基于自適應雙lp-l2范數(shù)的單幅模糊圖像超分辨率盲重建

李 滔，何小海，滕奇志，吳小強

(四川大學 電子信息學院，成都 610065)

(*通信作者電子郵箱hxh@scu.edu.cn)

基于自適應雙lp-l2范數(shù)的單幅模糊圖像超分辨率盲重建

李 滔，何小海*，滕奇志，吳小強

(四川大學 電子信息學院，成都 610065)

(*通信作者電子郵箱hxh@scu.edu.cn)

為了提高低分辨率模糊圖像的質量，提出了一種基于自適應雙lp-l2范數(shù)的超分辨率盲重建方法。該方法分為模糊核估計子過程和超分辨率非盲重建子過程。在模糊核估計子過程中，使用雙lp-l2范數(shù)先驗同時約束銳化圖像和模糊核的估計，并使用圖像梯度的閾值分割，實現(xiàn)銳化圖像lp-l2范數(shù)約束的自適應組合；在超分辨率非盲重建子過程中，結合估計到的模糊核，使用基于非局部中心化稀疏表示的超分辨率方法重建出最終的高分辨率圖像。仿真實驗中，與基于雙l0-l2范數(shù)的方法相比，該算法重建結果的平均峰值信噪比(PSNR)提高了0.16 dB，平均結構相似度(SSIM)提高了0.004 5，平均差方和比降低了0.13。實驗結果表明，所提方法能估計出較準確的模糊核，最終的重建圖像中，振鈴得到有效抑制，圖像質量較好。

超分辨率；盲重建；模糊核估計；罰函數(shù)；增廣拉格朗日法

0 引言

圖像在形成、傳輸和記錄的過程中，不可避免會受到各種因素的影響，導致圖像質量降低，典型體現(xiàn)在模糊、噪聲、分辨率降低等方面。針對噪聲的圖像恢復技術被稱為圖像去噪，針對模糊的圖像恢復技術被稱為圖像去模糊，針對分辨率降低的圖像恢復技術被稱為圖像超分辨率重建。當降質條件中同時存在兩種以上的降質因素時，圖像恢復面臨著更大的挑戰(zhàn)。本文關注于模糊和分辨率降低同時存在時單幅降質圖像的恢復問題，即單幅模糊圖像超分辨率盲重建。

模糊降質因素出現(xiàn)的原因有很多，如相機和物體之間的相對運動、場景的深度不一、相機的聚焦變化等。模糊退化函數(shù)即模糊核，表示清晰場景圖像在單點成像像素上累積的區(qū)域和權重，模糊核可分為全局一致模糊核和全局非一致模糊核，本文關注全局一致模糊核的降質情況。

單幅圖像的超分辨率重建技術發(fā)展至今，已取得了顯著的研究成果。它主要包括三個研究方向：基于插值的方法[1-2]、基于重建的方法[3-4]和基于學習的方法[5-7]?，F(xiàn)有的絕大多數(shù)單幅圖像超分辨率重建方法都是基于模糊核已知的假設，將圖像先驗的研究和設計作為研究重點。文獻[8]首次進行了模糊核未知時超分辨率重建的性能分析，指出重建性能受圖像先驗模型選取和模糊核準確性兩個關鍵因素影響，并經(jīng)過理論分析和大量的實驗證明，模糊核準確性對重建性能的影響最大。當估計的模糊核與真實模糊核之間存在較大誤差時，超分辨率重建的性能急劇降低，這意味著在圖像超分辨率盲重建時，需要重點關注模糊核的準確估計。

