基于水聲通信的新型變步長最小均方算法

鄭奕豐，郝學元，顏曉紅

(南京郵電大學 電子科學與工程學院，南京 210000)

(*通信作者電子郵箱1215022635@njupt.edu.cn)

基于水聲通信的新型變步長最小均方算法

鄭奕豐*，郝學元，顏曉紅

(南京郵電大學 電子科學與工程學院，南京 210000)

(*通信作者電子郵箱1215022635@njupt.edu.cn)

在水聲通信中，信道的多徑效應會造成嚴重的碼間串擾(ISI)，而現有的均衡算法在處理ISI問題時存在收斂速度慢、穩(wěn)態(tài)誤差大、算法復雜不易于硬件移植等問題，為此結合判決反饋均衡器結構前向均衡(FFE)與判決均衡結構(DFE)，提出了一種基于反余弦步長函數和三參數調整因子的變步長最小均方(LMS)算法。首先對三參數因子α、β、r進行算法仿真，優(yōu)化算法性能，與固定步長LMS算法、基于修正反正切的變步長LMS算法以及基于雙曲正割函數的變步長LMS算法的收斂性能和穩(wěn)態(tài)誤差進行仿真比較，結果顯示：所提算法的收斂速度較固定步長LMS算法提高了57.9%，穩(wěn)態(tài)誤差下降5 dB；較雙曲正割LMS算法和修正反正切LMS算法提高了26.3%和15.8%，并且算法的穩(wěn)態(tài)誤差下降了1～2 dB。最后，將算法移植于信號處理模塊，進行水下實驗，結果表明，水聲信道造成的ISI經過均衡器后，信號得以恢復，能夠實際克服多徑效應造成的水聲信道ISI問題。

水聲通信；碼間串擾；最小均方均衡算法；變步長函數；判決反饋均衡器

0 引言

水下中遠距離通信，例如水下勘探、水中人工作業(yè)、水下通信網建設等，由于排線困難、維護成本高，一般選用水聲無線通信的方式。數據通過水聲換能器發(fā)射進入復雜的海洋信道經由數百米至數千米傳達至水下信宿，復雜多變的水文環(huán)境給接收數據帶來了嚴峻的挑戰(zhàn)。由于聲波的波速在海水中只有約1 500 m/s，比電磁波低了五個數量級，信道過程中信號的衰減、多普勒頻移、多徑效應等都將直接影響接收端的信噪比(Signal-Noise Ratio，SNR)和誤碼率(Bit-Error Rate, BER)。而多徑效應造成的碼間串擾(Inter-Symbol Interference， ISI)問題則成為水聲通信中影響最大也最困難的問題[1]。此項研究對水聲通信的發(fā)展有重要意義。

自適應均衡技術可以有效地消除碼間干擾，抵消信道失真，利用自適應均衡技術來修正水聲信道傳輸過程中信號的畸變和失真，是目前水聲通信領域中普遍采用的方法。最小均方(Least Mean Square，LMS)算法因其較低的計算復雜度、在平穩(wěn)環(huán)境中的收斂性良好以及易于硬件實現等主要特征，是自適應濾波理論中應用最廣泛的算法，并在相干水聲通信中被普遍應用[2-3]。文獻[4]提出了一種歸一化的LMS算法，該算法通過對輸入樣本和誤差進行歸一化得到了較快的收斂速度。文獻[2]提出了一種基于自適應混合能量參數的變步長LMS水聲信道均衡算法，通過引入能量混合參數，調整步長變化。文獻[5]提出了改進的記憶快速自優(yōu)化均衡(Memory Fast-Optimized LMS, MFOLMS)算法，根據前向的判決結果調整步長參數，提高了均衡器跟蹤信道變化的能力和收斂速度。

本文針對水聲通信中的碼間串擾問題，從變步長函數的優(yōu)化入手，結合判決反饋均衡器結構前向均衡(Feed-Forward Equalizer， FFE)與判決均衡結構(Decision Feed-Back Equalizer, DFE)，提出了一種基于反余弦函數的三參數變步長LMS算法，提高了算法的收斂性能，并保證了算法的穩(wěn)態(tài)誤差在10-4個碼元數量級。

