巖石空隙變化及其變形全過程的統(tǒng)計損傷模擬方法*

曹文貴，張超，賀敏，劉濤

(湖南大學(xué) 巖土工程研究所，湖南 長沙 410082)

巖石空隙變化及其變形全過程的統(tǒng)計損傷模擬方法*

曹文貴?，張超，賀敏，劉濤

(湖南大學(xué) 巖土工程研究所，湖南 長沙 410082)

針對因空隙(包括初始和次生空隙)變化引起巖石變形呈現(xiàn)高度非線性的特征，首先將巖石視為由顆粒骨架和空隙兩部分組成，并采用宏觀與微觀分析相結(jié)合的方法，建立巖石應(yīng)力與應(yīng)變分別在宏觀與微觀方面的關(guān)系，從而揭示空隙巖石變形力學(xué)機理，為模擬巖石變形全過程奠定了基礎(chǔ)；然后，在此研究基礎(chǔ)上依據(jù)Lemaitre應(yīng)變等價性原理，建立考慮空隙變化影響的新型巖石損傷模型，引入統(tǒng)計損傷理論進而建立能夠模擬巖石變形全過程的統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型并給出了參數(shù)確定方法.該模型不僅能反映巖石的應(yīng)變軟化特性，而且還能反映因空隙壓縮引起的巖石變形的非線性特征；最后，通過實例分析，將本文及同類模型的理論曲線與實測曲線進行對比分析，表明了本文模型與方法的合理性與優(yōu)越性.

巖石；空隙變化；統(tǒng)計損傷理論；本構(gòu)模型；非線性變形

Abstract：According to the highly nonlinear deformation characteristic of rocks caused by the change of voids (including initial and secondary voids)，firstly，rocks can be regarded as composed of two parts: particle skeleton and voids.Then the relationships between macroscopic and microscopic aspects in stress and strain of rocks were developed by combining macro-analysis and micro-analysis respectively，which have revealed the deformation mechanism of voids rocks and have provided a theoretical basis for the simulation of the full deformation process of rocks.Afterwards，based on these researches，a new damage model considering the effect of voids change was established by Lemaitre’s hypothesis of strain equivalence，and then a statistical damage constitutive model stimulating the full deformation process for rocks was thus proposed by introducing statistical damage theory and the methods for determining its parameters was simultaneously given.This model can reflect not only the property of strain softening but also the nonlinear deformation characteristic of rocks caused by voids compression.Finally，through example analysis and comparison between the measured curves and the theoretical curves for this paper and similar models，the rationality and superiority of this model and methods have been indicated.

Keywords：rock；voids change；statistical damage theory；constitutive model；nonlinear deformation

眾所周知，巖石都存在初始空隙(包括孔隙和裂隙)，當(dāng)巖石受到超過本身強度的應(yīng)力作用時將會發(fā)生屈服和破壞，從而形成新的次生空隙，正因為如此，在應(yīng)力作用下，巖石的空隙率必然會發(fā)生變化，并引起巖石的體積變化(包括體積壓縮或擴容)，從而導(dǎo)致巖石變形力學(xué)參數(shù)(如變形模量和泊松比)的變化，使巖石變形呈現(xiàn)高度非線性特征，因此，在研究巖石變形全過程的模擬方法即巖石本構(gòu)模型時值得特別考慮，這正是本文研究的出發(fā)點.

自從唐春安等[1]和曹文貴等[2]將統(tǒng)計損傷理論引入到巖石變形過程模擬研究以來，并經(jīng)其后許多學(xué)者[3-11]的完善，使基于統(tǒng)計損傷理論的巖石變形過程模擬方法研究取得了令人鼓舞的進展，并成為巖石變形過程模擬最成功的方法之一，它們不僅可以描述在低應(yīng)力水平下巖石壓密完成后的線性變形特征，而且，還可描述在高應(yīng)力水平下巖石屈服或破壞后的應(yīng)變軟化或硬化的非線性變形特征，較好地模擬了巖石變形全過程及其變形規(guī)律.但是，利用這些方法與模型在模擬巖石變形全過程時，在巖石變形的不同階段，理論分析曲線與工程實測曲線均存在不同程度的差異，究其原因，在于上述方法和模型沒有考慮巖石在變形過程中因空隙變化引起的體積變化，因為巖石空隙變化必然會引起巖石變形特性的變化.為此，曹文貴等[12-13]把在應(yīng)力作用下的巖石抽象為由巖塊和空隙兩部分組成，通過微觀應(yīng)力應(yīng)變分析方法獲得了反映空隙變化影響的巖石微觀應(yīng)力和變形與其宏觀應(yīng)力和變形之間的關(guān)系，并將其應(yīng)用于基于統(tǒng)計損傷理論的巖石變形全過程模擬方法研究，使其模擬效果得到了一定程度的改善.然而，這種模擬效果的改善甚微，其原因在于他們認(rèn)為巖石宏觀變形與巖塊微觀變形協(xié)調(diào)且相同，這顯然不符合實際，因為巖石宏觀變形不僅包括巖塊的變形，還應(yīng)包括巖石因空隙變化而引起的變形.因此，在研究巖石變形全過程模擬方法時，正確反映巖石變形力學(xué)機理成為關(guān)鍵，這正是本文研究的核心內(nèi)容.