Levin等[9]指出，模糊核未知時，同時進行模糊核的估計和自然圖像的恢復具有性能局限性，優(yōu)化迭代中恢復的自然圖像不利于模糊核的準確估計。因此，單幅圖像超分辨率盲重建可分為兩個獨立的子過程：模糊核估計子過程和圖像超分辨率非盲重建子過程，模糊核估計子過程是超分辨率盲重建的核心內容。在僅有的少量關于圖像超分辨率盲重建的研究中，部分算法[10-12]基于參數(shù)化模型完成模糊核的估計，常用的模型為高斯函數(shù)，但高斯模型只適用于散焦模糊，對其他模糊情況下的重建問題失效；另一部分算法[13-14]則進行無參的模糊核估計子過程。Michaeli等[13]利用圖像塊跨尺度的冗余性，采用基于模糊核最大后驗概率方法估計未知的模糊核，其搜索的最近鄰塊與參考塊間的差異決定了估計模糊核的形態(tài)。Shao等[14]使用雙l0-l2范數(shù)作為模糊核估計子過程的先驗約束。由于lp范數(shù)在算法優(yōu)化可靠性、稀疏重構信號效果等方面優(yōu)于l0范數(shù)及l(fā)1范數(shù)[15-16]，因此本文使用雙lp-l2范數(shù)約束模糊核估計子過程，并對圖像梯度進行閾值判斷獲取自適應組合矩陣，將銳化圖像lp-l2范數(shù)約束進行自適應組合，有效實現(xiàn)圖像lp范數(shù)與l2范數(shù)約束功能的區(qū)域性分布。實驗結果表明，本文方法能有效提高模糊核估計的準確性，進而提高低分辨率模糊圖像超分辨率盲重建的質量。

1 模糊低分辨率圖像降質模型

模糊低分辨率圖像中同時存在明顯的模糊和低分辨率問題需要解決。模糊低分辨率圖像對應的降質模型為：

y=(k*x)↓+n

(1)

其中：k表示模糊核；↓表示下采樣操作；n為采集過程中的加性噪聲；x表示原始的高分辨率圖像；y是觀測到的低分辨率模糊圖像。k未知時，式(1)的逆過程對應了超分辨率盲重建。本文重點研究超分辨率盲重建的核心內容，即模糊核估計子過程，圖像超分辨率非盲重建子過程則采用基于非局部中心化稀疏表示的超分辨率方法[17]。模糊核估計子過程，實際也是式(1)的逆求解過程。圖像弱邊緣及細微細節(jié)易受噪聲和誤差等因素影響，從而降低模糊核估計的準確性，因此在模糊核估計子過程中，需要為圖像增加額外的非自然屬性約束，平滑掉圖像中的弱邊緣和細微細節(jié)，只保留顯著的強邊緣。

基于最大后驗概率方法，式(1)對應的模糊核估計子過程可表示為：

(2)

其中：K是模糊核k的矩陣表示；D是降低圖像分辨率的下采樣矩陣；Jx(x)表示對圖像的約束先驗，其中應包括圖像非自然屬性約束先驗；Jk(k)為對模糊核的約束先驗。模糊核估計子過程完成高分辨率銳化圖像和模糊核的迭代交替優(yōu)化，需要說明的是高分辨率銳化圖像并非最終要重建的高分辨率圖像。

2 基于自適應雙lp-l2范數(shù)的超分辨率重建

2.1 雙lp-l2范數(shù)約束的超分辨率重建

模糊核估計子過程中增加的非自然屬性先驗包括：基于比值稀疏正則化的圖像先驗[18]，l0.3范數(shù)圖像先驗[19]，近似l0范數(shù)圖像先驗[20-21]，l0-l2范數(shù)圖像先驗[14, 22]等。Chartrand等[15]和Mazumder等[16]指出：基于lp范數(shù)優(yōu)化算法在重構信號效果及可靠性方面優(yōu)于l0及l(fā)1范數(shù)優(yōu)化算法。因此，本文采用lp范數(shù)結合l2范數(shù)來約束銳化圖像，使產(chǎn)生的高分辨率銳化圖像邊緣區(qū)域銳化，非邊緣區(qū)域平滑，能夠提高后續(xù)模糊核估計的準確性；同樣地，模糊核也采用lp-l2范數(shù)約束，能消除模糊核估計過程中的孤立點和弱成分。本文提出的雙lp-l2范數(shù)約束的超分辨率重建方法，其模糊核估計子過程可公式化表示為：

(3)

(4)

