弱混合陸相河口的河床穩(wěn)定性判據(jù)

高仕趙冀自清尤再進(jìn)

(1.魯東大學(xué) 土木工程學(xué)院,山東 煙臺(tái)264025;2.清華大學(xué) 水沙科學(xué)與水利水電工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京100084)

弱混合陸相河口的河床穩(wěn)定性判據(jù)

高仕趙1,冀自清2,尤再進(jìn)1

(1.魯東大學(xué) 土木工程學(xué)院,山東 煙臺(tái)264025;2.清華大學(xué) 水沙科學(xué)與水利水電工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京100084)

針對(duì)弱混合陸相河口的河床穩(wěn)定性問(wèn)題,應(yīng)用雷諾時(shí)均化法將潮流和徑流的振蕩效應(yīng)以雷諾切應(yīng)力的形式反映出來(lái),利用由雷諾切應(yīng)力構(gòu)造出的廣義力、廣義流以及最小能耗率原理建立了弱混合陸相河口的能耗率,應(yīng)用變分原理對(duì)弱混合陸相河口的能耗率進(jìn)行極值分析得出河床的穩(wěn)定性判據(jù)。根據(jù)河床的穩(wěn)定性判據(jù)可得：河床的穩(wěn)定性與流速梯度以及平均流速相關(guān)。另外,應(yīng)用楔形水槽模型計(jì)算了不同坡度下的單位體積水流能耗率的變化。結(jié)果表明：當(dāng)楔形水槽內(nèi)的水體發(fā)生擾動(dòng)時(shí),能耗率增加,但隨著水體的自我調(diào)整,能耗率隨之減小,最后達(dá)到能耗率最小的穩(wěn)定狀態(tài),因此水槽中的水體遵循最小能耗率原理。進(jìn)而也間接驗(yàn)證了穩(wěn)定性判據(jù)的適用性。

弱混合陸相河口;最小能耗率原理;河床穩(wěn)定性判據(jù);雷諾時(shí)均法

穩(wěn)定的河口河床是能夠保證其河口形式不發(fā)生劇烈變化以及河床能夠較長(zhǎng)時(shí)間維持沖淤平衡,這對(duì)于在海岸河口地區(qū)建設(shè)港口、開(kāi)挖航道、修建防波堤非常重要。而河口河床穩(wěn)定性又受潮流和徑流等外界動(dòng)力因素的影響。這些動(dòng)力因素也同時(shí)影響著河口形式。由于我國(guó)的獨(dú)特地理位置導(dǎo)致了南方地區(qū)的河口多以潮流為主、徑流為輔,而北方地區(qū)的河口卻多以徑流為主、潮流為輔,因此北方地區(qū)的河口形式以弱混合陸相河口特點(diǎn)為主[1-2]。弱混合陸相河口具有3個(gè)明顯的特征：1)潮流較小且較弱,徑流相對(duì)較強(qiáng),受潮汐影響的河段較短;2)洪水季節(jié)潮汐影響只在河口附近,泥沙主要來(lái)自流域;3)在來(lái)沙比較豐富的情況下,徑流攜帶大量泥沙,往往就在口門(mén)附近淤積,使河床抬高,河床的縱剖面向上游傾斜呈顯著的倒比降?；谌趸旌详懴嗪涌诘奶攸c(diǎn),可知影響其河床變化的主要因素是徑流場(chǎng)和潮流場(chǎng)。因此,在建立弱混合陸相河口的數(shù)學(xué)模型時(shí),可以主要考慮徑流場(chǎng)和潮流場(chǎng)的影響,并對(duì)簡(jiǎn)化后的模型進(jìn)行時(shí)均化處理,將反復(fù)變化的振蕩流以時(shí)均處理后的雷諾切應(yīng)力反映出來(lái)。另外,弱混合陸相河口系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱為“河口系統(tǒng)”)屬于開(kāi)放系統(tǒng),主要受來(lái)自徑流場(chǎng)、潮流場(chǎng)聯(lián)合作用的影響。當(dāng)河口河床的底坡適應(yīng)來(lái)水來(lái)沙時(shí),河口系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。河口系統(tǒng)這種宏觀的平衡態(tài)實(shí)際建立在無(wú)數(shù)微觀沙粒沖淤平衡的基礎(chǔ)上,此時(shí)的河口系統(tǒng)符合“經(jīng)典熱力學(xué)理論”模型(即宏觀表現(xiàn)是由大量微觀粒子的“平均表現(xiàn)”所決定的)。當(dāng)河口系統(tǒng)處于擾動(dòng)(如上游來(lái)水來(lái)沙量發(fā)生變化)所引起的非平衡態(tài)時(shí),河口系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)組成部分的性質(zhì)不再均勻,它的流場(chǎng)、輸沙率也會(huì)隨時(shí)間變化,河口系統(tǒng)不再符合“經(jīng)典熱力學(xué)理論”模型。此時(shí)的河口系統(tǒng)從整體上看是處于非平衡態(tài),但如果將河口系統(tǒng)等效成由很多微小局域子系統(tǒng)所組成,并且每個(gè)局域子系統(tǒng)都處于平衡態(tài)。而這些局域子系統(tǒng)之間確存在著差異,從整體來(lái)看整個(gè)河口系統(tǒng)仍然處于非平衡態(tài)。因此,處于擾動(dòng)狀態(tài)的河口系統(tǒng)符合“最小能耗率原理”模型。

