基于響應(yīng)面法的三維H?B強(qiáng)度準(zhǔn)則可靠度的研究

朱喚珍，李夕兵，宮鳳強(qiáng)

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基于響應(yīng)面法的三維H?B強(qiáng)度準(zhǔn)則可靠度的研究

朱喚珍，李夕兵，宮鳳強(qiáng)

(中南大學(xué)，資源與安全工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙，410083)

針對(duì)采用一次二階矩法計(jì)算復(fù)雜、高度非線性功能函數(shù)的可靠指標(biāo)時(shí)，求解功能函數(shù)對(duì)隨機(jī)變量的偏導(dǎo)數(shù)極其困難，并且偏導(dǎo)數(shù)形式非常復(fù)雜等問(wèn)題，提出用響應(yīng)面函數(shù)代替原功能函數(shù)的方法，使其求導(dǎo)過(guò)程方便，并且使偏導(dǎo)數(shù)形式轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量的線性表達(dá)式，便于程序化求解。然后以計(jì)算三維Hoek?Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則的可靠度為例，確認(rèn)響應(yīng)面法在復(fù)雜、高度非線性功能函數(shù)可靠度計(jì)算中的可行性，并與變量代換法和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，說(shuō)明利用響應(yīng)面法計(jì)算的結(jié)果具有較高的精度。最后，用響應(yīng)面法分析強(qiáng)度準(zhǔn)則參數(shù)分布類型和巖體參數(shù)之間的相關(guān)性對(duì)三維Hoek-Brown準(zhǔn)則可靠度的影響規(guī)律。研究結(jié)果表明：該方法具有較高精度；強(qiáng)度準(zhǔn)則參數(shù)分布類型對(duì)可靠指標(biāo)的敏感性較弱；巖體參數(shù)的負(fù)相關(guān)系數(shù)與可靠指標(biāo)線性相關(guān)，對(duì)可靠指標(biāo)的影響不大。

Hoek?Brown準(zhǔn)則；響應(yīng)面法；高度非線性的功能函數(shù)；偏導(dǎo)數(shù)

在結(jié)構(gòu)可靠度分析和計(jì)算中，比較常用的有中心點(diǎn)法、驗(yàn)算點(diǎn)法、JC法和考慮隨機(jī)變量相關(guān)性的廣義隨機(jī)空間內(nèi)的可靠度分析方法。這些可靠度計(jì)算方法大都是建立在功能函數(shù)為簡(jiǎn)單、弱非線性解析表達(dá)式的基礎(chǔ)上[1]，但對(duì)于某些復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)如三維Hoek?Brown經(jīng)驗(yàn)強(qiáng)度準(zhǔn)則(簡(jiǎn)稱為H?B準(zhǔn)則)表示的極限狀態(tài)，其功能函數(shù)往往具有高度非線性或非常復(fù)雜的特征。目前功能函數(shù)對(duì)隨機(jī)變量偏導(dǎo)數(shù)的求解方法主要有變量代換法、復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法、有限差分法和有理多項(xiàng)式技術(shù)等[2]，但這些方法都是基于原功能函數(shù)直接求解，求解過(guò)程復(fù)雜，尤其是變量代換法和復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則很難能給出偏導(dǎo)數(shù)具體的表達(dá)形式。為此，本文提出利用響應(yīng)面法解決上述問(wèn)題。國(guó)內(nèi)很多學(xué)者基于響應(yīng)面法分析了邊坡的可靠 度[3?6]。LI等[3?4]提出了邊坡可靠度分析的隨機(jī)響應(yīng)面法，分析了具有相關(guān)非正態(tài)分布變量的邊坡可靠度問(wèn)題。傅方煜等[5]基于響應(yīng)面法和SORM理論(二階可靠度方法)，提出了邊坡可靠度分析的實(shí)用算法，即在U空間內(nèi)構(gòu)造響應(yīng)面函數(shù)，在空間內(nèi)計(jì)算試驗(yàn)點(diǎn)的函數(shù)值，在生成響應(yīng)面函數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行一階或二階可靠度分析。彭振斌等[6]將傳統(tǒng)響應(yīng)面分析方法與Bishop條分法相結(jié)合，提出了一種新的邊坡穩(wěn)定可靠性響應(yīng)面分析方法。近年來(lái)，響應(yīng)面法由于原理簡(jiǎn)單、方便易行、適用性強(qiáng)，在可靠度領(lǐng)域引起了眾多學(xué)者的興趣[7?8]。趙威等[9?10]將偏最小二乘法應(yīng)用于響應(yīng)面法的可靠度分析中，有效地解決了變量間多重相關(guān)性及小樣本條件下建立回歸模型的問(wèn)題。趙維濤等[11]基于切平面布點(diǎn)對(duì)響應(yīng)面法進(jìn)行了改進(jìn)。但以上研究方法主要針對(duì)隱式功能函數(shù)或功能函數(shù)不能明確表達(dá)的巖土工程或結(jié)構(gòu)的可靠度問(wèn)題。盡管Lü等[12?13]將響應(yīng)面法用于求解用顯示功能函數(shù)表達(dá)的地下圓形隧道的可靠度分析，然而，將響應(yīng)面法用于求解如三維H?B強(qiáng)度準(zhǔn)則表達(dá)的復(fù)雜、高度非線性功能函數(shù)的可靠指標(biāo)研究較少。為此，本文作者用響應(yīng)面法擬合的響應(yīng)面函數(shù)代替原復(fù)雜的功能函數(shù)，從而簡(jiǎn)化功能函數(shù)對(duì)隨機(jī)變量偏導(dǎo)數(shù)的求解過(guò)程，然后利用廣義隨機(jī)空間內(nèi)的JC法計(jì)算包含非正態(tài)相關(guān)隨機(jī)變量功能函數(shù)的可靠指標(biāo)，并用三維H?B強(qiáng)度準(zhǔn)則表達(dá)的功能函數(shù)驗(yàn)證響應(yīng)面法計(jì)算復(fù)雜、高度非線性功能函數(shù)可靠度問(wèn)題的可行性。在此基礎(chǔ)上，利用該方法分析強(qiáng)度準(zhǔn)則參數(shù)的分布類型和巖體參數(shù)的相關(guān)性對(duì)三維H?B強(qiáng)度準(zhǔn)則可靠度的影響。