正則化參數(shù)αx、βx、αk和βk的選取對模糊核估計準確性的影響較大。在式(4)的迭代初期，需要加強雙lp-l2先驗的約束，從而能盡快完成圖像的銳化、噪聲和細節(jié)的平滑；而在迭代后期，則需要加強數(shù)據(jù)項的約束，使估計的模糊核與真實的模糊核逼近。因此我們采用了正則化參數(shù)迭代衰減的策略，使正則化參數(shù)按固定的衰減因子隨迭代次數(shù)逐漸減小。

2.2 高分辨率銳化圖像lp-l2范數(shù)約束的自適應組合

對圖像梯度進行l(wèi)2范數(shù)約束能平滑圖像，消除噪聲，但不可避免會模糊邊緣；lp(0

為了完成lp-l2范數(shù)的自適應組合，按式(5)構建自適應組合矩陣W：

(5)

其中：thr為梯度閾值，i為像素位置索引。按照矩陣W的指示，在圖像梯度大于閾值thr的邊緣區(qū)域使用lp范數(shù)約束，在圖像梯度小于閾值thr的平滑區(qū)域使用l2范數(shù)約束，則式(4)改寫為：

(6)

其中I是單位矩陣。

3 算法流程

3.1 算法的交替優(yōu)化流程

本文采用交替迭代的優(yōu)化方法完成式(6)的求解。在第i次迭代時，首先固定模糊核ki-1，求解關于高分辨率銳化圖像x的最小化問題：

(7)

然后固定高分辨率銳化圖像xi，求解關于模糊核k的最小化問題：

(8)

由于模糊核具有非負性和歸一化約束，完成式(8)的優(yōu)化求解后，需要將k中負值進行歸零，并將k歸一化處理。

式(7)和式(8)都是非線性優(yōu)化問題，本文采用罰函數(shù)技術與增廣拉格朗日方法相結合的方式來完成它們的求解。式(7)和式(8)的具體實現(xiàn)細節(jié)將在3.2和3.3節(jié)中介紹。

3.2 自適應lp-l2范數(shù)約束的銳化圖像優(yōu)化方法

通過罰函技術引入輔助變量u，式(7)轉換為等價的最小化問題：

(9)

s.t.Wu=W▽x

其中將xi-1代入式(5)求得W。式(9)通過算子分裂完成了lp項和l2項的去耦合。增廣拉格朗日方法通過求解式(10)所示的無約束問題來獲得式(9)所示的等式約束問題的解。

(10)

其中：μx為拉格朗日乘子，γx為罰參數(shù)。式(10)的每次迭代過程可分為以下三個子步驟：

(11)

(12)

(13)

式(11)是簡單的凸二次規(guī)劃問題，具有閉合解；式(12)為lp范數(shù)非凸稀疏編碼問題，解決方法包括迭代重加權最小二乘法 (Iteratively Reweighted Least Squares, IRLS)[15]、迭代重加權l(xiāng)1最小化 (Iteratively Reweightedl1-minimization, IRL1)[23]、迭代閾值方法(Iteratively Thresholding Method-lp, ITM-lp)[24]、查找表[25]等。由于ITM-lp方法易于實現(xiàn)且收斂性能優(yōu)異，本文采用ITM-lp方法求解式(12)。

3.3 lp-l2范數(shù)約束的模糊核優(yōu)化方法

同樣地，通過罰函數(shù)法引入輔助變量v，并結合增廣拉格朗日方法，式(8)轉變?yōu)椋?/p>

(14)

4 實驗結果與分析

為了驗證算法的有效性，進行了模擬模糊圖像超分辨率重建實驗和真實模糊圖像超分辨率重建實驗。模擬實驗中，從Berkeley Segmentation Database BSDS500中隨機選取了8幅高分辨率測試圖像，采用文獻[9]提供的8個運動模糊核(記為Kenel 1～8)，分別將高分辨率測試圖像模糊再2倍下采樣，得到64幅不同模糊程度的低分辨率圖像。選用的運動模糊核如圖1所示。