1 水聲通信

水聲通信即在水下環(huán)境中，以聲波作為載波，進行調制后于水聲信道中傳播，在接收端通過水聲換能器進行接收，經過濾波器組解調還原基帶信號，達到通信目的。下面分別介紹水聲信道模型和信道均衡原理。

1.1 水聲信道模型

水聲信道有多種模型，如聲線模型、簡正波模型、快速場模型、拋物方程模型等[6]。

近年來的因射線理論計算簡潔，能適應各種信道條件的特性，被水聲通信建模廣泛采用；同時基于實際應用中一般符合高頻、淺水、點聲源的特點，本文對水聲通信的研究選用射線模型。射線模型不考慮聲波的波動性質，認為聲線是時刻與波陣面垂直傳播的射線[7]。從聲源發(fā)出的聲線按一定的路徑到達接收點,接收點接收到的聲場是所有到達該點聲線的疊加?；谖覀冞x用的水聲信道射線理論，水下信道的多徑沖激響應函數h(t)為:

(1)

式(1)等號右邊第一項表示水聲多徑中主路徑的沖擊響應，第二項為其他所有路徑函數的求和。其中：Ai表示第i條路徑上聲波的衰減因子，τi表示第i條路徑上信號的時延，δ(t)為迪克拉函數。函數(1)揭示了水聲信道中碼間串擾造成的原因：不同路徑上的聲線強度和時延不同，所有路徑上的聲線在信道的終點疊加，造成前后碼元的互相疊加干擾，將會嚴重影響水下通信的質量[8]。

1.2 信道均衡原理

調制信號經過水聲信道傳播后經接收端接收到的信號為信源信號及信道噪聲與信道沖激響應h(n)的卷積，可以表示為：

r(n)=v(n)*h(n)+u(n)

(2)

其中：r(n)為n時刻信源接收到的碼元，v(n)為信源輸出的信號，h(n)為信道的沖激響應，u(n)為信道噪聲。理想狀態(tài)下的信道接收到的碼元r(n)應和v(n)相同，而實際情況是，經過信道沖激響應、信道噪聲的干擾，碼元失真了，為了恢復原始信號，必須在接收端引入信道均衡濾波器，其原理如圖1所示。

圖1 信道均衡原理圖Fig. 1 Principle diagram of channel equalization

信道均衡的原理是通過均衡濾波器產生一個與信道特性相反的，能夠抵消信道衰弱的沖激響應來中和信道對信號的干擾，使得信道響應和均衡器響應的卷積近似于狄克拉函數δ(n-n0)，從而使得輸出信號近似于原始信號。經過均衡器濾波后的信號表達式為：

y(n)=r(n)*W(n)=

r(n)*h(n)*w(n)+u(n)*W(n)≈

r(n)*δ(n-n0)+u(n)*W(n)

(3)

其中：y(n)為均衡器的輸出，W(n)為均衡濾波器的權系數。可以看出在通信過程中，其他參數都無法人為控制，只有通過改進均衡濾波器的權系數才可能提高通信質量，因此，在本文以及其他水聲信道均衡方面的研究也都是圍繞均衡器權系數算法展開的。

2 基于LMS的變步長水聲多徑均衡算法

2.1 傳統(tǒng)LMS算法

傳統(tǒng)的LMS算法基于最小均方誤差準則和最速下降法，直接以誤差平方的期望值作為梯度的估計值，并沿著梯度負方向迭代，直到令迭代函數收斂。

其均衡器權系數迭代公式為：

W(n+1)=W(n)+2ue(n)*x(n)

(4)

其中：u為固定的步長因子，權系數僅根據輸入序列x(n)和誤差e(n)按比例調整均衡器權系數。其均衡器結構如圖2所示。

圖2 自適應均衡濾波器結構示意圖Fig. 2 Structure diagram of adaptive equalization filter

2.2 FFE-DFE結構均衡器

FFE-DFE判決反饋均衡器是一種結合了傳統(tǒng)FFE線性均衡器和DFE非線性均衡器的均衡結構[9-10]，由兩級濾波器組成，即FFE前饋濾波器和DFE反饋濾波器。相比傳統(tǒng)的線性均衡器，DFE利用了前一個碼元的判決輸出來校正當前的碼元，相當于獲得了更多的信道先驗信息，均衡性能更好；而FFE判決反饋均衡器結構簡單，易于計算，簡化了傳統(tǒng)的DFE均衡器，收斂性能更好。結合兩者優(yōu)勢，FFE-DFE均衡結構能夠獲得更好的性能。FFE-DFE均衡器的表達式為：

