(xiàn)FT頻譜分別分布在兩個離散頻率處；X2的響應(yīng)為非諧單周期響應(yīng)，此時響應(yīng)的時間歷程也為單周期運動，相圖為橢圓閉合曲線，Poincare截面為單個離散點，F(xiàn)FT頻譜集中分布在單個離散點處。

圖3 輪齒嚙合線上的傳遞誤差響應(yīng)（r=10 μm）

圖4 從動輪的位移響應(yīng)（r=10 μm）

圖5、圖6為間隙為20 μm時的分析結(jié)果，此時S的響應(yīng)為準周期響應(yīng)，在時間歷程圖上出現(xiàn)了與時變嚙合剛度內(nèi)激頻率相關(guān)的成分，近似為周期運動；其相圖為具有一定寬度的閉合曲線帶，Poincare截面為多個離散點總體上趨近于封閉曲線，F(xiàn)FT頻譜分布在兩個離散點處；X2的響應(yīng)依然為單周期響應(yīng)，Poincare截面為單個點，F(xiàn)FT頻譜分布集中分布在單個頻率處，但是在其附近出現(xiàn)了離散分布的頻譜。

圖7、8為間隙為50 μm時的分析結(jié)果，此時S的響應(yīng)為有界的非周期運動，相圖為閉合的曲線帶，Poincare截面為離散分布的點團，功率譜上開始出現(xiàn)連續(xù)譜；X2的響應(yīng)為準周期響應(yīng)，其時間歷程近似為周期運動，相圖近似為具有一定寬度的閉合曲線帶，Poincare截面為集中分布的單個點團，F(xiàn)FT頻譜總體上集中分布在單個離散點處，但附近出現(xiàn)連續(xù)譜。

圖9、圖10為間隙為100 μm的分析結(jié)果，此時S的響應(yīng)逐漸變?yōu)榛煦邕\動，其Poincare截面上的點和考慮的振動周期數(shù)一樣多，F(xiàn)FT頻譜離散的分布在多個頻率處；但是X2的響應(yīng)此時表現(xiàn)為單周期運動，相圖為橢圓閉合曲線，Poincare截面為單個點。

圖5 輪齒嚙合線上的傳遞誤差響應(yīng)（r=20 μm）

圖6 從動輪的位移響應(yīng)（r=20 μm）

從中可以看出，隨著間隙的逐漸增大，S的響應(yīng)經(jīng)歷了單周期運動-準周期運動-混沌運動的變化過程，X2的響應(yīng)經(jīng)歷了單周期運動-準周期運動-單周期運動的變化過程，可以看出在間隙值較小的時候，輪齒間的嚙合傳遞誤差以及從動輪的位移響應(yīng)均為單周期運動，隨著間隙的增大，系統(tǒng)響應(yīng)的非線性特征明顯，傳遞誤差響應(yīng)的運動形態(tài)發(fā)生明顯改變，逐漸由準周期運動過渡到混沌運動，從動輪位移響應(yīng)從單周期運動過渡到準周期運動；但當間隙過大時，從動輪位移響應(yīng)又變?yōu)榱藛沃芷陧憫?yīng)，并且從圖10中的時間歷程圖可以看出從動輪的平衡位置點從中心偏離了一定距離，約2.5 μm，此時傳動軸與孔之間的接觸狀態(tài)表現(xiàn)為單邊接觸，即軸與孔的接觸碰撞只發(fā)生在軸一側(cè)某一部分曲面處，顯然此種運動狀態(tài)將會造成軸與孔的磨損加劇，局部應(yīng)力增大等現(xiàn)象，對齒輪壽命將會造成嚴重的影響，故在實際設(shè)計過程中應(yīng)避免間隙過大的現(xiàn)象發(fā)生。

圖7 輪齒嚙合線上的傳遞誤差響應(yīng)（r=50 μm）

圖8 從動輪的位移響應(yīng)（r=50 μm）

圖9 輪齒嚙合線上的傳遞誤差響應(yīng)（r=100 μm）

圖10 從動輪的位移響應(yīng)（r=100 μm）

3 結(jié)語

（1）利用二狀態(tài)法描述齒輪系統(tǒng)支撐間隙副處的接觸狀態(tài)，建立了含有間隙的齒輪系統(tǒng)動力學模型，計入支撐間隙后系統(tǒng)的運動形態(tài)會發(fā)生明顯改變，使得系統(tǒng)具有強非線性特征，且齒輪嚙合線上的傳遞誤差受間隙影響較大，因此在齒輪系統(tǒng)動力學分析過程中考慮支撐間隙是必要的。

（2）間隙值對嚙合線上的傳遞誤差影響顯著，不考慮間隙時，其動態(tài)響應(yīng)為單周期運動，隨著間隙值的增大、系統(tǒng)響應(yīng)由小間隙的準周期響應(yīng)逐步過渡到混沌運動。

（3）間隙較小時，從動輪的響應(yīng)為單周期運動，其平衡位置位于中心點附近，間隙值增大，其系統(tǒng)響應(yīng)逐步過渡到準周期響應(yīng)，當間隙值過大時，其響應(yīng)回到單周期運動，但平衡位置偏離中心點，此時的間隙副接觸狀態(tài)表現(xiàn)為單邊沖擊狀態(tài)，此種響應(yīng)嚴重影響齒輪的運行狀況和使用壽命，因此在實際工程中要避免間隙過大的現(xiàn)象。

[1]THEODOSSIADAS S,NATSIAVAS S.Nonlinear dynamics of gear-pair systems with periodic stiffness and backlash[J].Journal of Sound Vibration,2000,229(2):287-310.