為此，本文將在研究巖石變形力學(xué)機理的基礎(chǔ)上，探討在空隙變化影響下巖石微觀應(yīng)力和變形與其宏觀應(yīng)力和變形之間的關(guān)系，并將其引入基于統(tǒng)計損傷理論的巖石變形全過程模擬方法研究，使巖石變形全過程的模擬更加接近于實際，以期完善巖石本構(gòu)關(guān)系研究的內(nèi)容與方法.

1 巖石的空隙介質(zhì)特征及其變形機理

巖石存在的空隙(包括初始和次生空隙)使巖石具有空隙介質(zhì)特性，顯然巖石不同于經(jīng)典固體力學(xué)研究中的連續(xù)固體介質(zhì)，二者的變形力學(xué)機理存在較大差異，因此，為了更好地研究巖石的變形規(guī)律，就必須充分考慮巖石的空隙介質(zhì)特性，因而本文將采用微觀與宏觀分析相結(jié)合的研究方法，探討巖石的變形力學(xué)機理.

作為空隙介質(zhì)的巖石，其變形力學(xué)機理涉及巖石應(yīng)力和變形分別在宏觀與微觀方面的關(guān)系，下面將分別進行介紹.

1.1 巖石宏觀與微觀應(yīng)力之間的關(guān)系

將空隙巖石視為由顆粒骨架和空隙兩部分組成，若在巖石中取某截面進行分析，并設(shè)截面上顆粒骨架的平均實際應(yīng)力為σsi；累計面積為As；累計空隙面積為A0；截面總面積為A；截面上平均應(yīng)力(或稱宏觀應(yīng)力)為σi；荷載σiA完全由相應(yīng)截面上顆粒骨架承擔(dān)；則由力的平衡關(guān)系可得

σiA=σsiAs

(1)

令n=A0/A，于是可得[12-15]

σsi=σi/(1-n)

(2)

式(2)即為巖石宏觀應(yīng)力σi與微觀應(yīng)力σsi之間的關(guān)系，其顯然與空隙率n密切相關(guān).

1.2 巖石宏觀與微觀變形之間的關(guān)系

Lsi=(1-n0)Li

(3)

(4)

令

(5)

(6)

于是，可得巖石宏觀應(yīng)變(εi=ΔLi/Li)和顆粒骨架實際應(yīng)變(εsi=ΔLsi/Lsi)之間的關(guān)系，即

(7)

由于εi<<1.0，于是式(7)可簡化為[15]

(8)

式(8)即為巖石宏觀應(yīng)變εi與顆粒骨架微觀應(yīng)變εsi之間的關(guān)系，顯然這與文獻[12-14]的假定(即εsi=εi)明顯不同，顯然式(8)更能反映實際情況，它表明巖石宏觀應(yīng)變由顆粒骨架微觀應(yīng)變和因空隙變化引起的應(yīng)變兩部分組成.

若將i分別視為x，y和z坐標(biāo)，則由式(7)可分別得到巖石在x，y和z3個坐標(biāo)軸方向的宏觀與微觀應(yīng)變之間的關(guān)系.于是，由巖石宏觀體應(yīng)變(εv=εx+εy+εz)以及巖石顆粒骨架實際體應(yīng)變(εsv=εsx+εsy+εsz)可得

(9)

另外，根據(jù)文獻[12-14]可得巖石宏觀體應(yīng)變和空隙率之間的關(guān)系為

(10)

于是，將式(10)分別代入式(8)和(9)，分別可得

εi=εsi+εv

(11)

(12)

由此可以看出，式(2)，(11)和(12)分別揭示了巖石在應(yīng)力作用下的宏觀應(yīng)力與微觀應(yīng)力、宏觀應(yīng)變與微觀應(yīng)變以及宏觀體應(yīng)變與微觀體應(yīng)變之間的關(guān)系，為巖石變形過程模擬方法研究奠定了基礎(chǔ).

