懸臂黏彈性體夾層梁的非線性隨機(jī)振動抑制性能分析

張 巍，應(yīng)祖光，張四康

（1.浙江理工大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院實(shí)驗(yàn)中心，杭州 310018；2.浙江大學(xué) 航空航天學(xué)院力學(xué)系，杭州 310027）

懸臂黏彈性體夾層梁的非線性隨機(jī)振動抑制性能分析

張 巍1，應(yīng)祖光2，張四康2

（1.浙江理工大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院實(shí)驗(yàn)中心，杭州 310018；2.浙江大學(xué) 航空航天學(xué)院力學(xué)系，杭州 310027）

懸臂黏彈性夾層梁的隨機(jī)振動抑制是一個重要的實(shí)際問題。采用性能可控黏彈性體的夾層梁具有無需改變結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的可優(yōu)化性與對于較寬頻帶激勵的適應(yīng)性。關(guān)于兩端約束可控黏彈性夾層梁的線性振動已有一定研究，而非線性振動仍有待于進(jìn)一步討論。懸臂黏彈性夾層梁高階模態(tài)的求解是一個較為復(fù)雜的問題。高斯寬帶隨機(jī)激勵下黏彈性夾層梁的非線性多模態(tài)耦合振動分析是一個較為困難的問題?？紤]黏彈性體的物理非線性，首次建立懸臂黏彈性夾層梁的非線性運(yùn)動微分方程，確定振動模態(tài)，根據(jù)伽遼金法將該方程離散化為多模態(tài)耦合的非線性振動方程；對于高斯平穩(wěn)隨機(jī)激勵，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)線性化法推導(dǎo)等價擬線性系統(tǒng)，計(jì)算系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)，得到懸臂黏彈性夾層梁非線性隨機(jī)振動的均方位移，及等價的頻響函數(shù)和功率譜；通過數(shù)值分析結(jié)果說明，懸臂黏彈性夾層梁對非線性隨機(jī)振動具有有效的抑制性能。

振動與波；隨機(jī)振動；懸臂梁；非線性黏彈性體；高斯平穩(wěn)激勵；均方根響應(yīng)

懸臂梁是工程結(jié)構(gòu)中一類重要的支承構(gòu)件，它在約束端支座激勵下容易產(chǎn)生較大幅度的振動，而不確定環(huán)境常常導(dǎo)致支座的隨機(jī)運(yùn)動激勵，因此懸臂梁的非線性隨機(jī)振動抑制是重要的實(shí)際問題。由于減振器安裝限制，采用黏彈性材料構(gòu)造復(fù)合懸臂梁成為振動控制的一個有效措施。關(guān)于不可控阻尼夾層梁的振動抑制已有很多研究[1–3]，但其控制效果受環(huán)境（例如激勵頻率）改變而退化。近年來發(fā)展了一種性能可控的黏彈性體[4]，其動力學(xué)特性（例如剛度與損耗因子）可通過外加磁場調(diào)節(jié)。該可控黏彈性體已用于構(gòu)造復(fù)合梁以抑制振動，該復(fù)合梁具有無需改變結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的可優(yōu)化性、及對于較寬頻帶激勵的適應(yīng)性等優(yōu)點(diǎn)。關(guān)于兩端約束的可控黏彈性夾層梁的頻響特性、周期振動響應(yīng)、隨機(jī)振動響應(yīng)等已有一定研究[5–9]，文獻(xiàn)[10]研究了懸臂黏彈性夾層梁的隨機(jī)微振動響應(yīng)，但所用的動力學(xué)模型在幾何和物理上都是線性的。然而，隨著激勵增強(qiáng)，復(fù)合梁特別是懸臂梁的振動變形將相應(yīng)地增大，其中黏彈性體首先表現(xiàn)出物理非線性[11]。因此，較強(qiáng)激勵下懸臂黏彈性夾層梁的振動需要考慮非線性因素。

