一種基于壓縮感知的改進(jìn)全變分圖像去噪模型?

王 俊 楊成龍

一種基于壓縮感知的改進(jìn)全變分圖像去噪模型?

王 俊1楊成龍2

（1.陸軍軍官學(xué)院基礎(chǔ)部 合肥 230031）（2.陸軍軍官學(xué)院研究生管理大隊 合肥 230031）

提出一種改進(jìn)的基于壓縮感知的全變分圖像去噪模型。該模型中，首先將含噪圖像稀疏表示，然后利用高斯隨機(jī)矩陣對變換后的系數(shù)進(jìn)行測量，并將小波變換與全變分模型相結(jié)合，得到改進(jìn)的全變分去噪模型，最后通過全變差重建算法對圖像進(jìn)行重構(gòu)，得到去噪后的圖像。Matlab仿真結(jié)果表明，論文提出的模型和傳統(tǒng)的去噪方法相比，峰值信噪比平均提高了近1.4dB，并且在有效去噪的同時很好地保留了圖像的邊緣和紋理細(xì)節(jié)信息。

壓縮感知；全變分；小波變換；圖像去噪；Matlab

AbstractIn this paper，an improved total variation model based on compression perception is proposed for image denoising.First of all，the image is sparse expressed by discrete cosine changes.Secondly the coefficient after the transformation is measured based on the gauss random matrix，than the wavelet transform and total variation model are combined to get an improved total varia?tion model.At last，the image is reconstructed by total variation reconstruction algorithm.Compared with the traditional denoising method，the Matlab simulation results show that the peak signal to noise ratio of the new model have increased nearly 1.4dB.Mean?while，it can keep image edges and details very well.

Key Wordscompressed sensing，total variation，wavelet transform，image denoising，Matlab

Class NumberTN911.73

1 引言

圖像去噪是數(shù)字圖像處理系統(tǒng)中最基本又極其重要的一個環(huán)節(jié)，傳統(tǒng)的圖像去噪方法主要分為兩大類，即空間域去噪方法和變換域去噪方法［1］。其中空間域去噪方法主要有均值濾波、中值濾波和高斯濾波等，這些濾波方法在濾除圖像噪聲的同時，往往會使圖像的邊緣和紋理信息變得模糊；變換域去噪方法主要有離散余弦變換和小波變換等，基于小波變換的圖像去噪方法因其具有良好的時頻局部化性質(zhì)，在去噪的同時還能較好地保留圖像的細(xì)節(jié)信息。

近年來，基于偏微分方程的圖像去噪方法因其良好的去噪效果而受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。其中基于全變分模型的圖像去噪方法能夠獲得較好的去噪效果，但在處理圖像平坦區(qū)域時會產(chǎn)生“塊狀效應(yīng)”。壓縮感知方法將采樣與壓縮合二為一，直接對信息進(jìn)行測量，再通過稀疏變換將多數(shù)噪聲去除，最后通過重構(gòu)算法實現(xiàn)圖像的恢復(fù)與噪聲的去除［2］。

本文在前人研究的基礎(chǔ)上，將新興的壓縮感知方法應(yīng)用到圖像去噪中，同時，對全變分模型進(jìn)行改進(jìn)，在有效去噪的同時，保護(hù)圖像的邊緣和細(xì)節(jié)信息，從而實現(xiàn)良好的去噪效果。

2 壓縮感知理論

壓縮感知理論是 Candes［3］和 Donho［4］等于 2006年提出的，它的核心思想是一個稀疏信號的線性投影中的一小部分就已經(jīng)包含了足夠的有效信息，只要信號是稀疏或可壓縮的，那么就可以通過一個測量矩陣以較低的采樣率隨機(jī)觀測信號，然后根據(jù)得到的少量觀測值，利用優(yōu)化算法求解凸優(yōu)化問題就可以高概率重構(gòu)出原始信號。

壓縮感知理論由三個框架組成：信號的稀疏表示、觀測矩陣的設(shè)計、信號的稀疏重構(gòu)［5］。

2.1 信號的稀疏表示

信號的稀疏表示是指當(dāng)長度為N的信號x=[x1，x2，…，xN]T在 某 一 規(guī) 范 正 交 基ψ=[ψ1，ψ2，…，ψN]上的投影 s=[s1，s2，…，sN]T中的非零分量的數(shù)量k滿足k?N時，該信號可以稀疏表示為

此時稱信號x是k稀疏的，s為信號x的k稀疏表示，ψ為信號x的稀疏基。通常稀疏基可以選用離散余弦變換基和小波變換基。

2.2 觀測矩陣的設(shè)計

若要準(zhǔn)確的恢復(fù)出原始信號，就必須求解式（1）欠定方程組，由于投影系數(shù)s是k稀疏的，因此，可以定義一個與稀疏基不相關(guān)的M×N(M?N)矩陣Φ對x進(jìn)行線性測量，得到一個M維的線性測量值y:y=Φx，又因為x可以稀疏表示為x=ψs，因此有：

觀測矩陣的圖形如圖1所示。

圖1 觀測矩陣的圖形表示

其中Θ=Φψ是一個M×N矩陣，稱為傳感矩陣，如果要精確重構(gòu)出信號x，傳感矩陣Θ必須滿足有限等距性質(zhì)：

其中，常數(shù) ρ∈(0，1)，觀測矩陣和傳感矩陣不相關(guān)是Θ必須滿足有限等距性質(zhì)的等價條件，此時信號x就能夠從M個測量值中高概率重構(gòu)。目前，常用的壓縮感知測量矩陣有高斯隨機(jī)矩陣、貝努利隨機(jī)矩陣和部分Fourier矩陣等。