2 巖石變形全過程統(tǒng)計損傷模擬方法

(13)

式中：D為顆粒骨架損傷變量，定義為顆粒骨架損傷截面積與總截面積之比.將式(13)代入式(2)可得

(14)

假定未損傷材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系服從廣義虎克定律，即

(15)

式中：i，j，k=1，2，3；Es和μs分別為未損傷材料彈性模量和泊松比，理論上不易測定，但可近似認(rèn)為其與致密巖塊的變形力學(xué)參數(shù)一致.將式(15)代入式(14)可得

σi=(1-n)(1-D)Esεsi+μs(σj+σk)

(16)

將式(8)代入式(16)可得

σi=(1-D)[(1-n)εi-n0+n]Es+μs(σj+σk)

(17)

式(17)即為考慮空隙或體積變化影響的新型巖石損傷模型.由此可以看出，利用該模型模擬空隙巖石變形全過程，必須解決空隙率和損傷因子的確定方法問題，下面將分別作詳細(xì)介紹.

2.1 空隙率的確定方法

為了研究問題的方便，考慮巖石三軸試驗的實際情況，由式(15)可得空隙巖石的顆粒骨架微觀應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系，即

(18)

(19)

(20)

可得

(21)

(22)

將式(14)代入式(21)～(22)，得

(23)

(24)

由顆粒骨架體應(yīng)變εsv與主應(yīng)變εsi之間的關(guān)系，即

εsv=εs1+εs2+εs3

(25)

將式(23)～(24)代入式(25)，再將式(25)代入式(12)得

(1-n)(1-D)Esεs1+(1+μs)(σ2+σ3)=

(26)

由式(8)得

(27)

于是，將式(27)代入式(26)可得巖石空隙率與宏觀應(yīng)力應(yīng)變之間的關(guān)系，即

(28)

式中：

M1=(1+μs)(1-2μs)

(29)

M2=2Es(1+μs)(1-2μs)[2μs(3+n0)-3n0-5]

(30)

M3=4(1-2μs)[(1-n0)Es]2

(31)

M4=[2n0+(1+n0)(1-2μs)]Es

(32)

M5=2Es(1-2μs)

(33)

(34)

由式(16)得

σ1=(1-n)(1-D)Esεs1+μs(σ2+σ3)

(35)

于是，將式(35)代入式(26)得

(36)

再將式(28)代入式(36)得

(σ2+σ3)

(37)

式中：

M7=4(1-2μs)(1-μs)

(38)

M8=2(1-2μs)2

(39)

M9=Es[n0+3-2μs(1-n0)]

(40)

式(37)即為三軸試驗條件下的巖石損傷本構(gòu)模型.

2.2 損傷變量D的確定方法

目前，建立損傷變量D的確定方法的關(guān)鍵在于巖石微元強度的合理度量.為此，引入文獻[12-14]的研究思路可得巖石微元強度F的度量方法，即

(41)

式中：α和k0分別為與顆粒骨架發(fā)生屈服時的粘聚力cy和內(nèi)摩擦角φy有關(guān)的常數(shù)，可表示為[13]

α=(1+sinφy)/(1-sinφy)

(42)

k0=2cycosφy/(1-sinφy)

(43)

將式(14)代入式(41)得

(44)

由式(17)得

(45)

于是，將式(45)代入式(44)得

(46)

將式(14)及式(27)代入式(18)得

(47)

將式(14)代入式(18)～(20)，并將式(18)～(20)代入式(25)，再將式(25)代入式(12)得

(48)

依據(jù)連續(xù)固體力學(xué)理論假設(shè)未損傷材料的變形力學(xué)參數(shù)為常數(shù)，則由式(47)～(48)可得

(49)

式中：

N1=1-2μs

(50)

N2=1-n0

(51)

(52)

于是，將式(49)代入式(46)得

(53)

式中:

N4=(1+n0)(1-2μs)/(1-n0)

(54)

N5=1+2μs

(55)

式(53)即為巖石微元強度F的度量方法.設(shè)巖石微元強度服從Weibull分布，則可得損傷變量D的確定方法，即

(56)

式中：m和F0為巖石微元強度分布參數(shù).將式(56)代入式(37)即得三軸試驗條件下模擬巖石變形全過程的統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型，但須解決參數(shù)m和F0的確定方法問題.

