強非線性杜芬系統(tǒng)的周期解及其分岔

王旭，李欣業(yè)，王振靜，韓善凱

(河北工業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院，天津 300130)

強非線性杜芬系統(tǒng)的周期解及其分岔

王旭，李欣業(yè)，王振靜，韓善凱

(河北工業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院，天津 300130)

基于廣義諧波平衡法，求解了強非線性杜芬振子自由振動和簡諧激勵下受迫振動的周期-m解，并與數(shù)值解進行了比較，從而討論非線性項的系數(shù)以及激勵參數(shù)對系統(tǒng)周期解的影響.對自由振動而言，倍周期響應(yīng)的周期是派生系統(tǒng)固有周期的整倍數(shù)；對受迫振動而言，倍周期響應(yīng)的周期是外激勵周期的整倍數(shù).結(jié)果表明，為使近似解析諧波解與數(shù)值解比較接近，系統(tǒng)的非線性越強，所需的諧波項數(shù)越多；所設(shè)倍周期分岔解的周期越大，所需的項數(shù)也越多.

廣義諧波平衡法；強非線性；杜芬系統(tǒng)；周期-m解

眾所周知，在傳統(tǒng)的求解非線性振動系統(tǒng)的各種近似解析方法中，諧波平衡法是概念最明了、使用最簡便的，且不僅限于弱非線性系統(tǒng)[1-3]．也正因如此，許多學(xué)者將諧波平衡法與其他方法或理論相結(jié)合，提出了新的改進方法，使諧波平衡法的理論有了十分豐富的發(fā)展[4]．

1981年Lau和Cheung[5]最先將諧波平衡法與增量法結(jié)合，并將該方法稱為增量諧波平衡法(IHB法)．Yuste[6]將諧波平衡法與雅可比橢圓函數(shù)結(jié)合起來，得到橢圓函數(shù)諧波平衡法．Huseyin等[7]提出了一種把諧波平衡法與多尺度法結(jié)合起來的內(nèi)在的時間多尺度諧波平衡法來分析非線性周期振蕩和分岔問題，在此基礎(chǔ)上，Summers等[8]提出了雙時間尺度諧波平衡法．

早在Lagrange時期，在確定行星運行軌道的演化規(guī)律時就提出了平均的概念，后經(jīng)Krylov和Bogolyubov提出著名的KB變換后，逐步形成了具有嚴(yán)格數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)的平均法[9]．Chow[10]首次在分岔問題中使用了平均法，研究了二維中心流Hopf分岔的穩(wěn)定性交換公式．平均法經(jīng)過徐兆和張佑啟等多位學(xué)者的不斷完善，逐步發(fā)展為廣義平均法[11]．在此基礎(chǔ)上又加入廣義諧波函數(shù)的概念，通過這種處理平均法不但可以用于求弱非線性問題，對強非線性系統(tǒng)也同樣適用．

廣義諧波平衡法[12]綜合了諧波平衡法和平均法的優(yōu)勢，既是諧波平衡法的發(fā)展，又是平均法的發(fā)展．本文將基于此法構(gòu)造杜芬系統(tǒng)自由振動和受迫振動的近似解析周期解．由于篇幅限制，略去了對基于此法構(gòu)造的周期解的穩(wěn)定性分析．

1 廣義諧波平衡法

考慮如下形式的運動微分方程

(1)

與諧波平衡法類似，設(shè)其解的形式如下:

(2)

當(dāng)該方程為自治系統(tǒng)時，其基頻Ω是對應(yīng)的線性系統(tǒng)的固有頻率.當(dāng)該方程為非自治系統(tǒng)時，對應(yīng)的是外激勵周期的整數(shù)倍,與平均法類似，式(2)中的諸系數(shù)是時變的.對式(2)求二階導(dǎo)數(shù)，可得

(3)

將式(3)代入方程(1),再利用三角函數(shù)的正交性可得

(4)

其中

式(4)又可以改寫成如下一階微分方程組的形式:

(5)

?

?