(5)

其中：s(i)是對i個信號碼元的估計值，FFE前饋濾波器階數為m，DFE反饋濾波器階數為n，Ck和bl分別為前饋濾波器和反饋濾波器的抽頭系數。FFE-DFE均衡器結構如圖3所示。

在不同的信噪比初始條件下，對未經均衡的、經過FFE前饋濾波結構均衡、經過DFE判決反饋濾波器結構均衡和經過FFE-DFE組合判決反饋濾波器均衡四種情況下的通信誤碼率進行仿真,仿真結果如圖4所示?？梢钥闯鍪褂镁馄鞯娜N結構的通信誤碼率都要小于不使用均衡算法的通信系統(tǒng)，而FFE-DFE結構顯然對于降低通信誤碼率有著更好的性能，對于碼間串擾造成的高誤碼率的水聲信道來說， FFE-DFE組合結構是更好的選擇。

圖3 FFE-DFE判決反饋結構Fig. 3 Feedback structure of FFE-DFE decision

圖4 均衡器誤碼率曲線Fig. 4 Equalizer BER curve

2.3 變步長LMS算法

由式(1)的水聲信道沖激響應函數可以看出，水聲信道中由于其多徑效應，信道環(huán)境變得非常復雜，多徑上多條聲線的強度和時延都是時變和空變的；而且聲波在傳播過程中，不論是衰減和時延都是不確定的。這就要求算法能夠根據誤差調整均衡器步長，做到盡快收斂。

近年來對LMS算法的研究的重點主要集中在步長的選取上，通過調整步長的迭代方式，可以得到更好的算法收斂性和穩(wěn)定性[2,8]。傳統(tǒng)的LMS算法步長固定，雖然計算簡單，但是收斂性和穩(wěn)定性難以同時兼顧，大步長的選取會造成穩(wěn)態(tài)誤差增大，小步長雖然穩(wěn)態(tài)誤差減小，但是收斂變慢。文獻[11]提出了一種歸一化最小均方(Normalized Least Man Square， NLMS)誤差算法，它通過使用可變的步長因子，對算法進行優(yōu)化，但是在水下強相關信道下，算法收斂性受到嚴重影響。文獻[12]提出了一種改進型的S函數變步長LMS算法(Sigmoid Variable Step-size Least Mean Square， SVSLMS),提高了算法收斂速度，達到了較好的收斂性；但在函數趨向收斂后穩(wěn)態(tài)誤差較大，算法的穩(wěn)定性較差。文獻[8]提出了一種基于反正切步長迭代函數的LMS算法：

u(n)=β·arctan(α|x(n)e(n)e(n-1)e(n-2)|)

(6)

該算法使用了FFE-DFE相結合的均衡器模型，與NLMS算法相比性能有了很大的提升；但是算法的計算量較大，當前碼元的計算精度依賴于前級碼元，不適用于低速且ISI相當嚴重的水聲信道。文獻[13]提出了一種基于修正反正切函數的變步長LMS算法，通過在反正切函數上加一個r次冪，使得步長函數更為平坦，函數的收斂性能更好；但是函數形式比較復雜，移植到實際應用中較為困難。

這些變步長算法都是選取了一個合適的步長迭代函數，并加入了調整參數，使得在算法在初始階段擁有大步長和較快的收斂速度，算法的優(yōu)化的主要方向也是提高算法的速度、降低算法的穩(wěn)態(tài)誤差、降低算法的復雜度以及考慮算法的可移植性。

2.4 改進的新型LMS變步長算法

本文總結前人的經驗，結合上述實際問題，對算法進行優(yōu)化，引入了反余弦函數迭代公式。反余弦函數是一個自變量在零值附近時梯度變化緩慢的函數，而算法對碼元的估計誤差是在(0,1)區(qū)間，在這一區(qū)間，函數及函數的導數自增，這一特性使得在誤差較大時函數值較大，誤差趨于0時函數值接近于0,因此使用反余弦函數作為算法步長迭代公式的函數基底，使算法在誤差較大時保證較大的步長，以提高收斂速度；而在誤差趨于0時減小步長，減緩收斂速度，保證算法的穩(wěn)定性。在此基礎上，算法引入三個誤差調整因子來調整反余弦函數邊界, 使得在誤差較大、函數值較大時保證函數不發(fā)散；調整了步長因子和誤差e(n)的非線性函數關系，提出了一種基于反余弦函數的三誤差調整參數的快速收斂變步長LMS算法；最后與其他算法進行對比，以驗證算法的優(yōu)勢。

