Schwarzschild時(shí)空中的幾何量子失協(xié)

彭小清，吳 韜，b*

（阜陽(yáng)師范學(xué)院 a.物理與電子工程學(xué)院；b.量子信息技術(shù)研究中心，安徽 阜陽(yáng) 236037）

Schwarzschild時(shí)空中的幾何量子失協(xié)

彭小清a，吳 韜a，b*

（阜陽(yáng)師范學(xué)院 a.物理與電子工程學(xué)院；b.量子信息技術(shù)研究中心，安徽 阜陽(yáng) 236037）

本文研究了在施瓦西黑洞背景下狄拉克粒子的幾何量子失協(xié)隨著霍金效應(yīng)的變化規(guī)律。在霍金溫度趨于0時(shí)，所獲得的幾何量子關(guān)聯(lián)與最初態(tài)相近。然后隨著T的增加，所獲得的幾何量子關(guān)聯(lián)會(huì)單調(diào)減小。這是因?yàn)榛艚鹦?yīng)所產(chǎn)生的場(chǎng)熱的作用，而且還發(fā)現(xiàn)當(dāng)r偏大時(shí)，因?yàn)榕堇幌嗳菰砗唾M(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)規(guī)律共同作用使得狄拉克系統(tǒng)不能被完全激發(fā)，T即使趨向于無(wú)窮大，物理上可獲得的幾何量子關(guān)聯(lián)無(wú)法完全消失，這個(gè)現(xiàn)象與在標(biāo)量場(chǎng)中是完全不同的。此外，我們對(duì)所有的兩體幾何量子關(guān)聯(lián)進(jìn)行了研究。結(jié)果表明，當(dāng)霍金溫度趨向于0時(shí)，粒子A的B1幾何量子關(guān)聯(lián)最大，粒子BⅠ和BⅡ粒子之間的幾何量子關(guān)聯(lián)幾乎一樣，且都隨著霍金溫度的增大而單調(diào)增大。

Schwarzschild黑洞；量子關(guān)聯(lián)；量子失協(xié)；量子糾纏

在量子通信和量子計(jì)算[1,2]中量子關(guān)聯(lián)被認(rèn)為是一種十分重要的資源。2001年Ollivier和Zurek[3]首先提出了用量子失協(xié)度量量子關(guān)聯(lián)。此后，量子關(guān)聯(lián)吸引了越來(lái)越多的關(guān)注[4-10]，許多學(xué)者從不同的視角相繼提出了多種不同的方式度量量子關(guān)聯(lián)。例如，幾何量子失協(xié)(Geometric quantum discord，GQD)[6,7]、改進(jìn)的 MID（AMID）[8,9]、負(fù)熵和測(cè)量引起的干擾（Measurement-induced dis-turbance,MID）[10]等等。

另一方面，近幾年來(lái)，Schwarzschild黑洞背景下的霍金效應(yīng)作為一種時(shí)空中的量子熱效應(yīng)也引起了大量的關(guān)注[11-16]。文獻(xiàn)[11]在施瓦西黑洞背景下研究了狄拉克粒子系統(tǒng)的基于最小條件熵的量子關(guān)聯(lián)演化規(guī)律。在此文獻(xiàn)的啟發(fā)下，本文研究了施瓦西黑洞背景下霍金效應(yīng)影響的狄拉克粒子系統(tǒng)的幾何量子失協(xié)動(dòng)力學(xué)。結(jié)果表明，當(dāng)霍金溫度趨于0時(shí)，系統(tǒng)所獲得的幾何量子關(guān)聯(lián)與最初態(tài)接近，然后隨著霍金溫度T的增加，所獲得的幾何量子關(guān)聯(lián)會(huì)單調(diào)減小。這是因?yàn)榛艚鹦?yīng)所產(chǎn)生的熱場(chǎng)的作用，而且還發(fā)現(xiàn)當(dāng)r偏大時(shí)，因?yàn)榕堇幌嗳菰砗唾M(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)規(guī)律共同作用，狄拉克系統(tǒng)并不能被完全激發(fā)[11]，T即使趨于無(wú)窮大，物理上可獲得的幾何量子關(guān)聯(lián)也無(wú)法完全消失，這個(gè)現(xiàn)象與在標(biāo)量場(chǎng)中是完全不同的。此外，隨著霍金效應(yīng)的增大，可獲得的兩體幾何量子關(guān)聯(lián)迅速減小而不可獲得的兩體量子關(guān)聯(lián)卻逐漸增大，而可以獲得的幾何量子關(guān)聯(lián)之所以減小并不是因?yàn)槭艿胶诙吹钠茐?，而是由于分配的區(qū)域發(fā)生了重置而造成的。

1 幾何量子關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)度量

本文采用幾何量子失協(xié)作為量子關(guān)聯(lián)的度量方式，對(duì)一個(gè)兩比特X態(tài)的幾何失協(xié)一般解析表達(dá)式為[6]