式(5)是用于確定近似解(2)的平均方程，若令z=(a0,b1,…,bn,c1,…,cn)T,又可寫成如下形式:

(6)

與平均法類似，為求形如式(2)的穩(wěn)態(tài)解，令各平均方程等號右邊的表達式為零，可得到關(guān)于諸系數(shù)的2n+1個非線性代數(shù)方程組

(7)

一般地，式(7)可以通過Newton-Raphson方法進行數(shù)值求解.根據(jù)李雅普諾夫一次近似理論，可以通過求相應(yīng)雅克比矩陣的特征值來判斷解的穩(wěn)定性．

2 杜芬系統(tǒng)自由振動的周期解

在不考慮阻尼的情況下，杜芬系統(tǒng)的自由振動微分方程可以表示為

(8)

相應(yīng)的平均方程為

(9)

圖1和圖2分別表示在α、β取不同值時，x的近似解析解和數(shù)值解的時間歷程曲線，其中圖例xn表示數(shù)值解，xa表示近似解析解，下角標(biāo)中的數(shù)字代表諧波項的項數(shù)．

圖1 α=1,β=0.1時的時間歷程Fig.1 Time history with α=1,β=0.1

圖2 α=4,β=5時的時間歷程Fig.2 Time history with α=4,β=5

圖1表明，當(dāng)非線性較弱時，用3項諧波的和作為近似解就能較好地與數(shù)值解吻合，繼續(xù)增加諧波項的項數(shù)，對提高解的精度意義不大．圖2表明，當(dāng)系統(tǒng)的非線性較強時，由于派生系統(tǒng)的固有周期變小，用10項諧波的和作為近似解也能較好地與數(shù)值解吻合．所以在接下來討論杜芬系統(tǒng)的受迫振動時，近似解是按至少包含10項諧波給出的．

3 杜芬系統(tǒng)受迫振動的周期解

在自由振動基礎(chǔ)上，以杜芬系統(tǒng)的受迫振動為例，驗證廣義諧波平衡法對周期-m解的適用性．

3.1 周期-m解

杜芬系統(tǒng)的受迫振動微分方程可以表示為

(10)

設(shè)其解為

(11)

此時的平均方程為

n.

(12)

將式(12)簡寫成

(13)

g(m)(z(m))=06×1.

(14)

此時得到的平衡點即為近似解析解，即方程(10)中動力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解．

3.2 激勵參數(shù)的影響

強非線性杜芬系統(tǒng)在作受迫振動時可能出現(xiàn)倍周期分岔的情況，以隨外激勵幅值和外激勵頻率變化而產(chǎn)生的倍周期分岔為例，對廣義諧波平衡法求解周期-m解的適用性進行分析．

3.2.1 激勵幅值的影響

圖3和圖4分別為μ=0.3,α=-1,β=1,Ω=1.2時，不同的F值對應(yīng)的x的時間歷程曲線．

圖3 F=0.2時的時間歷程Fig.3 Time history with F=0.2

圖4 F=0.287時的時間歷程Fig.4 Time history with F=0.287

與圖3對比，圖4表明系統(tǒng)的受迫振動響應(yīng)周期為圖3所示響應(yīng)周期的2倍．

3.2.2 激勵頻率的影響

圖5、6、7分別表示方程(9)中選取μ=0.25、α=-1、β=1、F=0.26時隨Ω值的變化，響應(yīng)出現(xiàn)倍周期分岔時，x的時間歷程曲線．

圖5—圖7表明，隨著外激勵頻率的減小，受迫振動響應(yīng)出現(xiàn)了倍周期分岔，即響應(yīng)周期倍增的現(xiàn)象.由于周期不斷變大，所以近似解中的諧波項數(shù)越來越多，以期能與數(shù)值解有比較好地吻合．

圖5 Ω=1.3時的時間歷程Fig.5 Time history with Ω=1.3

圖6 Ω=1.24時的時間歷程Fig.6 Time history with Ω=1.24

圖7 Ω=1.2時的時間歷程Fig.7 Time history with Ω=1.2

4 討論與結(jié)論

廣義諧波平衡法結(jié)合了諧波平衡法和平均法的優(yōu)點，即不僅可以進行解的穩(wěn)定性分析，又適用于強非線性系統(tǒng)，亦適用于多自由度系統(tǒng)．本文利用此法求解強非線性杜芬系統(tǒng)的近似周期解時，僅考慮了倍周期分岔的情況，即對自由振動，僅考慮了周期為派生系統(tǒng)固有周期整倍數(shù)的情況，對受迫振動僅考慮了周期為外激勵周期整倍數(shù)的情況．對于受迫振動而言，這種倍周期運動相當(dāng)于亞諧振動．事實上，也可用此法求強非線性系統(tǒng)的超諧振動解，即解的周期為派生系統(tǒng)固有周期(對自由振動)或激勵周期(對受迫振動)的幾分之一倍的情況．本文的結(jié)果表明，不論是自由振動還是受迫振動，只要所需諧波項數(shù)足夠多，基于此法構(gòu)造的近似解析解都能很好地與數(shù)值解吻合．為使近似解析諧波解與數(shù)值解比較接近，則系統(tǒng)的非線性越強，所需的諧波項數(shù)越多；所設(shè)倍周期解的周期越大，所需的項數(shù)也越多．

[1] 陳予恕.非線性振動[M].北京: 高等教育出版社,2002.