高斯隨機(jī)激勵是較為普遍的環(huán)境載荷，這類寬頻帶隨機(jī)激勵將導(dǎo)致梁包含低階到高階的多模態(tài)耦合振動，因此高斯隨機(jī)激勵下懸臂黏彈性夾層梁的振動需要考慮多個模態(tài)，進(jìn)行耦合振動分析。然而，高自由度非線性系統(tǒng)的隨機(jī)振動分析仍是目前一個復(fù)雜而困難的問題。對于黏彈性夾層梁的非線性隨機(jī)外激振動，統(tǒng)計(jì)線性化法是目前一個主要而有效的分析方法[12]。此外，伽遼金法是目前將連續(xù)體梁離散化為多自由度系統(tǒng)的一個主要而有效的分析方法，但懸臂梁高階模態(tài)的求解比簡支梁復(fù)雜得多，這極大地增加了伽遼金法應(yīng)用的難度，因此懸臂梁的高模態(tài)耦合非線性隨機(jī)振動研究相對很少。然而，非線性隨機(jī)振動響應(yīng)的分析解是檢驗(yàn)數(shù)值計(jì)算結(jié)果可靠性與評估黏彈性夾層梁振動抑制效果的依據(jù)。

本文考慮可控黏彈性體的物理非線性，研究該懸臂黏彈性夾層梁在隨機(jī)支座運(yùn)動激勵下的多模態(tài)耦合非線性隨機(jī)振動響應(yīng)。先基于黏彈性體的非線性本構(gòu)關(guān)系，按照復(fù)合結(jié)構(gòu)理論，建立黏彈性夾層梁關(guān)于縱橫位移的非線性耦合運(yùn)動微分方程，確定一端約束與另一端自由的邊界條件；再根據(jù)伽遼金法將該偏微分方程組轉(zhuǎn)化為常微分方程組，得到關(guān)于梁橫向位移的多自由度非線性振動方程，及邊界約束方程；然后根據(jù)隨機(jī)振動理論，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)線性化法推導(dǎo)等價擬線性系統(tǒng)，計(jì)算系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)，得到懸臂黏彈性夾層梁非線性隨機(jī)振動的均方位移，同時得到等價的頻響函數(shù)和功率譜；最后給出數(shù)值結(jié)果，闡明該懸臂黏彈性夾層梁的非線性隨機(jī)振動抑制性能。

1 懸臂非線性黏彈性夾層梁的方程

考慮懸臂黏彈性夾層梁，它在實(shí)際問題中有橫、斜、豎等姿態(tài)，重力對于振動的影響較小而略去。這里以豎立的懸臂黏彈性夾層梁為例，其結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示。

圖1 懸臂黏彈性夾層梁

梁長為L，左右兩層是彈性材料，其厚度、彈性模量、密度分別為h1、E1、ρ1，中間層是黏彈性材料，其厚度、密度分別為h2、ρ2，其彈性模量比彈性層小得多故不計(jì)，剪切模量為G2。夾層梁受隨機(jī)支座運(yùn)動(水平位移w0)激勵，設(shè)為高斯平穩(wěn)過程。對于較強(qiáng)振動，考慮黏彈性體的物理非線性，其切應(yīng)力τ2是切應(yīng)變γ2及其導(dǎo)數(shù)的非線性函數(shù)，表示為[11]

式中G2k和Gck是常數(shù)，t是時間。

基于多層復(fù)合結(jié)構(gòu)理論與梁的基本假設(shè)，由變形幾何關(guān)系得到夾層梁的左、右邊層中任意點(diǎn)的縱向(z軸方向)位移u1與u3分別為[1–3]

式中u10與u30分別是左右層的中性層的縱向位移，w是梁的橫向(x軸方向)位移，x與z坐標(biāo)如圖1所示。對位移式(2)求導(dǎo)可得相應(yīng)層中各點(diǎn)的縱向正應(yīng)變，再由物理關(guān)系得到正應(yīng)力為

由單元體z方向的平衡得到左右邊層中相應(yīng)點(diǎn)的切應(yīng)力為

式中i=1,3，當(dāng)i=1時s0=1，當(dāng)i=3時s0=-1。設(shè)中間黏彈性層的橫截面始終保持平面，利用式(2)計(jì)算其切應(yīng)變，再由式(1)得到相應(yīng)切應(yīng)力為