算法的表達式如下：

e(n)=d(n)-y(n)=d(n)-xT(n)·w(n)

(7)

u(n)=β·arccos(α|er(n)|)

(8)

w(n+1)=w(n)+2u(n)e(n)x(n)

(9)

式(7)為誤差函數，其中：d(n)是第n個碼元的期望信號,y(n)為經過均衡器后的判決輸出，w(n)是均衡器權系數，x(n)為原始基帶信號，誤差信號e(n)為期望信號與判決輸出的差值。式(8)為三誤差調整參數的步長迭代公式，其中arccos為反余弦函數，α、β和r為調節(jié)參數,u(n)為步長因子，通過e(n)和三參數反余弦函數對步長因子進行實時的迭代修正，使得對每一時刻的碼元的迭代步長都趨于合理。由于反余弦函數形式簡單，計算量少，并且誤差函數e(n)和步長因子u(n)滿足反余弦函數形式，函數在e(n)較大時，取得較大步長，收斂迅速；在e(n)變小時，步長也平穩(wěn)變小，可以保證穩(wěn)態(tài)誤差更小，兼顧了收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差。

為了確定合適參數范圍，基于FFE-DFE結構使用Matlab對α、β和r三個參數分別進行仿真分析[8]，輸入信號為二進制調制信號，濾波器權系數設置為W=[0.8,0.5],階數為2，噪聲為方差為0.5的高斯白噪聲，取1 000個采樣點，獨立仿真100次并取統(tǒng)計平均，通過e(n)和u(n)的關系，以及均衡器收斂曲線，確定算法合適的參數。仿真結果如圖5～10所示。

圖5、7和9展示了三誤差調整參數對步長因子數值的影響，圖6、8和10展示了三誤差調整參數對算法收斂的影響，并將結果歸納表示于表1。其中由圖5可以看出α參數能夠調整步長函數的開口大小，由圖7可以看出β參數直接線性影響了步長函數的函數值大小，由圖9可以看出r參數調整了步長函數的底部平滑程度。通過仿真三參數因子對函數曲線的調整、不同參數值時算法的收斂性能以及函數收斂穩(wěn)定后的誤差，根據表1歸納結果，綜合考慮收斂步長和穩(wěn)態(tài)誤差，確定本文算法在該仿真條件下的最優(yōu)參數為α=0.8，β=0.000 4，r=1.4。從圖6、8和10可以看出，在取最優(yōu)參數時，算法在初始階段的均方誤差e(n)較大,對應的步長因子u(n)也較大,算法快速收斂；當迭代進行250次左右時，算法基本收斂，此時步長調整變小，算法進入穩(wěn)態(tài)，誤差e(n)達到了最小值，穩(wěn)態(tài)誤差保持在-25 dB數量級。

圖5 u(n)和e(n)的關系曲線(β=0.000 4，r=1.4)Fig. 5 Relation curve of u(n) and e(n) (β=0.000 4，r=1.4)

圖6 不同α值的收斂曲線(β=0.000 4，r=1.4)Fig. 6 Convergence curve of different α (β=0.000 4，r=1.4)

圖7 u(n)和e(n)的關系曲線(α=0.8，r=1.4)Fig. 7 Relation curve of u(n) and e(n) (α=0.8，r=1.4)

圖8 不同β值的收斂曲線(α=0.8，r=1.4)Fig. 8 Convergence curve of different β (α=0.8，r=1.4)

圖9 u(n)和e(n)的關系曲線(α=0.8，β=0.000 4)Fig. 9 Relation curve of u(n) and e(n) (α=0.8，β=0.000 4)

圖10 不同r值的收斂曲線(α=0.8，β=0.000 4)Fig. 10 Convergence curve of different r (α=0.8，β=0.000 4)表1 三誤差調整參數對比Fig. 1 Comparison of three adjustment parameters

