基于RBF-ARX模型的三容水箱系統(tǒng)預(yù)測控制?

劉麗麗 左繼紅 吳 軍 鄧秋連

基于RBF-ARX模型的三容水箱系統(tǒng)預(yù)測控制?

劉麗麗1，2左繼紅1，2吳 軍1鄧秋連1

（1.中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院 長沙 410083）（2.湖南鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 株洲 412001）

由于三容水箱是一個(gè)具有多變量、非線性和耦合特征的系統(tǒng)，難以建立精確的數(shù)學(xué)模型。為此，提出了基于RBF-ARX模型的預(yù)測控制策略。RBF-ARX模型是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)RBF（Radial Basis Function）和線性自回歸ARX（Auto-Regres?sive eXogenous）模型兼容組合的模型，適用于非線性系統(tǒng)的建模。預(yù)測控制算法基于此模型預(yù)測對象輸出變化，并通過閉環(huán)控制，使誤差最小。該設(shè)計(jì)首先構(gòu)建三容水箱系統(tǒng)的RBF-ARX模型，并辨識(shí)、優(yōu)化模型參數(shù)。基于此模型設(shè)計(jì)了系統(tǒng)預(yù)測控制器，最后通過實(shí)時(shí)控制證實(shí)了該方法的可行性和有效性。

三容水箱；RBF-ARX模型；預(yù)測控制

AbstractThe three-tank water system which is multivariable，nonlinear and coupled with each other makes it difficult to es?tablish accurate mathematical model，for the problem，the design of predictive control algorithm based on RBF-ARX model are dis?cussed.This modeling method is a combination model based on the theory of neural network RBF（Radial Basis Function）and lin?ear autoregressive ARX（Auto-Regressive eXogenous）model，it is used to construct the model of nonlinear system.Predictive con?trol algorithm predicts system’s output，and makes the error minimum through closed-loop control.The structure of the three-tank water system’s RBF-ARX model is built firstly，then the model’s parameters are identified and optimized.Predictive control algo?rithm is taken to control the three-tank water system based on this model，the real-time control verify the feasibility and validity of the method.

Key Wordsthree-tank water，RBF-ARX model，predictive control

Class NumberTP273

1 引言

三容水箱具有滯后性、非線性和耦合性，它可以模擬工業(yè)控制中多種類型的多變量非線性系統(tǒng)，屬于過程控制中的控制對象。研究其建模及控制策略，對工程應(yīng)用有重要的參考價(jià)值［1］。目前對它的研究主要是構(gòu)建其精確數(shù)學(xué)模型，因其本身的不穩(wěn)定、多變量、非線性及機(jī)械部件的摩擦、噪聲等干擾因素的存在，通常構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)繁瑣，計(jì)算量較大，參數(shù)辨識(shí)比較困難，并且無法準(zhǔn)確描述其非線性特性。對其控制方法的研究主要是復(fù)雜控制算法如智能控制、預(yù)測控制和模糊控制等方面［2］，上述算法除模糊控制算法不需要精確模型外，預(yù)測控制算法、智能控制算法都需要有精確數(shù)學(xué)模型才能使控制算法發(fā)揮得更有效。

2 三容水箱液位系統(tǒng)

本實(shí)驗(yàn)所用三容水箱系統(tǒng)包括水箱、數(shù)據(jù)采集卡、配電柜和計(jì)算機(jī)組成，結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 三容水箱控制本體

圖1 中，三容水箱由盛水容器、驅(qū)動(dòng)裝置和壓力傳感器幾部分組成，水泵、手動(dòng)調(diào)節(jié)閥和電磁閥構(gòu)成驅(qū)動(dòng)裝置。水箱通過泵1、泵2為1#、3#水柱供水，通過電磁閥1#、2#和手動(dòng)調(diào)節(jié)閥LV1、LV5來調(diào)節(jié)水流量。1#、3#水柱通過3#、4#電磁閥出水，2＃水柱通過LV2出水。LV3、LV4閥連接3個(gè)水柱，通過調(diào)節(jié)連接閥及出水閥可以增加系統(tǒng)的耦合和干擾性。

3 三容水箱系統(tǒng)的RBF-ARX模型及辨識(shí)

RBF-ARX模型融合了線性自回歸ARX（Au?to-Regressive eXogenous）模型［3］和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) RBF（Radial Basis Function）［4～5］，多用于非線性系統(tǒng)的建模，首先構(gòu)建非線性系統(tǒng)的局部線性ARX模型，依存狀態(tài)變化的ARX模型系數(shù)采取神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)無限逼近，以此來描述系統(tǒng)的全局非線性。