式中ha=h1+h2。梁縱向慣性相對較小故不計(jì)。根據(jù)夾層梁各層界面間切應(yīng)力的連續(xù)性，得到關(guān)于縱向位移的微分方程

式中u=u10=-u30。再由夾層梁單元x方向的動平衡得到關(guān)于橫向位移的運(yùn)動微分方程

式中ρht=2ρ1h1+ρ2h2。式(6)和(7)組成懸臂黏彈性夾層豎梁關(guān)于縱橫位移的非線性耦合運(yùn)動微分方程。該懸臂梁的邊界條件為一端約束、另一端自由，約束端(z=0)的橫向位移、角位移及縱向位移分別為

自由端(z=L)彎矩、軸向力及剪力為零分別導(dǎo)致

邊界條件式(8)與式(9)表明懸臂梁的振動模態(tài)比簡支梁復(fù)雜得多。由式(6)和式(7)的自由振動方程與邊界條件式(8)和式(9)確定振動模態(tài)，對于縱向位移為正弦函數(shù)，對于橫向位移為諧波函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的組合。利用該振動模態(tài)展開懸臂梁的縱向與橫向振動位移，無量綱化的級數(shù)形式為

式中n是整數(shù)，y=z/L是無量綱坐標(biāo)，wa是無量綱位移，wa是支座位移幅值，pi、qi是時間的函數(shù)，φi、φi是模態(tài)函數(shù)，λij(j=1，2，3，4)是常數(shù)，由邊界條件確定。按照伽遼金法，將式(10)代入式(6)和式(7)，利用模態(tài)正交性簡化，得到關(guān)于pi與qi的方程組，再略去高階小量，消去pi得到關(guān)于qi的常微分方程組，表示成矩陣形式為

式中Q=[q1，q2，…，qn]T，M、C、K分別是廣義質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，CN、KN分別是非線性阻尼和剛度矩陣，F(xiàn)是廣義激勵向量，由支座運(yùn)動w0確定。方程(12)描述了懸臂黏彈性夾層梁在支座運(yùn)動激勵下的非線性多模態(tài)耦合振動，或非線性多自由度系統(tǒng)受隨機(jī)外激的耦合振動。

2 基于統(tǒng)計(jì)線性化的隨機(jī)振動響應(yīng)

懸臂黏彈性夾層梁在隨機(jī)支座運(yùn)動激勵下的振動為隨機(jī)過程。方程(12)表明多自由度非線性系統(tǒng)式(12)承受隨機(jī)外部激勵，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)線性化法可有效地估計(jì)系統(tǒng)響應(yīng)[12]。按照該方法，設(shè)非線性系統(tǒng)式(12)的等價擬線性系統(tǒng)為

式中Ceq、Keq分別是等價線性阻尼與剛度矩陣。方程式(12)與式(13)左邊之差為

由其均方極小，即E[ΔTΔ]→min，得到關(guān)于Ceq與Keq的代數(shù)方程組為

式中E[·]是期望算子。由式(15)和式(16)解得等價線性阻尼與剛度，代入式(13)即確定了等價擬線性系統(tǒng)。對于高斯隨機(jī)激勵，線性系統(tǒng)的響應(yīng)是高斯過程，則等價線性阻尼和剛度依賴于系統(tǒng)式(13)的均方響應(yīng)。等價線性系統(tǒng)式(13)的頻響函數(shù)與響應(yīng)功率譜密度矩陣分別為

式中ω是振動頻率，SF是激勵功率譜，j是虛數(shù)單位，*表示復(fù)共軛。利用式(17)與式(18)，由式(10)可計(jì)算懸臂黏彈性夾層梁的等價頻響函數(shù)與響應(yīng)功率譜密度，從而進(jìn)一步計(jì)算夾層梁響應(yīng)統(tǒng)計(jì)量，例如無量綱均方位移為

許多環(huán)境激勵可模擬為濾波高斯白噪聲，即由高斯白噪聲通過線性微分系統(tǒng)生成?？紤]懸臂黏彈性夾層梁承受該隨機(jī)支座運(yùn)動激勵(無量綱水平位移其平穩(wěn)功率譜為

式中ω0、ζ0是常數(shù)，S0是激勵強(qiáng)度參數(shù)。上述懸臂黏彈性夾層梁在支座運(yùn)動激勵下非線性隨機(jī)振動響應(yīng)的計(jì)算過程如下：首先由式(11)、式(8)和式(9)計(jì)算系數(shù)λij，確定振動模態(tài)；然后選取均方響應(yīng)初值，由式(15)和式(16)求解等價阻尼與剛度，再由式(17)和式(18)計(jì)算等價頻響函數(shù)與功率譜密度，計(jì)算均方響應(yīng)；檢查收斂性，迭代直至達(dá)到指定精度，最后計(jì)算得到夾層梁的均方位移式(19)。