對(duì)一般的兩比特X態(tài)，其密度矩陣可以表示為：

該矩陣有七個(gè)實(shí)參數(shù)，由于局域操作等價(jià)性，設(shè)ρ14和ρ23也是實(shí)數(shù)，所以此矩陣實(shí)際上有五個(gè)獨(dú)立的參數(shù)，如果選擇在Bloch分解下表示該X態(tài)，則這五個(gè)特征參數(shù)可分別表示為[17]：

當(dāng)量子態(tài)ρ處于式（2）所示的X態(tài)時(shí)，它的特征參數(shù)由式（3a～3e）表示。因此，有=(0,0,x)t和T=diag{t1,t2,t3}，X態(tài)的幾何失協(xié)表示如下：

2 Schwarzschild時(shí)空中狄拉克的量子化

1916年，施瓦西提出了一種稱為施瓦西黑洞的物理模型，它設(shè)定的不帶電荷而且沒有自旋，并且黑洞的中心是奇點(diǎn)。本文中出現(xiàn)的常數(shù)諸如引力常數(shù)G、光速c、約化普朗克常量以及波爾茲曼常數(shù)都規(guī)定為一個(gè)單位，則其度規(guī)可以寫成：

其中M為黑洞質(zhì)量。將該度規(guī)帶入狄拉克方程[18]

分別對(duì)應(yīng)的是視界內(nèi)外臨近的一組正頻費(fèi)米波模[19]。其中?表示施瓦西黑洞所對(duì)應(yīng)的四分量旋[20]，ω表 示 狄 拉 克 頻 率 ，μ=t-r*和r*=r+2Mln[r-2M]/2M表示烏龜遲緩坐標(biāo)。波模ψk(r＜r+)和ψk(r＞r+)構(gòu)成一組完備的正交基，之后對(duì)狄拉克場(chǎng)進(jìn)行相應(yīng)的量子化。

另外，引入類光 Kruskal坐標(biāo)，用Damour-Ruffini方案[21]對(duì)式（7）進(jìn)行解析拓展，得到 Kruskal波模。而對(duì)于Dirac場(chǎng)，可以采取同樣的方法將其量子化，獲得的就是Dirac場(chǎng)對(duì)Kruskal波模的展開。找到適當(dāng)?shù)膬?nèi)積，就可以得到施瓦西時(shí)空和Kruskal時(shí)空中產(chǎn)生算符和湮滅算符之間Bogoliubov變換[22]關(guān)系，因此,模K的 Kruskal真空態(tài)表示為：

T=1/8πM是此黑洞的霍金溫度[19]，分別代表的是視界線內(nèi)外的標(biāo)準(zhǔn)的正交基，上標(biāo){+,-}則分別代表著正粒子真空和反粒子真空，同理，Kruskal唯一激發(fā)態(tài)表示為：

3 SCHWARZSCHILD黑洞背景下的幾何量子失協(xié)變化規(guī)律

考慮Alice和Bob最初共享如下形式的Werner態(tài)[23]：

Ailce用Minkowski模表示，Bob用黑洞模表示。由于黑洞視界的內(nèi)外部是沒有因果關(guān)聯(lián)的，因此,對(duì)視界內(nèi)的粒子Trace就行了(此處為BII粒子），根據(jù)式（8）和(9)可得到：

式中α=(e-ωk/T+1)-1/2,β=(eωk/T+1)-1/2，其矩陣形式：

由式（3a-3e）可得在Bloch分解下的五個(gè)特征參數(shù)為：

圖1 在頻率一定情況下GQD隨T的變化曲線

圖1給出了在頻率ω一定的情況下，幾何量子關(guān)聯(lián)（GQD）隨著霍金溫度（T）的變化曲線。從圖中可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)T趨向于0時(shí)，可以想象此時(shí)的黑洞正在走向極端，而這個(gè)時(shí)候能夠探測(cè)到的量子失協(xié)，與剛開始的Werner態(tài)相比較，能夠發(fā)現(xiàn)它們的大小幾乎是相等的，并沒有十分明顯的差別。然后，隨著T的增大，因?yàn)榛艚鹦?yīng)所產(chǎn)生的熱場(chǎng)的作用，所獲得的量子關(guān)聯(lián)會(huì)單調(diào)遞減。

此外，從圖中還可發(fā)現(xiàn)：當(dāng)r偏大時(shí)，T即使趨向于無(wú)窮大，在物理上可獲得的幾何量子關(guān)聯(lián)也沒有辦法完全消失，此現(xiàn)象與在標(biāo)量場(chǎng)中是完全不同的。這是由于泡利不相容原理和費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)規(guī)律共同作用，狄拉克系統(tǒng)并不能被完全激發(fā)[11]。

為了進(jìn)一步理解幾何量子關(guān)聯(lián)消失的原因，假設(shè)B的波模由于受到霍金效應(yīng)的影響，分生了分離，分離成了BI和BII，這種變化導(dǎo)致了量子關(guān)聯(lián)的重新分配。所以，分別對(duì)視界外部區(qū)域的波模BI和粒子A求跡，就可以獲得ABII和BIBII的密度矩陣。