2.3 參數(shù)m和F0的確定方法

本文考慮應(yīng)變軟化類巖石的變形全過程模擬問題.設(shè)某特定圍壓下巖石應(yīng)力應(yīng)變試驗曲線峰值點處的應(yīng)力與應(yīng)變分別為σsc和εsc,根據(jù)曲線的極值特性，由式(37)可得

(57)

由于σsc和εsc也須滿足式(37)，故將其與式(57)聯(lián)立得參數(shù)m和F0，即

(58)

(59)

式中：

P1=T1[Asc+B2(1+2εsc)-T1][Asc+B1-T1]

(60)

P2=2(1-n0)B2[2B1-B2(1+2εsc)+Asc-T1]

(61)

(62)

(63)

(64)

B1=(3-2μs)(1-n0)

(65)

B2=(1-2μs)(1-n0)

(66)

B3=(4εsc-2μs+1)(1-n0)B2

(67)

(68)

N7=2Q1+Q2-Q3

(69)

N8=(2Q1-Q2-Q3)Q3+2(1-εsc)Q1Q2

(70)

N9=εsc(2Q1-Q2-Q3)+Q3-Q2N4/N1

(71)

Q1=σsc-μs(σ2+σ3)

(72)

Q2=(1-2μs)(σsc+σ2+σ3)

(73)

(74)

式中：Fsc與Dsc分別為巖石處于峰值強度時所對應(yīng)的巖石微元強度與損傷變量，分別由式(53)與(37)確定.

上述即為某特定圍壓下的巖石統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型參數(shù)m和F0的確定方法，但該方法包含σsc和εsc，它們隨圍壓變化而變化，這使得由此獲得的巖石本構(gòu)模型的應(yīng)用范圍受到了限制，為了使其能適用于任意圍壓下的巖石變形全過程模擬，就必須建立σsc和εsc分別與圍壓σ3的關(guān)系，為此，由文獻[17-18]研究成果可得

(75)

εsc=b+aσ3

(76)

式中：a與b均為常數(shù)，cf與φf為巖石峰值抗剪強度參數(shù).將式(75)～(76)代入式(58)～(59)即可獲得任意圍壓下巖石本構(gòu)模型參數(shù)的確定方法，從而拓寬了本文建立的巖石統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型的應(yīng)用范圍.

至此，已得到了能夠模擬不同圍壓下巖石變形全過程的的統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型，但其可行性與合理性仍須驗證.

3 實例分析與模型討論

3.1 實例分析

為了驗證本文巖石統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型的可行性與合理性，引入文獻[19]的試驗資料進行分析與研究.該巖石為砂巖，Yumlu等[19]通過常規(guī)三軸試驗獲得了其分別在圍壓σ3=0.0 MPa,3.0 MPa和8.0 MPa下的試驗曲線，如圖1所示，彈性模量和泊松比分別為28.0 GPa和0.25，但Yumlu等并未給出本文模型其它參數(shù)，故本文只能依據(jù)這些試驗資料采用適當(dāng)?shù)姆治龇椒ǐ@得其它參數(shù).

1)Es和μs的確定

通過分析文獻[19]給出的彈性模量及泊松比可知，彈性模量實際為應(yīng)力應(yīng)變曲線中的直線段斜率，由于初始空隙完全壓密后巖石進入線性變形階段，可將此階段的巖石近似為顆粒骨架，于是可得Es和μs分別為28.0 GPa和0.25.

2)強度指標(biāo)的確定

本文強度指標(biāo)包括屈服強度指標(biāo)(cy及φy)和峰值強度指標(biāo)(cf及φf).由于巖石經(jīng)歷線性變形階段后已不包含初始空隙，故由應(yīng)力應(yīng)變試驗曲線可得不同圍壓σ3下的屈服應(yīng)力與峰值應(yīng)力，利用莫爾庫侖準(zhǔn)則進行線性擬合即可得巖石強度指標(biāo).按此方法進行分析可得cy=8.30 MPa，φy=48°,cf=12.99 MPa，φf=55°.

3)初始空隙率n0的確定方法

在試驗曲線中的初始空隙壓密變形階段上任取一點，其必將滿足式(37)，此時巖石并未發(fā)生損傷即D=0，則由式(37)計算可得n0.當(dāng)然，在不同圍壓下試驗曲線初始空隙壓密變形階段上取不同的試驗點按此方法計算的初始空隙是有差別的，但差別很小.于是，通過反復(fù)分析與計算可確定巖石初始空隙率n0為0.098 7.

4)參數(shù)a與b的確定

從不同圍壓下的試驗曲線可獲得峰值時的應(yīng)變εsc，將其與圍壓σ3按式(76)進行線性擬合可確定a與b.通過分析可得a=5.8×10-4MPa-1，b=5.12×10-3，線性相關(guān)系數(shù)為0.99，這也驗證了式(76)的合理性.