1 響應(yīng)面法

響應(yīng)面法是一種統(tǒng)計(jì)學(xué)的綜合實(shí)驗(yàn)技術(shù)，專門用于處理復(fù)雜系統(tǒng)的輸入(基本變量)和輸出(系統(tǒng)響應(yīng))的轉(zhuǎn)換關(guān)系問(wèn)題[14]。該方法通過(guò)采用有限試驗(yàn)回歸擬合得到解析表達(dá)式即響應(yīng)面函數(shù)，再用常規(guī)可靠度分析方法求解高度非線性功能函數(shù)的可靠指標(biāo)和驗(yàn)算點(diǎn)。利用上述方法計(jì)算可靠度的原理如下。

設(shè)含有個(gè)隨機(jī)變量1，2，…，X的極限狀態(tài)方程為

響應(yīng)面函數(shù)的形式應(yīng)當(dāng)盡可能簡(jiǎn)單，并使待定系數(shù)盡量減少，以減小復(fù)雜結(jié)構(gòu)可靠度分析的工作量。目前常用的響應(yīng)面函數(shù)的形式為二次多項(xiàng)式，更高次的響應(yīng)面函數(shù)由于概念上和計(jì)算上的原因，通常不予采用；線性響應(yīng)面函數(shù)形式最簡(jiǎn)單，待定系數(shù)也最少，但在擬合非線性程度較高的功能函數(shù)時(shí)精度不高。不含交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式可以在驗(yàn)算點(diǎn)附近很好地?cái)M合復(fù)雜功能函數(shù)[15?17]，這保證了用響應(yīng)面函數(shù)求解可靠度計(jì)算中最為關(guān)心的可靠指標(biāo)和驗(yàn)算點(diǎn)的精度。本文選用響應(yīng)面函數(shù)的形式為

(2)

式中：，b和c為表達(dá)式的待定參數(shù)，為響應(yīng)面函數(shù)。從式(2)可知，確定響應(yīng)面函數(shù)的關(guān)鍵是確定，b和c，共2+1個(gè)系數(shù)。本文采用中心復(fù)合設(shè)計(jì)方法，得到2+1個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，即和，將響應(yīng)面函數(shù)待定系數(shù)的求解轉(zhuǎn)化為求解2+1個(gè)線性方程組解的問(wèn)題，即

其中：

；

。

顯然，在每一次迭代過(guò)程中，要求響應(yīng)面函數(shù)是唯一的，這就要求上述線性方程組的解是唯一的，為此，系數(shù)矩陣必須是非奇異矩陣。下面給出具體的證明過(guò)程。

||經(jīng)過(guò)等價(jià)變換可以化為如下形式：

這就證明了系數(shù)矩陣是可逆矩陣，由2+1個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)得到的2+1個(gè)線性方程構(gòu)建的線性方程組有唯一解，擬合得到的響應(yīng)面函數(shù)是唯一的。因此，本文采用矩陣求逆的方法計(jì)算響應(yīng)面函數(shù)的待定系數(shù)，即

響應(yīng)面函數(shù)對(duì)隨機(jī)變量的偏導(dǎo)數(shù)為

(5)

用響應(yīng)面函數(shù)代替原功能函數(shù)后，再根據(jù)廣義隨機(jī)空間內(nèi)JC法計(jì)算可靠指標(biāo)和驗(yàn)算點(diǎn)。

因此，Z的均值、均方差分別為

(7)

靈敏度系數(shù)為

可靠指標(biāo)為

(9)