針對兩輸入、兩輸出的三容水箱，兩輸入分別為1#電磁閥電壓u1和2#電磁閥電壓u2，兩輸出分別為1#水柱液面 y1和3#水柱液面 y2，構(gòu)建RBF-ARX模型如式（1），式（1）模型中先構(gòu)建系統(tǒng)基本線性ARX模型，采取高斯徑向基的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)來逼近其時(shí)變的模型系數(shù)［6］。

其中，?i0為模型系數(shù)，模型階次用ny，nu表示，非線性環(huán)節(jié)數(shù)用h表示，ξ(t)代表白噪聲干擾，RBF網(wǎng)絡(luò)中心為 zj，m，cij，k(i=1，2，…，nj，j=y，u，v;k=0，1，2，…，m)為線性權(quán)系數(shù)，w(t-1)為非線性因素組合，可以是輸入序列組合、輸出序列組合或是二者的組合。Y(t)=[y1(t) y2(t)]T∈?是1#、3#水柱液面的輸出矩陣，U(t)=[u1(t) u2(t)]T∈? 是1#、2#電磁閥電壓輸入矩陣，λikj(k=1，2，…，m;i=y，u;j=1，2)為比例因子，其計(jì)算公式如下

其中||.||2代表矢量的2-范數(shù)。

模型辨識(shí)時(shí)，采集輸入輸出數(shù)據(jù)作為辨識(shí)數(shù)據(jù)，先將模型參數(shù)分為線性和非線性參數(shù)，再確定模型階次 ny，nu，這里采用AIC（Akaike Informa?tion Criterion）信息準(zhǔn)則法來確定，該法常用來估算相應(yīng)參數(shù)值，效果優(yōu)良，計(jì)算公式如下

其中，L?表示模型的擬合度，k代表模型中的參數(shù)數(shù)量。針對本文研究對象三容水箱，循環(huán)計(jì)算使AIC值最小時(shí)對應(yīng)的ny=4，nu=6。最后優(yōu)化離線計(jì)算出模型參數(shù)。

圖2所示為三容水箱RBF-ARX建模精度。

圖2中，e（1）t、e（2）t分別代表1#和3#實(shí)際輸出水位和期望輸出的誤差，采用應(yīng)殘差直方圖分析誤差分布。顯然，RBF-ARX模型下系統(tǒng)實(shí)際輸出與期望輸出間的誤差波動(dòng)范圍小，且成正態(tài)分布，表明建模精度比較高，建模效果良好。

圖2 三容水箱RBF-ARX建模精度

4 基于RBF-ARX模型的預(yù)測控制策略

基于RBF-ARX模型的預(yù)測控制策略采取RBF-ARX模型，采用閉環(huán)輸出反饋預(yù)測系統(tǒng)輸出，適用于非線性復(fù)雜系統(tǒng)的控制算法，其算法結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 基于RBF-ARX模型的預(yù)測控制結(jié)構(gòu)圖

上圖中模型采取RBF-ARX模型，預(yù)測輸出根據(jù)RBF-ARX模型預(yù)測對象輸出，并與系統(tǒng)實(shí)際輸出比較計(jì)算出誤差，將模型預(yù)測輸出和誤差反饋給輸入端，并比較參考軌跡，優(yōu)化計(jì)算出最優(yōu)輸出，使系統(tǒng)的預(yù)測輸出量與參考軌跡的誤差最小。

綜上所述，根據(jù)控制算法結(jié)構(gòu)圖，將模型（1）轉(zhuǎn)換成式（4）所示形式［7～8］。

式中

ξ(t)是高斯白噪聲，需滿足式（5）的代數(shù)方程：

式中Ft-1是σ代數(shù)，Ω是有限正值矩陣。

將模型（3）轉(zhuǎn)換成矩陣形式如式（6）所示。

式中

根據(jù)預(yù)測控制策略由模型（5）得到系統(tǒng) j步向前預(yù)測輸出為

其中

的解。其中

其中，Yr(t)是期望參考輸出矩陣，N1、Nu分別為預(yù)測和控制時(shí)域，且有u(t+j)=u(t+Nu-1)(j≥Nu)，

由式（9）得

其中

定義優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)如下

式中R(R1或R2)通常定義為R=rINu，r為常數(shù)。

通過以上公式求解控制信號U(t)為

5 預(yù)測控制結(jié)果分析

實(shí)時(shí)控制時(shí)，選取N1=8，Nu=4，采樣周期定1s，參考期望水位分別在10cm、20cm、30cm之間上升或下降，分析基于RBF-ARX模型的預(yù)測輸出，并與PID控制算法輸出結(jié)果比較，根據(jù)實(shí)驗(yàn)情況，發(fā)現(xiàn)選取PID控制為以下時(shí)效果比較好。