(a)σ3=0.0 MPa

(b)σ3=3.0 MPa

(c)σ3=8.0 MPa 圖1 試驗與理論曲線比較

至此，已獲得本文統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型的計算參數(shù)，于是，利用本文模型可獲得不同圍壓下的巖石應(yīng)力應(yīng)變理論曲線，同時為了對比分析，給出了文獻[13]模型的理論曲線，如圖1所示.將本文與文獻[13]模型的理論曲線與試驗曲線進行對比分析可知，文獻[13]模型不僅能反映巖石應(yīng)變軟化特性，也能反映低應(yīng)力水平下巖石非線性變形特征，但與實測曲線仍存在著較大差異；本文模型考慮了巖石宏觀變形包含顆粒骨架的變形以及因空隙變化而引起的變形，反映了巖石應(yīng)變軟化特性以及巖石的非線性變形特性，與實測曲線吻合良好.

3.2 模型討論

由于大量微裂隙和微孔隙使巖石呈現(xiàn)非線性變形特征，故空隙變化對巖石變形力學(xué)性質(zhì)有著重要的影響.顯然，文獻[2-11]中的模型沒有考慮巖石在變形過程中因空隙變化而引起的體積變化，從而也無法反映巖石初始空隙壓密階段的非線性變形特征，文獻[12-14]中的模型雖然考慮了空隙變化對變形力學(xué)特性的影響，但其微觀機理認(rèn)為巖石宏觀變形即為巖塊變形，忽略了巖石因空隙變化而引起的變形，從而也只能在一定程度上反映了巖石的非線性變形特征，如圖1.

基于文獻[2-14]中的模型不足之處，本文將巖石視為空隙介質(zhì)體，在充分考慮空隙變化對巖石變形力學(xué)特性影響的基礎(chǔ)上建立了統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型，該模型能夠反映巖石因空隙變化而引起的非線性變形特征，較文獻[2-14]中的模型更具合理性，且由圖1還可看出，隨著圍壓逐漸增大，空隙巖石初始空隙壓密階段的非線性變形程度逐漸減弱，究其原因，隨著空隙巖石的逐漸壓密，空隙率對巖石變形力學(xué)性質(zhì)的影響程度開始降低，當(dāng)初始空隙壓密完成后，空隙巖石的變形特性將與顆粒骨架趨于一致，這正是文獻[2-11]中的模型模擬巖石變形全過程的初始點，也是文獻[2-11]模型無法反映初始空隙壓密非線性變形階段的原因.

4 結(jié) 論

本文根據(jù)巖石在變形過程中空隙(包括初始和次生空隙)會發(fā)生變化的特點，在深入研究空隙巖石的變形力學(xué)機理基礎(chǔ)上，采用宏觀與微觀分析相結(jié)合的方法，通過探討空隙巖石應(yīng)力與應(yīng)變分別在宏觀與微觀方面的關(guān)系，引入統(tǒng)計損傷理論，對巖石變形過程模擬方法進行了研究，由此得到如下結(jié)論：

1)基于空隙巖石的宏微觀分析，建立了應(yīng)力與應(yīng)變分別在宏觀與微觀方面的關(guān)系，表明巖石宏觀變形由顆粒骨架變形和因空隙變化而引起的變形兩部分組成，揭示了巖石變形力學(xué)機理，為巖石變形過程模擬奠定了基礎(chǔ)，也為其它巖石變形力學(xué)研究提供了有益的參考.

2)基于巖石應(yīng)力與應(yīng)變分別在宏觀與微觀方面的關(guān)系，引入統(tǒng)計損傷理論，建立了能夠反映巖石變形過程的統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型，并給出了模型參數(shù)的確定方法.

3)通過本文和相關(guān)模型的理論曲線與試驗曲線的對比分析，說明本文模型不僅能很好地反映巖石在低應(yīng)力水平下因空隙變化而引起的非線性變形特征，還能反映巖石的應(yīng)變軟化特性，表明了本文模型的可行性與優(yōu)越性.

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Voids Change and Statistical Damage Simulation Method of the Full Deformation Process for Rocks

CAO Wengui?，ZHANG Chao，HE Min，LIU Tao

(Geotechnical Engineering Institute，Hunan University，Changsha 410082，China)

1674-2974(2017)09-0100-07

10.16339/j.cnki.hdxbzkb.2017.09.012

2016-04-22

國家自然科學(xué)基金資助項目(51378198)，National Natural Science Foundation of China(51378198)；高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金資助項目(20130161110017),Programs Foundation of Ministry of Education of China(20130161110017)

曹文貴(1963—)，男，湖南南縣人，湖南大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師

?通訊聯(lián)系人， E-mail: cwglyp@21cn.com

TU452

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