Helmholtz最早將最小能耗率原理(最小熵產(chǎn)生原理與最小能耗率原理是等價(jià)的)應(yīng)用于流體研究,他于1868年提出了適用于緩慢黏性流動(dòng)的最小能耗率原理。經(jīng)過(guò)半個(gè)多世紀(jì)之后,非線性熱力學(xué)在流體方面的研究進(jìn)展緩慢[3]。直到20世紀(jì)50年代前蘇聯(lián)學(xué)者維里坎諾夫(ВепикановMA)才將最小能耗率原理擴(kuò)展到河流動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域[4]。目前應(yīng)用非平衡態(tài)熱力學(xué)于河流動(dòng)力學(xué)研究最具影響力的當(dāng)屬Chang[5],Yang[6],Yang和Song[7-8],Song和Yang[9],Yang和Molins[10]運(yùn)用變分極值方法從力學(xué)角度推導(dǎo)的河流最小能耗率原理。但Yang[6],Yang和Song[7-8],Song和Yang[9]提出的最小能耗率原理適用條件為不與外界進(jìn)行任何物質(zhì)和能量交換的封閉孤立系統(tǒng),而孤立系統(tǒng)不存在最小能耗率。徐國(guó)賓和楊志達(dá)[11]對(duì)最小能耗率原理適用條件進(jìn)行了完善,將其適用條件擴(kuò)展到開(kāi)放系統(tǒng),并運(yùn)用最小能耗率原理解釋了河流成因,同時(shí)建立了顯示河相關(guān)系并將其應(yīng)用于穩(wěn)定渠道的優(yōu)化設(shè)計(jì)以及渠首引水防沙工程中[12-14]。而河口系統(tǒng)屬于開(kāi)放系統(tǒng),因此,弱混合陸河口系統(tǒng)的河床穩(wěn)定性問(wèn)題仍然適用于最小能耗率原理。

(王 燕 編輯)

1 理論分析

弱混合陸相河口的河床演變問(wèn)題必然遵循連續(xù)方程和Navier-Stokes方程,但由于潮流的振蕩效應(yīng)直接應(yīng)用以上方程進(jìn)行求解非常困難。目前,普遍采用的方法是對(duì)瞬時(shí)的Navier-Stokes方程進(jìn)行時(shí)均化處理,將振蕩量通過(guò)湍流模型在時(shí)均化的方程中體現(xiàn)出來(lái),即雷諾平均法。

流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程：

式中,ui(i=1,2,3)為速度分量;xi(i=1,2,3)為坐標(biāo)分量。

Navier-Stokes方程：

式中,t為時(shí)間;fi為體積力分量;p為壓強(qiáng);ρ為密度;υ為運(yùn)動(dòng)黏度系數(shù);i=1,2,3;j=1,2,3。

根據(jù)式(1)和式(2)的等號(hào)左側(cè),可變?yōu)?/p>

將式(4)代入式(2)并結(jié)合式(3),再對(duì)式(1)和式(2)進(jìn)行時(shí)均化處理,得：

根據(jù)普朗特混合長(zhǎng)度理論以及類比牛頓內(nèi)摩擦定理,可得雷諾附加應(yīng)力τ'ij：

式中,i=1,2,3;j=1,2,3;l為普朗特混合長(zhǎng)度;μt為紊動(dòng)動(dòng)力黏滯系數(shù)。

雷諾附加應(yīng)力：

將式(7)代入式(6)得：

式中,τij(i=1,2,3;j=1,2,3)為流體黏度引起的切向應(yīng)力。

流體在單位時(shí)間內(nèi)的總能耗率Φ為

式中,dV為單位體積元;ni為面積元dΩ的外法線方向的單位矢量的分量。

設(shè)流體的長(zhǎng)期平均效果為恒定流,即所有的時(shí)均參量不隨時(shí)間變化(如u-i,p-等),流體運(yùn)動(dòng)具有穩(wěn)定邊界條件,此時(shí),式(11)等號(hào)右側(cè)曲面積分為零。因此,流體在單位時(shí)間內(nèi)的總能耗率Φ為