圖1 Levin圖像庫[9]提供的運動模糊核Fig. 1 Motion blur-kernels from the benchmark image dataset proposed by Levin[9]

實驗中本文算法相關參數(shù)的經(jīng)驗值設置如下：式(5)中梯度閾值為0.05；式(4)中參數(shù)λ為0.01，參數(shù)η為100，αx為4，βx為100，αk為10，βk為1，αx和βx的衰減因子為2/3，αk和βk的衰減因子為4/5；式(7)中罰參數(shù)γx為100；式(11)中罰參數(shù)γk為106；式(4)對應的外部循環(huán)次數(shù)為10；式(7)和式(11)對應的內部循環(huán)次數(shù)都設為10?？陀^評價指標選取峰值信噪比(Peak Signal-to-Noise Ratio, PSNR)、結構相似度(Structural Similarity Index Measure, SSIM)和差方和(Sum of Squared Difference, SSD)比[9]。PSNR和SSIM是常用的圖像質量評價指標，它們的值越大表明重建圖像質量越高；差方和比是估計模糊核重建得到的圖像跟原始高分辨率圖像之間的差方和除以真實模糊核重建得到的圖像跟原始高分辨率圖像之間的差方和，公式表示為:

‖xk-x‖2/‖xkgt-x‖2

(15)

其中：xk表示由估計模糊核重建得到的高分辨率圖像；xkgt表示由真實模糊核重建得到的高分辨率圖像；x表示原始高分辨率圖像。差方和比根據(jù)重建圖像質量來度量模糊核估計的準確性，并排除了超分辨率重建方法對模糊核準確性評估的影響，差方和比值越小表明模糊核估計越準確，重建圖像質量越高，理想情況下值為1。

模糊核估計子過程中，本文采用了自適應lp-l2范數(shù)來約束銳化圖像的重建。為了說明這種lp-l2范數(shù)組合形式的有效性，將本文方法與使用單一范數(shù)的重建方法進行比較，式(16)表示使用l2范數(shù)的方法，式(17)表示使用lp范數(shù)的方法：

(16)

(17)

圖2給出了本文方法與這兩個方法的性能比較結果，從中可以看出，本文算法的各項客觀評價指標都優(yōu)于使用單一范數(shù)的方法，從而驗證了自適應lp-l2范數(shù)組合形式約束圖像重建的有效性。

進一步地，將本文方法與級聯(lián)方法1(先去模糊[18]再超分辨率重建[5])、級聯(lián)方法2(先去模糊[18]再超分辨率重建[7])以及文獻[14]方法進行比較。表1分別給出了每一種運動模糊核情況下，8幅對應低分辨率模糊圖像超分辨率盲重建的平均PSNR值、平均SSIM值和平均差方和比值。由表1可以看出，除了Kernel 7下本文方法客觀指標略低于文獻[14]方法的客觀指標，其他情況下本文方法都呈現(xiàn)較優(yōu)的客觀評價性能。

圖2 本文方法與使用單一范數(shù)的重建方法的實驗結果比較Fig. 2 Comparison results of super-resolution reconstruction methods with single norm and the proposed method表1 超分辨率盲重建的平均峰值信噪比、平均結構相似度和平均差方和比值比較Tab. 1 Average PSNR, SSIM and SSD ratio comparison of blind super-resolution reconstruction results

比較參數(shù)方法Kenel12345678平均峰值信噪比/dB級聯(lián)方法123.0123.6725.8221.6025.8924.9025.7123.91級聯(lián)方法223.2523.8425.9821.7126.1925.2225.8424.02文獻[14]方法27.0627.7229.0626.9529.3927.7727.0325.00本文方法27.3827.9229.1527.1829.5127.9126.9025.33平均結構相似度級聯(lián)方法10.64960.65740.75420.59060.78230.72660.79050.7063級聯(lián)方法20.66540.66730.76230.59810.79280.73890.79410.7113文獻[14]方法0.80000.81670.84490.79110.86200.83710.82290.7455本文方法0.80990.82380.84660.79740.86470.84080.82010.7525平均差方和比值級聯(lián)方法15.825.253.666.844.454.823.324.91級聯(lián)方法25.545.073.546.674.184.493.234.80文獻[14]方法2.251.991.671.921.962.472.544.80本文方法2.081.901.631.811.902.392.574.30