ABII的密度矩陣為：

亦即

因此，由式（3a-3e）可得在Bloch分解下的五個(gè)特征參數(shù)為：

BIBII的密度矩陣為：

亦即

因此，由式（3a-3e）可得在Bloch分解下的五個(gè)特征參數(shù)為：

由式（17）可以觀察到：在兩個(gè)子系統(tǒng)之間，量子屬性與參數(shù)r是沒有關(guān)系的，因?yàn)樵谝婚_始的推導(dǎo)過程中，我們就已經(jīng)把這種影響消除了，所以在此處不再予以考慮。在圖2中繪畫出了在r=0.9時(shí)，所有兩體幾何量子關(guān)聯(lián)隨著T升高的變化圖像。在圖中可以看出，當(dāng)霍金溫度趨向于0時(shí)，粒子A和B1的幾何量子關(guān)聯(lián)最大，而粒子B和BII，粒子A和BII之間的幾何量子關(guān)聯(lián)幾乎為零，且都隨著T的升高而單調(diào)增大。當(dāng)霍金效應(yīng)增強(qiáng)時(shí)，從圖2中可以非常清晰地看到，能夠獲得的量子關(guān)聯(lián)以一個(gè)很快的速度減小，與此同時(shí)兩個(gè)不可獲得的兩體關(guān)聯(lián)卻漸漸增大。能夠獲得的量子關(guān)聯(lián)之所以減小，并不是由于它受到了黑洞的影響，而是被重新分配到了其他的區(qū)域，而在這些區(qū)域中造成了其幾何量子關(guān)聯(lián)的無(wú)法獲得。

圖2 r=0.9時(shí)兩體幾何量子關(guān)聯(lián)隨T的變化曲線

4 小結(jié)

在施瓦西黑洞背景下，討論了霍金輻射對(duì)狄拉克粒子幾何量子失協(xié)的影響。結(jié)果表明，當(dāng)霍金溫度趨于0時(shí)，系統(tǒng)所獲得的幾何量子關(guān)聯(lián)與最初態(tài)接近，然后隨著T的增加，所獲得的幾何量子關(guān)聯(lián)會(huì)單調(diào)減小。這是因?yàn)榛艚鹦?yīng)所產(chǎn)生的熱場(chǎng)的作用，而且還發(fā)現(xiàn)當(dāng)r偏大時(shí)，因?yàn)榕堇幌嗳菰砗唾M(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)規(guī)律共同作用，狄拉克系統(tǒng)并不能被完全激發(fā)[11]，T即使趨于無(wú)窮大，物理上可獲得的幾何量子關(guān)聯(lián)也無(wú)法完全消失，這個(gè)現(xiàn)象與在標(biāo)量場(chǎng)中是完全不同的。此外，隨著霍金效應(yīng)的增大，可獲得的兩體幾何量子關(guān)聯(lián)迅速減小而不可獲得的兩體量子關(guān)聯(lián)卻逐漸增大，而可以獲得的幾何量子關(guān)聯(lián)之所以減小并不是因?yàn)槭艿胶诙吹钠茐?，而是由于分配的區(qū)域發(fā)生了重置而造成的。

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Geometric quantum discord in Schwarzschild spacetime

PENG Xiao-qinga,WU Taoa,b*
(a.School of Physics and Electronics Engineering;b.Research Center of Quantum Information Technology,Fuyang Normal University,Fuyang Anhui236037,China)

In this paper,we mainly studies the effect of the Hawking radiation on the geometric quantum discord(GQD)for Dirac particles in the background of Schwarzschild black hole.It is shown that when the Hawking temperatureT→0 the quantum properties of physically accessible state are same for the initial situation.For finite Hawking temperatureT,the accessible GQD monotonously decreases along with increasingTowing to the thermal fields generated by the Hawking effect,and the accessible GQD will be disappeared when the Hawking temperature is more than a fixed value which increases with the parameterrof Werner state growing.Then we analyzed where the lost physically accessible GQD go,and found that they are redistributed to all the bipartite states.Moreover,it is found that when the Hawking temperature is infinite,corresponding to the case of the black hole evaporating completely,the GQD ofρAB1andρABⅡare identical.The inaccessible correlation between modes BⅠand BⅡ,between modesAand BⅡmonotonously increase with increasingT.

Schwarzschild black hole;quantum correlation;geometric quantum discord;quantum entanglement

O431.2

A

1004-4329（2017）03-035-05

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2017）03-035-05

2017-05-05

安徽省高校優(yōu)秀青年人才支持計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目（gxy1ZD2016190）；阜陽(yáng)師范學(xué)院教研項(xiàng)目（2016JXTD03，2015JYXM34）；阜陽(yáng)師范學(xué)院科研創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)（kytd201706）資助。

吳 韜（1975- ），男，博士，教授，研究方向：量子信息。Email：wutaofuyang@126.com。