又由于：

因此,式(13)可變?yōu)?/p>

應(yīng)用高斯公式,式(16)可化簡(jiǎn)為

所以,式(18)為零,式(16)可簡(jiǎn)化為

式中,h為鉛垂方向的向量(向上為正);g為重力加速度。由于h和g與坐標(biāo)軸共線,因此在后面推導(dǎo)過(guò)程中直接采用h和g的模。

則式(19)可表示為

因此,局域能耗率函數(shù)φ為

弱混合陸相河口系統(tǒng)符合最小能耗率原理,因此,可以應(yīng)用超能耗率δXΦ來(lái)判斷弱混合陸相河口穩(wěn)定性。計(jì)算超能耗率δXΦ的公式為

式中,δJ1和δJ2為廣義流變的分;δX1和δX2為廣義力的變分。

根據(jù)變分法則以及謝才公式(本文整個(gè)推導(dǎo)過(guò)程中所有參量都取一段時(shí)間的平均效果,因此符合謝才公式應(yīng)用條件),得[11]：

依據(jù)式(25),當(dāng)弱混合陸相河口穩(wěn)定時(shí),即δxφ＞0,可得：

雷諾剪切應(yīng)力的變分：

式中,C為普朗特經(jīng)驗(yàn)常數(shù);Δu-1為同一點(diǎn)沿深度方向最大速度變化量。

質(zhì)量流的變分：

水力梯度的變分：

根據(jù)式(28)～式(31),式(26)可化簡(jiǎn)為

即當(dāng)式(32)成立時(shí),弱混合陸相河口處于穩(wěn)定狀態(tài)。

同理,弱混合陸相河口處于臨界狀態(tài)的判據(jù)為

弱混合陸相河口處于不穩(wěn)定狀態(tài)的判據(jù)為

2 數(shù)值模型計(jì)算

式(32)～式(34)是本文中最小能耗率原理的推論結(jié)果,但直接檢驗(yàn)它們存在困難。為了論證結(jié)果的準(zhǔn)確性,本文進(jìn)而建立了楔形水槽數(shù)值模型,檢驗(yàn)最小能耗率原理在弱混合陸相河口系統(tǒng)中的適應(yīng)性[12],并間接論證本文結(jié)論的準(zhǔn)確性。

建立的數(shù)值水槽長(zhǎng)度為100m,上游入口處尺寸為15m×10m,下游出口處尺寸為20m×10m(圖1)?；趫D1,建立數(shù)值模型,其邊界條件如圖2所示,上下游采用壓力邊界條件,入口處水深為7.5m,出口處的水深為6.5 m,其他邊界采用對(duì)稱邊界條件。水槽按照底坡(i)變化情況(圖3)進(jìn)行數(shù)值仿真計(jì)算,本文采用5種底坡(i1,i2,i3,i4,i5)變化形式對(duì)能耗率進(jìn)行考察。在計(jì)算過(guò)程中,水槽中的水體隨著底坡的不斷變化,將由計(jì)算開(kāi)始的恒定流逐漸變化為非恒定流,最后再變?yōu)楹愣鳌?/p>

圖1 水槽尺寸示意圖Fig.1 Dimension sketch map of the flume

圖2 楔形水槽邊界條件Fig.2 Boundary conditions of the wedge-shaped flume

本文采用5種底坡變化形式對(duì)能耗率進(jìn)行了分析(圖4),結(jié)果表明：楔形水槽中的水體隨著底坡的變化呈現(xiàn)恒定流—非恒定流—恒定流的流動(dòng)趨勢(shì)。當(dāng)水流初次達(dá)到恒定流時(shí),單位體積水體能耗率為常值。當(dāng)楔形水槽底坡發(fā)生變化后,其內(nèi)的流體開(kāi)始由恒定流變?yōu)榉呛愣?單位水體的能耗率也開(kāi)始增加。當(dāng)楔形水槽底坡停止變化時(shí),楔形水槽內(nèi)的水體會(huì)自動(dòng)調(diào)節(jié)各水力要素,使其逐漸恢復(fù)恒定流,此時(shí)單位體積水體能耗率又恢復(fù)為常值。由于施加在前后2次恒定流上的底坡條件不同,所以,2次恒定流的能耗率數(shù)值也不同。同時(shí)也可以看出,負(fù)向底坡越大,能耗率越大,這主要是由底坡增大流速降低所導(dǎo)致的。