圖3給出了64幅低分辨率模糊圖像用不同方法重建時的差方和比累積直方圖。圖3的橫坐標表示差方和比參考值，縱坐標表示64幅圖中重建差方和比小于當前參考值的圖像數(shù)量百分比。每個差方和比參考值對應的圖像數(shù)百分比越大，表明按當前差方和比參考值為評價標準，成功估計的模糊核越多，因此算法的性能越好。圖3中，本文算法在每個差方和比參考值上的圖像數(shù)百分比都大于比較算法，由此可見，本文方法的性能是優(yōu)于比較算法的。文獻[9]指出，當差方和比小于等于3時，盲重建的圖像是直觀可信的，盲重建方法是成功的，級聯(lián)方法1差方和比小于等于3的成功率為23%，級聯(lián)方法2差方和比小于等于3的成功率為33%，文獻[14]方法差方和比小于等于3的成功率為90%，而本文方法差方和比小于等于3的成功率達到了92%。

圖4是模糊核為Kernel 6時圖像Woman的盲重建結果。為了更直觀地進行視覺比較，圖4在每幅圖的左下角給出了局部邊緣圖的放大顯示。與文獻[14]方法相比，本文方法估計的模糊核更穩(wěn)定、噪點更少。同時，模糊核估計的不完全準確性會導致邊緣區(qū)域的振鈴現(xiàn)象，而從四種方法的重建結果可以看出，本文方法的重建圖像最接近原始高分辨率圖像，振鈴現(xiàn)象也比另外三種對比方法弱，從而驗證了本文方法對模糊圖像超分辨率盲重建的有效性。

圖5給出了一幅真實模糊圖像的超分辨率盲重建結果。通過比較四種方法的重建結果圖和放大的局部邊緣圖，可以得到跟模擬實驗相同的結論：本文方法重建結果圖邊緣更清晰，振鈴現(xiàn)象有效減少，從而驗證了本文方法對模糊核的估計更準確。

圖3 差方和比的累積直方圖Fig. 3 Cumulative histogram of SSD ratios

本文重點研究了超分辨率盲重建的核心內容，即模糊核的估計，非盲重建子過程采用了基于非局部中心化稀疏表示的超分辨率方法[17]。為了避免所用的非盲超分辨率重建方法對時間復雜度分析的影響，本文只進行了算法模糊核估計的運行時間比較。實驗中比較了四種算法對模擬模糊實驗中64幅測試圖的平均模糊核估計時間，所有算法使用了相同的實驗平臺(Intel 4.0 GHz CPU, 16 GB內存和Matlab R2012a)。級聯(lián)方法1和級聯(lián)方法2都使用了文獻[18]的去模糊方法，因此兩者具有相同的模糊核估計時間，都為5 s；文獻[14]方法的平均模糊核估計時間為139 s，本文方法的平均模糊核估計時間為182 s。與文獻[14]相比，本文方法的模糊核估計時間有少量增加；但是，從圖6所示PSNR性能與模糊核估計的綜合比較可以看出，本文方法以少量的時間損耗為代價，換取了性能的提升。

圖4 模糊核Kernel 6時測試圖像Woman的重建結果比較Fig. 4 Comparison of super-resolution reconstruction results on image Woman blurred using Kernel 6

圖5 真實模糊圖像的超分辨率盲重建結果比較Fig. 5 Comparison of super-resolution reconstruction results on a real blurred image