3 數(shù)值結(jié)果

考慮懸臂黏彈性夾層梁及隨機(jī)激勵具有基本參數(shù)：L=4 m，h1=5 cm，h2=20 cm，ρ1=3 000 kg/m3，ρ2=1 200 kg/m3，E1=10 GPa，G21=2.0 MPa，G22=0.2G21，G23=0.02G21，Gc1=0.2 MPa·s，Gc2=0.2Gc1，Gc3=0.02Gc1，S0=1.0，ω0=23 rad/s，ζ0=0.3，wa=1，y=1。按照上述方法計(jì)算梁自由端響應(yīng)，數(shù)值結(jié)果如圖2－圖5所示。圖2展示了有與無黏彈性夾層梁自由端的無量綱均方根橫向位移響應(yīng)隨無量綱隨機(jī)支座水平運(yùn)動激勵強(qiáng)度(S0)的變化，其中點(diǎn)線為無中間黏彈性層情形的響應(yīng)，實(shí)線為有中間黏彈性層情形的響應(yīng)，離散點(diǎn)為數(shù)值模擬結(jié)果。

圖2 有與無黏彈性夾層梁的均方根位移隨激勵強(qiáng)度變化

可見數(shù)值模擬方法驗(yàn)證了本文的分析方法，與無夾層梁相比，黏彈性夾層梁能夠大大降低支座運(yùn)動激勵產(chǎn)生的非線性隨機(jī)振動響應(yīng)。

圖3 線性與非線性黏彈性夾層梁的均方根位移隨激勵強(qiáng)度變化

圖4 黏彈性夾層梁的均方根位移隨非線性與線性參數(shù)比值變化

因此對于一定范圍內(nèi)性能可控的黏彈性材料(例如阻尼與剛度可由外部磁場調(diào)節(jié))，其夾層梁無需改變結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，僅通過性能控制即可實(shí)現(xiàn)非線性隨機(jī)振動響應(yīng)降低的優(yōu)化。

圖5展示了不同黏彈性層厚度夾層梁自由端的無量綱均方根橫向位移響應(yīng)隨無量綱隨機(jī)支座水平運(yùn)動激勵強(qiáng)度(S0)的變化，其中點(diǎn)線為黏彈性層厚度h2=20 cm時的響應(yīng)，實(shí)線為黏彈性層厚度h2=30 cm時的響應(yīng)，虛線為黏彈性層厚度h2=40 cm時的響應(yīng)?？梢妸A層梁的非線性隨機(jī)振動響應(yīng)隨黏彈性層厚度的增加而減小。

對于軟非線性剛度與阻尼G22=-0.2G21，G23=-0.02G21，Gc2=-0.2Gc1，Gc3=-0.02Gc1(其余參數(shù)不變)，圖6展示了黏彈性夾層梁自由端的無量綱均方根橫向位移響應(yīng)隨無量綱隨機(jī)支座水平運(yùn)動激勵強(qiáng)度(S0)的變化，其中點(diǎn)線為線性黏彈性(G23=G22=0，Gc3=Gc2=0)時的響應(yīng)，實(shí)線為非線性黏彈性時的響應(yīng)，離散點(diǎn)為數(shù)值模擬結(jié)果。

圖5 不同黏彈性層厚度夾層梁的均方根位移隨激勵強(qiáng)度變化

圖6 線性與軟非線性黏彈性夾層梁的均方根位移隨激勵強(qiáng)度變化

可見軟非線性剛度(G22，G23＜0)與阻尼(Gc2，Gc3＜0)導(dǎo)致黏彈性夾層梁的非線性隨機(jī)振動響應(yīng)稍高于線性振動響應(yīng)，但黏彈性夾層梁的振動響應(yīng)仍低于無黏彈性夾層梁的結(jié)果。

可見夾層梁的非線性隨機(jī)振動響應(yīng)總體上隨非線性剛度或非線性阻尼減小而減小。對于一定的小非線性負(fù)阻尼Gc2，夾層梁的非線性隨機(jī)振動響應(yīng)有一個峰值，減振設(shè)計(jì)時需要避免。

