漸開線圓柱齒輪齒厚測(cè)量方法及原理研究

胡克偉+徐秀波+齊曉輝

摘 要：對(duì)比了漸開線圓柱齒輪常用的齒厚測(cè)量方法，對(duì)各測(cè)量方法的適用場(chǎng)合和優(yōu)、缺點(diǎn)進(jìn)行了總結(jié)；針對(duì)直齒外嚙合圓柱齒輪、直齒內(nèi)嚙合圓柱齒輪建立了跨棒距測(cè)量分度圓弧齒厚的數(shù)學(xué)模型，給出其理論計(jì)算的過程，為齒輪計(jì)算軟件的二次開發(fā)奠定了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：齒輪加工 漸開線圓柱齒輪 齒厚測(cè)量 跨棒距計(jì)算

1 齒厚測(cè)量方法

漸開線圓柱齒輪在加工過程中，齒厚是一個(gè)重要的參數(shù)，它決定著齒輪的側(cè)隙。側(cè)隙過小，會(huì)引起齒輪副在工作過程中“咬齒”，而側(cè)隙過大，則會(huì)造成齒輪副工作中產(chǎn)生較大的噪聲。齒厚如果達(dá)不到設(shè)計(jì)要求，會(huì)造成側(cè)隙不合格，嚴(yán)重影響齒輪傳動(dòng)。

常用的齒厚測(cè)量方法主要有：分度圓弦齒厚、固定弦齒厚、公法線長(zhǎng)度和量柱（球）測(cè)量跨距（即跨棒距）。對(duì)于漸開線圓柱齒輪，齒輪加工過程中常用公法線長(zhǎng)度和跨棒距測(cè)量齒厚。采用跨棒距進(jìn)行測(cè)量時(shí)不需以齒頂圓作為定位基準(zhǔn)，方法簡(jiǎn)單，測(cè)量結(jié)果較準(zhǔn)確，而對(duì)于齒厚變化，其較公法線更為敏感，一般為兩倍以上，測(cè)量精度相對(duì)較高，在短齒（如漸開線花鍵齒）和寬度較窄的齒，測(cè)量公法線極不方便，對(duì)于內(nèi)齒，則無法用公法線測(cè)量，因此跨棒距測(cè)量已成為齒輪加工過程中齒厚測(cè)量方法的首選。

2 跨棒距測(cè)量的幾何原理

1）直齒外嚙合圓柱齒輪的跨棒距數(shù)學(xué)原理

圖1為一直齒外嚙合圓柱齒輪的部分輪齒示意圖（僅畫出齒廓與基圓相交部分）。圖中圓O為基圓，量棒的圓心為M，量棒與齒廓上的漸開線接觸于P點(diǎn)，過P點(diǎn)做基圓O的切線，交圓O于K點(diǎn)，根據(jù)漸開線的性質(zhì)，可知P、K、M三點(diǎn)共線。設(shè)跨棒距為M，設(shè)量棒直徑為dp，量棒中心至基圓中心的距離為RM。若求出圖中的RM，則可求出跨棒距，根據(jù)齒輪齒數(shù)的不同，可分為以下兩種情況：

偶數(shù)齒 （1），

奇數(shù)齒 （2）。

在△MOK中，可解得 （3），

（4），

（5）， （6），

（7），

將式（5）、（6）、（7）代入式（4）中，可得： （8）。

由圖1可知， （9），θP為漸開線上P點(diǎn)的展角，αP為P點(diǎn)的壓力角，δ為齒槽寬中點(diǎn)與基圓圓心的連線和漸開線在基圓上的起點(diǎn)與基圓圓心的連線之間的夾角。

由漸開線的性質(zhì)可知： （10）。

為了求δ，需要將角度轉(zhuǎn)換到分度圓上。在圖2中，點(diǎn)劃線表示齒輪輪齒的分度圓，分度圓與漸開線交于Q，過Q做基圓的切線，相交于R，α為Q點(diǎn)的壓力角，設(shè)齒距為p，分度圓弧齒厚為s，分度圓齒槽寬為e，則

（11）。

由漸開線的性質(zhì)可知： （12），

（13），

（14）。

由式（11）、（12）、（13）、（14）得 （15）。將式（15）與（9）、（11）聯(lián)立，可得

（16）， （17）。將式（16）與（8）、（17）聯(lián)立，可得

（18），欲求跨棒距，只需將式（1）、（2）、（3）、（18）聯(lián)立即可。

2）直齒內(nèi)嚙合圓柱齒輪的跨棒距數(shù)學(xué)原理

直齒內(nèi)嚙合圓柱齒輪的跨棒距公式推導(dǎo)與直齒外嚙合圓柱齒輪類似，見圖3、圖4，其中偶數(shù)齒 （19），奇數(shù)齒

（20）。式（4）變?yōu)?（21），式（8）變?yōu)?/p>

（22），式（9）變?yōu)?（23），式（11）變?yōu)?（24），式（15）變?yōu)?（25），式（18）變?yōu)?/p>

（26）。

而對(duì)于內(nèi)嚙合齒輪，齒輪參數(shù)表上通常給出的是分度圓齒槽寬，因此，式（26）也可寫作： （27）。

圖1 外齒輪跨棒距的推算 圖2 外齒輪角度的轉(zhuǎn)換

圖3 內(nèi)齒輪跨棒距的推算 圖4 內(nèi)齒輪角度的轉(zhuǎn)換

通過以上的數(shù)學(xué)模型，可建立相應(yīng)軟件，將跨棒距的測(cè)量值反算為分度圓弧齒厚，對(duì)齒輪齒厚情況進(jìn)行衡量。

3 結(jié)束語

1）漸開線圓柱齒輪齒厚的常用測(cè)量方法中，跨棒距大小對(duì)分度圓齒厚變化最為敏感，且適合測(cè)量公法線不宜測(cè)量的內(nèi)嚙合圓柱齒輪，是一種直接、有效、方便的齒厚測(cè)量方法；

2）在應(yīng)用跨棒距測(cè)量斜齒輪時(shí)需注意當(dāng)齒數(shù)為奇數(shù)齒，且螺旋角在45°附近時(shí)，無法采用雙量柱（球）測(cè)量，需改用三量柱（球）測(cè)量；

3）在給定分度圓弧齒厚后，可根據(jù)相應(yīng)計(jì)算公式推出跨棒距值，反之，也可根據(jù)跨棒距的數(shù)值推出分度圓弧齒厚；

4）齒輪參數(shù)中如果已知變位系數(shù)，而分度圓弧齒厚未知時(shí)，也可通過分度圓弧齒厚與齒輪變位系數(shù)之間的關(guān)系公式進(jìn)行相應(yīng)轉(zhuǎn)換，從而求出跨棒距。

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