參數α(β=0.0004,r=1.4)收斂步長穩(wěn)態(tài)誤差/dB最優(yōu)值參數β(α=0.8,r=1.4)收斂步長穩(wěn)態(tài)誤差/dB最優(yōu)值參數r(α=0.8,β=0.0004)收斂步長穩(wěn)態(tài)誤差/dB最優(yōu)值0.4405-18—0.0002210-31—1.0不收斂——0.6420-23—0.0003220-30—1.4230-27r=1.40.8270-27α=0.80.0004210-33β=0.00041.8580-26—1.0260-15—0.0005390-27—2.2不收斂——

2.5 算法性能對比與分析

文章[14]中提出了一種基于雙曲正割函數的變步長LMS算法，該算法相對傳統(tǒng)的LMS算法以及歸一化LMS算法(NLMS)等具有更好的收斂性能和穩(wěn)定性，將此算法稱之為算法1；基于修正反正切函數的變步長LMS算法[13]提出了一種基于修正反正切函數的變步長LMS算法，該算法已證明在以反正切函數為基底的多種LMS算法中，具有最好的收斂性能和抗噪聲性能，將此算法稱為算法2。

對上述兩種算法以及傳統(tǒng)的固定步長LMS算法進行收斂性能對比，結果如圖11所示。從圖中可以看出，幾種改進的變步長LMS算法與傳統(tǒng)的LMS算法相比，收斂速度及穩(wěn)態(tài)誤差性能都有顯著提升。以算法100次迭代內不出現3 dB(約5倍)以上的均方誤差浮動作為算法達到穩(wěn)定的標志，以算法穩(wěn)定后的均方誤差的平均期望作為算法的穩(wěn)態(tài)誤差，以算法首次達到該穩(wěn)態(tài)誤差時的迭代次數作為算法的收斂步長。結合FFE-DFE組合結構，使用本文提出的基于反余弦函數的變步長LMS算法，得到收斂步長約為171，較固定步長LMS算法約406步的收斂步長縮短了235步，收斂速度提高了約57.9%，算法的均方誤差下降了5 dB；較算法1收斂步長縮短了61步，較算法2縮短了約32步，收斂速度分別提高了26.3%與15.8%，穩(wěn)態(tài)誤差較兩種變步長算法下降了1～2 dB。

圖11 四種算法性能對比Fig. 12 Performance comparison of four algorithms

3 實物驗證

為了對變步長自適應均衡算法性能進行檢驗，我們使用ARM(Acorn RISC Machine)信號處理模塊移植了Matlab環(huán)境下仿真的反余弦變步長LMS算法，并結合了FFE-DFE非線性均衡器結構在實際的水文條件下進行了水聲實驗，算法流程如下所示，算法開始時，需要約200個訓練序列使算法收斂進入穩(wěn)態(tài)，然后進入自適應均衡，矯正信道誤碼。 其中:輸入參數為訓練序列X,長度記為Lx，單幀計算碼元數量為L；前饋均衡器階數為nW，反饋均衡器階數為nB；前饋濾波器初始學習步長為stepw,反饋濾波器初始學習步長為stepb；e為計算誤差；d為期望輸出；y為組合判決輸出(訓練序列傳輸完之前，d直接從訓練序列得到)；X′為訓練序列結束后實際的信道傳輸信號；Lx′為信道傳輸信號序列長度。

實驗于安靜的清晨在河流中進行，基本排除了周圍的噪聲干擾，河道水流流速較快，水面有可見的漩渦，且測試點附近具備橋洞、石塊等障礙物，具備聲波反射條件，屬于強多徑干擾下的水聲信道。發(fā)射裝置置于水下3 m，接收裝置置于水下2 m，水平間距350 m，收發(fā)裝置固定在岸邊，并隨水流有隨機擺動。

發(fā)送端使用簡單的脈沖寬度調制(Pulse Width Modulation，PMW)方式調制基帶信號，并發(fā)出40 kHz的聲波。接收端FFE前饋均衡器階數為32，DFE反饋均衡器階數為20，接收到經過信道衰減的波形后，進行均衡處理。信源發(fā)出的基帶信號如圖12(a)所示(碼元序列為10100 01010 10001 01010 00101)，經信道傳輸后的波形如圖12(b)所示，其中實線為接收機接收到的信號，虛線為直接進行抽樣判決后的數字信號(碼元序列為01110 11101 10010 10110 01101)，對比圖12(a)與圖12(b)可以看出信號在經過水聲信道后出現了嚴重的碼間串擾，25個碼元中的誤碼數量達到了13個，誤碼率(BER)達到了52%。經過均衡后的判決輸出如圖12(c)所示，對比圖12(a)和圖12(c)，可以看出信號恢復很好。