2.3 信號的稀疏重構(gòu)

信號的稀疏重構(gòu)是指從測量值y中高精度重構(gòu)出信號x的過程。Candes等證明信號的重構(gòu)問題可以通過求解最小l0范數(shù)問題來解決。而Dono?ho指出l0問題雖然在理論上是最優(yōu)的，但在實際中是不可行的，它是一個NP-Hard問題。因此，我們可以通過求解下列優(yōu)化問題來得到信號x的稀疏形式 s?：

然后信號x就可以通過下式獲得精確重建：

目前，常用的信號重建算法有貪婪算法和基追蹤法。

3 基于壓縮感知和全變分的圖像去噪

3.1 全變分及改進(jìn)的全變分圖像去噪模型

1992年，Rudin，Osher和Fatime首次將全變分引入圖像去噪領(lǐng)域［6］，開創(chuàng)了全變分圖像去噪方法，其模型表達(dá)式如下：

其中，u為觀測到的圖像，u0為原始圖像，?為梯度算子。從式（6）可以看出，全變分模型是一種各向異性擴(kuò)散模型，擴(kuò)散系數(shù)為1 ||?u，且只沿圖像梯度垂直的方向進(jìn)行擴(kuò)散，水平方向不進(jìn)行擴(kuò)散，因此它能兼顧圖像去噪和保護(hù)圖像的邊緣信息。但在圖像平坦區(qū)域不一定存在邊緣方向，此時若依然沿著邊緣擴(kuò)散，則會使去噪后的圖像產(chǎn)生虛假邊緣，產(chǎn)生“階梯效應(yīng)”，嚴(yán)重影響圖像的視覺效果。

為了克服全變分去噪模型這一弊端，本文利用小波分析具有良好的時頻局部化性質(zhì)，能把圖像的紋理和結(jié)構(gòu)信息表現(xiàn)在不同的分辨率層次上，在實現(xiàn)信噪分離的同時還能較好地保留圖像的細(xì)節(jié)信息這一特點，對全變分模型進(jìn)行改進(jìn)。即先將含噪圖像u進(jìn)行小波軟閾值去噪，得到處理后的圖像u?，然后再對u?利用全變分模型進(jìn)行二次去噪，得到改進(jìn)的全變分去噪模型：

3.2 基于壓縮感知的改進(jìn)全變分模型去噪步驟

1）對含噪圖像x做離散余弦變換，得到變換后的稀疏系數(shù)s；

2）量化處理變換域的系數(shù)，使之構(gòu)成一個系數(shù)矩陣；

3）對系數(shù)矩陣進(jìn)行壓縮編碼；

4）利用TV重建算法［7］解碼重構(gòu)圖像。

4 實例分析

常用的圖像去噪客觀評價標(biāo)準(zhǔn)是峰值信噪比：

其中，M ，N分別是圖像的長和寬，I為原圖像，Iˉ為處理后的圖像，若峰值信噪比越大，說明去噪效果越好。

以大小為256×256像素的Lena圖像為例，將本文模型與小波軟閾值去噪方法、全變分模型、改進(jìn)的全變分模型進(jìn)行比較實驗。其中，所加噪聲為均值為0，方差為20的高斯白噪聲。圖2為幾種模型的去噪效果對比圖。

圖2 Lena圖像的實驗結(jié)果對比圖

從圖2可知，本文模型去噪效果明顯優(yōu)于小波軟閾值去噪方法、全變分模型、改進(jìn)的全變分模型。它不僅能夠有效去除圖像噪聲而且還能較好地保留圖像的邊緣細(xì)節(jié)信息。

表1為不同噪聲方差下不同方法的PSNR值比較。

表1 不同噪聲方差下各方法的峰值信噪比

從表1可知，本文模型對應(yīng)的峰值信噪比最大，說明去噪效果最好。

5 結(jié)語

本文基于壓縮感知相關(guān)理論知識，提出一種基于壓縮感知的改進(jìn)全變分圖像去噪模型。該模型的核心思想是先對含噪圖像進(jìn)行離散余弦變換，然后將得到的稀疏系數(shù)利用高斯隨機(jī)矩陣進(jìn)行測量［8］，并結(jié)合小波變換的優(yōu)勢對全變分模型進(jìn)行改進(jìn)，從而消除“階梯效應(yīng)”，最后通過TV重建算法來實現(xiàn)圖像的恢復(fù)以及噪聲的去除。大量實驗表明本文模型在有效去噪的同時，能夠很好地保留圖像的邊緣紋理等細(xì)節(jié)信息，且能夠取得較好的重構(gòu)性能。

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An Im proved Total Variation M odel for Image Denoising Based on Com pression Perception

WANG Jun1YANG Chenglong2
（1.Department of Basic，Army Officer Academy of PLA，Hefei 230031）（2.Graduate Management Team，Army Officer Academy of PLA，Hefei 230031）

TN911.73

10.3969/j.issn.1672-9722.2017.09.030

2017年3月8日，

2017年4月23日

國家“973”重大專項“磁約束聚變堆內(nèi)部件關(guān)鍵技術(shù)問題研究”（編號：2013GB113000）；“長脈沖H模的實現(xiàn)及相關(guān)機(jī)理研究”（編號：2014GB106000）資助。

王俊，男，博士，副教授，研究方向：偏微分方程及其數(shù)值解法等。楊成龍，男，碩士研究生，研究方向：偏微分方程圖像處理。