[2]AL-SHYYAB A,KAHRAMAN A.A nonlinear dynamic model for planetary gear sets[J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers.Part K:Journal of Multi-body Dynamics,2007(221):567-576.

[3]CHANG-JIAN C W.Strong nonlinearity analysis for gearbearing system under nonlinear suspension-bifurcation and chaos[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications,2010,11(3):1760-1774.

[4]PARKER R G,AGASHE V,VIJAYAKAR S M,Dynamic response of a planetary gear system using a finite element contact mechanics model[J].Transactions of the ASME Journal of Mechanical Design,2000,122(3):304-310.

[5]許生，曾凡玲，張士路.含間隙的變速器齒輪系統(tǒng)動力學響應(yīng)分析[J].農(nóng)業(yè)裝備與車輛，2013，51(6)：1-4.

[6]李同杰，朱如鵬，鮑和云.行星齒輪系扭轉(zhuǎn)非線性振動建模與運動分岔特性研究[J].機械工程學報，2011，47(21)：76-83.

[7]李同杰，朱如鵬，鮑和云.行星齒輪傳動系的周期運動及其穩(wěn)定性[J].振動工程學報，2013，26(6)：815-821.

[8]王鑫，徐玉秀，武寶林.行星輪系故障狀態(tài)下分岔與混沌特性分析[J].機械科學與技術(shù)，2017，36(3)：359-364.

[9]李晟，吳慶鳴，張志強.兩級行星輪系分岔與混沌特性研究[J].中國機械工程，2014，25(7)：931-936.

[10]巫企晶，劉振皓，潛波，等.復合行星齒輪傳動系統(tǒng)分岔與混沌特性研究[J].華中科技大學學報（自然科學版），2012，40(2)：9-13.

[11]石建飛，張艷龍，王麗，等.Duffing系統(tǒng)的雙參數(shù)分岔與全局特性分析[J].噪聲與振動控制，2016，36(6)：33-37.

[12]孫方旭，劉樹勇，何其偉.Holmes型Duffing系統(tǒng)動力學特性仿真及實驗[J].噪聲與振動控制，2016，36(2)：17-26.

[13]程歐，茍向鋒.多自由度齒輪系統(tǒng)非線性動力學分析[J].噪聲與振動控制，2015，35(6)：31-35.

[14]楊富春，周曉軍，胡宏偉.兩級齒輪減速器非線性振動特性研究[J].浙江大學學報(工學版)，2009，43(7)：1243-1248.

[15]魏靜，孫清朝，孫偉，等.高速機車牽引齒輪傳動系統(tǒng)動態(tài)特性及非線性因素影響研究[J].振動與沖擊，2012，31(17)：38-43.

[16]曹端超，康建設(shè)，趙勁松，等.改進EMD和HMM的齒輪故障診斷方法應(yīng)用[J].噪聲與振動控制，2013，33(3)；208-211.

Dynamic ResponseAnalysis of Gear Systems with Support Clearance Considered

ZHANG Jiang1,2,QIN Xun-peng1,2,CHEN Hao-ran1,2
(1.College ofAutomotive Engineering,Wuhan University of Technology,Wuhan 430070,China;2.Key Laboratory of ModernAutomobile Spare Parts Technology of Hubei Province,Wuhan 430070,China)

The third grade gear pair of the twin-shaft transmission system is taken as the research object.The driven gear and the output shaft are connected by a spline.Due to the manufacturing error and the assembly error,the support clearance in the center of the driven gear is inevitable which will affect the dynamic characteristics of the gear transmission system.In this paper,the contact state and the friction characteristics of the connection between the gear and the transmission shaft are simulated by the double-state model.The dynamic differential equations are established considering the nonlinear factors such as time-varying meshing stiffness,backlash and comprehensive tooth frequency error.The state equations are solved by the Runge-Kutta method with variable step size.With the help of the phase diagram,Poincare section and power spectrum density diagram,the influences of the clearance on the dynamic characteristics of the gear system are analyzed.Numerical results of the example show that with the increase of the clearance,the transmission error on the gear meshing line changes gradually from single periodic motion to chaotic motion,the displacement response of the driven wheel changes from single periodic motion to quasi-periodic motion and then returns to single periodic motion.The clearance pair shows an obvious unilateral contact state when the clearance value is too large.

vibration and wave;gear system;support clearance;nonlinear dynamics;double-state model

A

10.3969/j.issn.1006-1355.2017.05.011

1006-1355(2017)05-0050-05+159

2017-03-09

武漢理工大學研究生優(yōu)秀學位論文培育資助項目（2016-YS-050）

張將（1993－），男，湖北省松滋縣人，碩士生，主要研究方向為輪轂電機動力學與控制。

E-mai:13618646541@163.com