4 結語

針對目前應用于水聲通信的信道均衡算法收斂速度慢、存在穩(wěn)態(tài)誤差的性能瓶頸以及算法復雜不易于硬件移植等問題，提出了計算簡潔、具有更快收斂速度和穩(wěn)定性的反余弦變步長LMS算法，并通過仿真和實物實驗驗證了算法性能。但是本文算法對水聲信道中的噪聲干擾考慮不足，僅以高斯白噪聲作為噪聲輸入，在后續(xù)工作中，會考慮實際情況下的噪聲問題，研究在低信噪比下的水聲信道快速收斂均衡算法。

圖12 實驗波形Fig. 12 Experimental waveforms

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[14] 王蒙,趙建平,張炳婷.一種基于雙曲正割函數的變步長LMS算法[J].通信技術,2016,49(6):668-672. (WANG M, ZHAO J P, ZHANG B T. A variable step size LMS algorithm based on hyperbolic secant function [J]. Communications Technology, 2016,49(6):668-672.)

This work is partially supported by the National Natural Science Foundation of China (11374162), the Key Project of Natural Science in Colleges and Universities (TJ215009).

ZHENGYifeng, born in 1993, M. S. candidate. His research interests include circuits and systems.

HAOXueyuan, born in 1976, Ph. D., senior engineer. His research interests include signal processing.

YANXiaohong, born in 1963, Ph. D., professor. His research interests include physical electronics.

Newleastmeansquarealgorithmwithvariablestepbasedonunderwateracousticcommunication

ZHENG Yifeng*, HAO Xueyuan, YAN Xiaohong

(SchoolofElectronicScienceandEngineering,NanjingUniversityofPostsandTelecommunications,NanjingJiangsu210000,China)

In underwater acoustic communication, multipath effect channel can cause severe Inter-Symbol Interference (ISI). In view of the problems of the existing equalization algorithms when dealing with ISI, including slow convergence speed and huge steady-state error, as well as the complicated algorithm and being difficult to carry out hardware migration, a new variable step Least Mean Square (LMS) algorithm was proposed with anticosine step function and three adjustment parameters within the Feed-Forward Equalizer and Decision Feed-back Equalizer (FFE-DFE) structure. Firstly, simulations of three adjustment parameters includingα,β,rwere given to optimize the algorithm and compare it with traditional LMS algorithm, Modified Arctangent based Variable Step LMS (MA-VSLMS) and Hyperbolic Secant function based Variable Step size LMS algorithm (HS-VSLMS) in convergence and steady-state error. The simulation results showed that compared with the traditional LMS algorithm, the convergence speed of the proposed algorithm was 57.9% higher, and the steady-state error was reduced by 2 dB; compared with HS-VSLMS and MA-VSLMS, the convergence speed of the proposed algorithm was 26.3% and 15.8% higher, respectively, and the steady-state error was reduced by 1-2 dB. Finally, the proposed algorithm was transplanted to signal processing module and tested in an underwater experiment. Experimental results indicate that the signal is recovered very well after the equalizer, and the ISI problem caused by multipath effect is solved in the actual scene.

underwater acoustic communication; Inter-Symbol Interference (ISI); Least Mean Square (LMS) equalization algorithm; variable step function; decision feed-back equalizer

TP301.6

A

2017- 02- 10;

2017- 03- 17。

國家自然科學基金資助項目(11374162)；高校自然科學重點資助項目(TJ215009)。

鄭奕豐(1993—)，男，江蘇無錫人，碩士研究生，主要研究方向：電路與系統(tǒng)； 郝學元(1976—)，男，江蘇南京人，高級工程師，博士，主要研究方向：信號處理； 顏曉紅(1963—)，男，湖南衡陽人，教授，博士生導師，博士，主要研究方向：物理電子學。

1001- 9081(2017)08- 2195- 05

10.11772/j.issn.1001- 9081.2017.08.2195