圖6 重建PSNR與模糊核估計時間的綜合比較Fig. 6 PSNR versus running time of blur-kernel estimate

5 結語

為了改善低分辨率模糊圖像的質量，本文提出了一種基于自適應雙lp-l2范數(shù)的超分辨率盲重建方法。超分辨率盲重建分為兩個獨立的子過程：模糊核估計和超分辨率非盲重建。模糊核估計是高分辨率銳化圖像重建和模糊核估計的交替優(yōu)化過程，在此過程中，使用雙lp-l2范數(shù)同時約束銳化圖像和模糊核。使用lp-l2范數(shù)約束銳化圖像，能濾除易受噪聲及誤差影響的弱邊緣和細節(jié)，只保留重要的強邊緣參與模糊核的估計；使用lp-l2范數(shù)約束模糊核，能消除核的孤立點，保持核的連續(xù)性。同時，使用圖像梯度的閾值分割，實現(xiàn)銳化圖像lp-l2范數(shù)約束的自適應組合，加強l2范數(shù)在非邊緣區(qū)域的平滑能力和lp范數(shù)在邊緣區(qū)域的銳化能力。結合估計到的模糊核，使用非局部中心化稀疏表示的非盲超分辨率方法完成高分辨率圖像的重建。實驗結果表明，本文方法能準確地估計出模糊核，重建的圖像具有較優(yōu)的質量。本文研究了針對全局一致模糊核的模糊圖像重建問題，而具有全局非一致模糊核的模糊圖像在實際生活中也是普遍存在的，針對這類圖像的重建問題有待進一步研究。

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This work is partially supported by the National Natural Science Foundation of China (61471248).

LITao, born in 1983, Ph. D. candidate. Her research interests include image super-resolution reconstruction，image restoration.

HEXiaohai, born in 1964, Ph. D., professor. His research interests include image processing, pattern recognition，image communication.

TENGQizhi, born in 1962, Ph. D., professor. Her research interests include image processing, pattern recognition，three-dimensional reconstruction.

WUXiaoqiang, born in 1971, M. S., senior engineer. His research interests include image processing, database system，embedded system.

Adaptivebi-lp-l2-normbasedblindsuper-resolutionreconstructionforsingleblurredimage

LI Tao, HE Xiaohai*, TENG Qizhi, WU Xiaoqiang

(CollegeofElectronicsandInformationEngineering,SichuanUniversity,ChengduSichuan610065,China)

An adaptive bi-lp-l2-norm based blind super-resolution reconstruction method was proposed to improve the quality of a low-resolution blurred image, which includes independent blur-kernel estimation sub-process and non-blind super-resolution reconstruction sub-process. In the blur-kernel estimation sub-process, the bi-lp-l2-norm regularization was imposed on both the sharp image and the blur-kernel. Moreover, by introducing threshold segmentation of image gradients, thelp-norm and thel2-norm constraints on the sharp image were adaptively combined. With the estimated blur-kernel, the non-blind super-resolution reconstruction method based on non-locally centralized sparse representation was used to reconstruct the final high-resolution image. In the simulation experiments, compared with the bi-l0-l2-norm based method, the average Peak Signal-to-Noise Ratio (PSNR) gain of the proposed method was 0.16 dB higher, the average Structural Similarity Index Measure (SSIM) gain was 0.004 5 higher, and the average reduction of Sum of Squared Difference (SSD) ratio was 0.13 lower. The experimental results demonstrate a superior performance of the proposed method in terms of kernel estimation accuracy and reconstructed image quality.

super-resolution; blind reconstruction; blur-kernel estimation; penalty function; augmented Lagrangian method

TP391.41

A

2016- 12- 23;

2017- 02- 15。

國家自然科學基金資助項目(61471248)。

李滔(1983—)，女，四川資陽人，博士研究生，主要研究方向：圖像超分辨率重建、圖像復原； 何小海(1964—)，男，四川綿陽人，教授，博士，主要研究方向：圖像處理、模式識別、圖像通信； 滕奇志(1962—)，女，四川成都人，教授，博士，主要研究方向：圖像處理、模式識別、三維重建； 吳小強(1971—)，男，四川成都人，高級工程師，碩士，主要研究方向：圖像處理、數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)、嵌入式系統(tǒng)。

1001- 9081(2017)08- 2313- 06

10.11772/j.issn.1001- 9081.2017.08.2313