總之，黏彈性夾層設(shè)計(jì)可用于懸臂梁等結(jié)構(gòu)受基礎(chǔ)激勵的非線性隨機(jī)振動抑制，性能可控的黏彈性材料為該夾層結(jié)構(gòu)振動控制提供了不改變結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的可優(yōu)化性、及對于較寬頻帶環(huán)境激勵的適應(yīng)性。

圖7 軟非線性黏彈性夾層梁的均方根位移隨非線性與線性參數(shù)比值變化

4 結(jié)語

本文研究了懸臂黏彈性夾層梁在支座運(yùn)動激勵下的非線性隨機(jī)振動響應(yīng)?？紤]黏彈性層的物理非線性，建立了懸臂黏彈性夾層梁關(guān)于縱橫位移的非線性耦合運(yùn)動微分方程，利用邊界條件確定振動模態(tài)，根據(jù)伽遼金法導(dǎo)出關(guān)于梁橫向模態(tài)位移的多自由度非線性振動方程。對于高斯隨機(jī)環(huán)境激勵，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)線性化法推導(dǎo)出了等價擬線性系統(tǒng)，計(jì)算系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)，得到了懸臂黏彈性夾層梁非線性隨機(jī)振動的均方位移、及等價頻響函數(shù)和功率譜等。數(shù)值結(jié)果說明了懸臂可控黏彈性夾層梁的非線性隨機(jī)響應(yīng)特性，有效的振動抑制性能，及硬軟非線性的影響規(guī)律。增加黏彈性層厚度可降低夾層梁的非線性隨機(jī)振動響應(yīng)，且響應(yīng)降低的幅值隨激勵強(qiáng)度而增加；提高黏彈性層非線性剛度、非線性阻尼的比例(相對線性部分)也可降低夾層梁的非線性隨機(jī)振動響應(yīng)，但在該比值較小時影響更加顯著；而軟非線性阻尼比例對于夾層梁非線性隨機(jī)振動響應(yīng)的影響并非單調(diào)，需要避免響應(yīng)峰值情形。

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Nonlinear Random Vibration SuppressionAnalysis of Viscoelastic Sandwich Cantilever Beams

ZHANG Wei1,YING Zu-guang2,ZHANG Si-kang2
(1.Laboratory Center,School of Economics and Management,Zhejiang Sci-Tech University,Hangzhou 310018,China;2.Department of Mechanics,School ofAeronautics andAstronautics,Zhejiang University,Hangzhou 310027,China)

Random vibration suppression of viscoelastic sandwich cantilever beams is an important subject in engineering.The sandwich beam with a controllable viscoelastic core can be optimized without structural change and has the suitability to wide-band excitation.The linear vibration of the controllable viscoelastic sandwich beams with both ends constrained has been studied.However,their nonlinear vibration needs to be studied further.The solution for high-order modes of the viscoelastic sandwich cantilever beams is a complicated problem.And the nonlinear multi-mode-coupling vibration analysis of the viscoelastic sandwich beams under Gaussian wide-band random excitation is a challenging problem.In this paper,the nonlinear viscoelastic constitutive relation is considered.The differential equations of motion of a viscoelastic sandwich cantilever beam under support excitations are derived.The vibration modes of the cantilever beam are determined by the constraint conditions at both ends.The partial differential equations are converted into nonlinear multimode-coupling vibration equations by using the Galerkin method.The equivalent quasi-linear system is derived for the Gaussian stationary random excitation by using the statistic linearization method.The random responses such as MS displacement,equivalent frequency response and power spectral density of the nonlinear random vibration of the cantilever beam are obtained.Numerical results illustrate the good suppression effectiveness of the nonlinear random vibration of the viscoelastic sandwich cantilever beams.

vibration and wave;random vibration;cantilever beam;nonlinear viscoelasticity;Gaussian stationary excitation;RMS response

O324；O328

A

10.3969/j.issn.1006-1355.2017.05.004

1006-1355(2017)05-0018-05+49

2017-02-14

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11572279）；浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（LY15A020001）

張?。?965－），女，江蘇省南通市人，高級工程師，主要從事信息系統(tǒng)與控制研究。

E-mail:zhweihz@zstu.edu.cn