[2] 陳予恕.非線性振動、分岔和混沌理論及其應(yīng)用[J].振動工程學(xué)報,1992,5(3): 235-250.DOI:10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.1992.03.009.

[3] 劉延柱，陳立群.非線性振動[M].北京: 高等教育出版社,2001.

[4] CHEN Y M,LIU J K.A new method based on the harmonic balance method for nonlinear oscillator [J].Physics Letters A,2007,368(5): 371-378.DOI:10.1016/j.physleta.2007.04.025.

[5] LAU S L,CHEUNG Y K.Amplitude incremental variational principle for nonlinear of elastic systems[J].Journal of Applied Mechanies,1981,48: 959-964.DOI: 10.1115/1.3157762.

[6] YUSTE S B.Comments on the method of harmonic-balance in which Jacobi elliptic function are used[J].Journal of Sound and Vibration,1991,145(3): 381-390.DOI: 10.1016/0022-460X(91)90109-W.

[7] HUSEYIN K,LIN R.An intrinsic multiple-scale harmonic balance method for nonlinear vibration and bifurcation problems[J].International Journal of Non-linear Mechanics,1991,26: 727-740.DOI: 10.1016/0020-7462(91)90023-M.

[8] SUMMERS J L,SAVAGE M D.2 timescale harmonic-balance.I.Application to autonomous one-dimensional nonlinear oscillators[J].Philosophical Transactions of the Royal Society A,1992,3: 340-473.DOI: 10.1098/rsta.1992.0077.

[9] 張琪昌，王洪禮.分岔與混沌理論及應(yīng)用[M].天津: 天津大學(xué)出版社,2005.

[10] CHOW,S N,MALLER-PARET.Integral averaging and bifurcations[J].Differential Equations,1977,26: 112- 159.DOI: 10.1016/0022-0396(77)90101-2.

[11] CHEUNG Y K,XU Z.Intemal resonance of strongly non-linear autonomous vibrating systems with many degrees of freedom[J].Journal of Sound and Vibration,1995,180(2): 229-238.DOI:10.1006/jsvi.1995.0076.

[12] ALBERT C,LUO J.ARASH BAGHAEI LAKEH.Period-m motions and bifurcation trees in a periodically forced van der Pol-Duffing oscillator[J].International Journal of Dynamics and Control,2014,2(4):474-493.DOI: 10.1007/s40435-014-0058-9.

(責(zé)任編輯：王蘭英)

PeriodicsolutionsandtheirbifurcationofDuffingsystemwithstrongnon-linearity

WANGXu,LIXinye,WANGZhenjing,HANShankai

(School of Mechanical Engineering,Hebei University of Technology,Tianjin 300130,China)

Based on the generalized harmonic balance method,the period-m responses of free and forced Duffing oscillators are constructed and compared with numerical solutions from which the effects of nonlinear term and excitation parameters can be observed.For free vibrations,the response periods are assumed to be integer times of the natural period of the corresponding linear system and the excitation period respectively.It is shown that the number of harmonic terms should be large enough for both strongly nonlinear systems and period-doubling bifurcation solutions with large period so that the approximate analytic solutions are comparative to numerical results.

generalized harmonic balance method;strong non-linearity;Duffing systems;period-msolution

O322

A

1000-1565(2017)05-0457-07

10.3969/j.issn.1000-1565.2017.05.003

2017-03-27

河北省高層次人才資助項目(C201400309)

王旭(1990—)，男，河北保定人，河北工業(yè)大學(xué)在讀碩士研究生．E-mail：1216380802@qq.com

李欣業(yè)(1966—)，男，河北遷安人，河北工業(yè)大學(xué)教授，主要從事復(fù)雜系統(tǒng)的動力學(xué)建模與分析和非線性動力學(xué)與控制研究．E-mail：xylihebut@163.com