圖3 楔形水槽底坡時(shí)間變化圖Fig.3 Changes of the bottom slope of the wedge-shaped flume with time

圖4 總能耗率隨底坡變化圖Fig.4 Changes of the total energy consumption rate with the bottom slope

另外,通過(guò)對(duì)楔形水槽的數(shù)值分析表明：由于受外界干擾因素的影響,水體由穩(wěn)態(tài)變?yōu)榉欠€(wěn)態(tài)時(shí),能耗率也隨之增加;當(dāng)外界干擾因素消退時(shí),水體會(huì)自我恢復(fù)到能耗率最小的狀態(tài)。因此,最小能耗率原理適用于弱混合陸相河口系統(tǒng)。

3 結(jié) 語(yǔ)

目前,河口河床穩(wěn)定性問(wèn)題仍然是河流動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域待解決的難題之一,本文從非平衡態(tài)熱力學(xué)的角度對(duì)弱混合陸相河口進(jìn)行了研究。通過(guò)將河口系統(tǒng)與熱力學(xué)開(kāi)放系統(tǒng)建立起聯(lián)系,應(yīng)用最小能耗率原理得出了河床底坡與平均流速以及流速梯度之間的關(guān)系式。運(yùn)用此關(guān)系式可以初步判斷弱混合陸相河口河床的穩(wěn)定狀態(tài)。需要指出的是,本文提出的河口河床穩(wěn)定性判據(jù)是針對(duì)弱混合陸相河口,對(duì)于其他類型的河口,如強(qiáng)混合海相河口、緩混合海相河口等,不再適用,主要是由于其他類型河口的徑流和潮流的強(qiáng)弱發(fā)生了改變,理論上推導(dǎo)的假設(shè)條件(即以雷諾切應(yīng)力反映潮流和徑流的振蕩效應(yīng))不再成立。

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Abstract：For the stability criteria of the riverbed in the weakly mixed terrestrial estuary,the oscillation effect of tidal current and run-off is reflected in the form of Reynolds shear stress by using Reynolds time average method.The energy consumption rate of the weakly mixed terrestrial estuary is established by using the generalized force and generalized flow constructed through Reynolds shear stress and according to the principle of minimum energy consumption rate.And then,the stability criteria of the riverbed are obtained by the external value analysis of the energy consumption rate of the weakly mixed terrestrial estuary by using the variance principle.According to the criteria,the stability of the riverbed is correlated to the flow velocity gradient and the mean flow velocity.Moreover,the changes of energy consumption rate per unit volume flow at different slope are calculated by using a wedge-shaped flume model.The results indicate that the energy consumption rate of the flow will increase when the water body in the wedge-shaped flume is disturbed,and with the self-adjustment of the water body,the energy consumption rate decreases and finally reaches to the minimum energy consumption steady state.Therefore,the water body in the flume follows the principle of minimum energy consumption rate.These have also indirectly verified the applicability of the stability criteria of the riverbed.

Key words：weakly mixed terrestrial estuary;principle of minimum energy consumption rate;riverbed stability criteria;Reynolds time average method

Received：March 28,2017

Stability Criteria of the Riverbed in the Weakly Mixed Terrestrial Estuary

GAO Shi-zhao1,JI Zi-qing2,YOU Zai-jin1
(1.School of Civil Engineering,Ludong University,Yantai 264025,China;2.State Key Laboratory of Hydroscience and Engineering-Tsinghua University,Beijing 100084,China)

TV143

A

1002-3682(2017)03-0001-08

10.3969/j.issn.1002-3682.2017.03.001

2017-03-28

山東省優(yōu)秀中青年科學(xué)家科研獎(jiǎng)勵(lì)基金項(xiàng)目——基于非平衡態(tài)熱力學(xué)理論的潮汐河口泥沙演變研究(BS2014SF016);山東省“泰山學(xué)者”人才工程項(xiàng)目——海岸侵蝕和淹沒(méi)災(zāi)害數(shù)據(jù)采集和預(yù)測(cè)技術(shù)(+shw201502050)

高仕趙(1983-),男,副教授,博士研究生,主要從事水利水電工程方面研究.E-mail：wooden20030044@126.com