1#液位：kp=0.0665，ki=0.00575；kd=0；

3#液位：kp=0.035，ki=0.0004；kd=0。

通過以上PID參數(shù)值對三容水箱進(jìn)行控制，并將控制結(jié)果與基于RBF-ARX模型的預(yù)測控制結(jié)果進(jìn)行比較，如下圖。

由圖4和圖6所示，當(dāng)1#水柱液位輸出期望值由100mm上升到200 mm或由200 mm上升到300 mm時(shí)，兩種控制方法的輸出水位都能以最快速度上升到期望水位，但是PID控制器調(diào)節(jié)時(shí)間相對較長，結(jié)果基于RBF-ARX模型的預(yù)測控制算法控制液位穩(wěn)定在期望值早于PID控制器。兩種控制方法的控制誤差尚可，均在1mm內(nèi)。

圖4 1#水柱兩種控制方法效果比較（水位100mm～200mm上升）

圖5 3#水柱兩種控制方法效果比較（水位100mm～200mm上升）

圖6 1#水柱兩種控制方法效果比較（水位200mm～300mm上升）

圖7 3#水柱兩種控制方法效果比較（水位200mm～300mm上升）

由圖5和圖7所示，當(dāng)3#水柱液位輸出期望值由100mm上升到200 mm或由200 mm上升到300 mm時(shí)，兩種控制方法的控制效果不如同樣條件下的1#水柱的控制效果理想，但是相對來說基于RBF-ARX模型的預(yù)測控制方法具有較小的超調(diào)和控制誤差。

圖8 1#水柱兩種控制方法效果比較（水位200 mm下降到100mm）

圖9 3#水柱兩種控制方法效果比較（水位200 mm下降到100mm）

由圖8和圖9所示，當(dāng)1#、3#水柱液位輸出期望值由200mm下降為100mm時(shí)，兩種控制方法控制輸出及時(shí)響應(yīng)，使液位以最快速度下降到期望輸出。但3#PID控制器的響應(yīng)速度相對較慢，結(jié)果基于RBF-ARX模型的預(yù)測控制算法下降速度更快。

綜上，1#水柱液位的兩種控制算法控制精度都在1mm之內(nèi)，3#水柱液位的基于RBF-ARX模型的預(yù)測控制算法控制精度較高。

6 結(jié)語

針對三容水箱的非線性耦合特性，提出了基于RBF-ARX模型的預(yù)測控制策略。介紹了RBF-ARX模型的由來，構(gòu)建了三容水箱系統(tǒng)的RBF-ARX模型，對參數(shù)進(jìn)行離線辨識(shí)。并基于此模型設(shè)計(jì)了預(yù)測控制器，采取閉環(huán)控制，使誤差降低到最小。最后通過實(shí)時(shí)控制效果，并與PID控制算法進(jìn)行比較，證實(shí)該方法的有效性。

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Predictive Control for Three-Tank W ater System Based on RBF-ARX M ode

LIU Lili1，2ZUO Jihong1，2WU Jun1DENG Qiu lian1
（1.School of Information Science and Engineering，Central South University，Changsha 410083）（2.College of Hunan Railway Professional Technology，Zhuzhou 412001）

TP273

10.3969/j.issn.1672-9722.2017.09.018

2017年3月16日，

2017年4月21日

2015年度湖南省教育廳科學(xué)研究資助項(xiàng)目“四旋翼飛行器的建模及控制策略的研究”（編號：15C0903）；2015年度國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目“抗參數(shù)橫揺的欠驅(qū)動(dòng)船舶航跡跟蹤控制研究”（編號：61403045）資助。

劉麗麗，女，碩士，講師，研究方向：復(fù)雜非線性系統(tǒng)建模及控制方法。左繼紅，男，碩士，講師，研究方向：復(fù)雜非線性系統(tǒng)建模及控制方法。吳軍，男，博士，講師，研究方向：復(fù)雜非線性系統(tǒng)建模及控制方法。鄧秋連，女，碩士，高級工程師，研究方向：復(fù)雜非線性系統(tǒng)建模及控制方法。