由于非正態(tài)分布隨機(jī)變量的當(dāng)量正態(tài)化并不改變隨機(jī)變量的線性相關(guān)性，即在當(dāng)量正態(tài)化過(guò)程中保持不變，所以，對(duì)于非正態(tài)隨機(jī)變量可以通過(guò)當(dāng)量正態(tài)化轉(zhuǎn)化為等效的正態(tài)隨機(jī)變量，然后，將等效正態(tài)隨機(jī)變量的均值和均方差代入式(7)~(10)進(jìn)行計(jì)算。下面以三維H?B經(jīng)驗(yàn)強(qiáng)度準(zhǔn)則的可靠指標(biāo)計(jì)算為例，研究響應(yīng)面法在求解復(fù)雜、高度非線性的顯示功能函數(shù)中的應(yīng)用。

2 三維H?B強(qiáng)度準(zhǔn)則可靠度計(jì)算 方法

長(zhǎng)期以來(lái)，人們對(duì)巖體在外力作用下的破壞準(zhǔn)則進(jìn)行了大量研究，其中H?B強(qiáng)度準(zhǔn)則是目前最有影響應(yīng)用也最廣泛的強(qiáng)度準(zhǔn)則之一[18]。但是經(jīng)典的H?B強(qiáng)度準(zhǔn)則未考慮中間主應(yīng)力的影響，相關(guān)研究者對(duì)此進(jìn)行了深入研究，并先后提出了考慮中間主應(yīng)力影響的多種三維H?B強(qiáng)度準(zhǔn)則[19?20]。實(shí)際上，由于巖土自身具有錯(cuò)綜復(fù)雜的變異性質(zhì)，且?guī)r體本身存在內(nèi)部微裂隙，使得巖體強(qiáng)度參數(shù)表現(xiàn)出極大的隨機(jī)性和離散性。忽略巖體強(qiáng)度準(zhǔn)則參數(shù)的隨機(jī)性和離散性，會(huì)給計(jì)算結(jié)果帶來(lái)較大的誤差[21?22]，因此，對(duì)以H?B經(jīng)驗(yàn)強(qiáng)度準(zhǔn)則表達(dá)的功能函數(shù)進(jìn)行可靠度研究顯得極其重要，用響應(yīng)面法計(jì)算該準(zhǔn)則可靠度的具體步驟 如下。

采用三維H?B強(qiáng)度準(zhǔn)則表達(dá)的極限狀態(tài)方 程[23]為

(11)

由式(11)可見，該極限狀態(tài)方程是高度非線性的，而且非常復(fù)雜，用常規(guī)計(jì)算可靠指標(biāo)的方法不易求解，而且會(huì)帶來(lái)較大誤差。

令X(=1~6)分別為s和，采用表征三維H?B強(qiáng)度準(zhǔn)則極限狀態(tài)方程的響應(yīng)面函數(shù)的形式為不含交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式，即

式(12)使由式(11)表達(dá)的高度非線性和復(fù)雜的功能函數(shù)變得極其簡(jiǎn)單，功能函數(shù)對(duì)隨機(jī)變量偏導(dǎo)數(shù)的求解也十分方便，而且求解過(guò)程便于程序化進(jìn)行。

利用響應(yīng)面函數(shù)代替式(11)表示的功能函數(shù)，結(jié)合廣義隨機(jī)空間內(nèi)的JC法計(jì)算可靠指標(biāo)及其驗(yàn)算點(diǎn)，其中功能函數(shù)對(duì)隨機(jī)變量的偏導(dǎo)數(shù)用式(5)代替。求解三維H?B強(qiáng)度準(zhǔn)則的驗(yàn)算點(diǎn)和可靠指標(biāo)的具體步驟如下。

3) 將式(12)得到的13個(gè)樣本點(diǎn)代入式(3)，可得含有13個(gè)待定系數(shù)的線性方程組的表達(dá)式為

根據(jù)式(4)可計(jì)算得到響應(yīng)面函數(shù)的13個(gè)待定系數(shù)，然后將之回帶到式(12)即可得到響應(yīng)面函數(shù)的具體表達(dá)式。

4) 用廣義隨空間內(nèi)的JC法計(jì)算可靠指標(biāo)及其相應(yīng)的驗(yàn)算點(diǎn)*，其中功能函數(shù)對(duì)隨機(jī)變量的偏導(dǎo)數(shù)利用式(5)計(jì)算。

5) 計(jì)算*處的原功能函數(shù)值。

6) 利用下式插值計(jì)算新的：

7) 重復(fù)步驟2)~6)，直至前、后兩次||||相差小于為止(文中取=10?6)。

3 算例分析

對(duì)文獻(xiàn)[24?25]中三維H?B準(zhǔn)則可靠度算例進(jìn)行具體計(jì)算，已知某巖體參數(shù)均值和方差見表1，求解巖體可靠指標(biāo)。

表1 強(qiáng)度準(zhǔn)則參數(shù)及其統(tǒng)計(jì)特征

3.1 計(jì)算結(jié)果分析與比較

計(jì)算結(jié)果見表2，表2同時(shí)列出了文獻(xiàn)[24]和[25]分別利用變量代換法和復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則所得計(jì)算結(jié)果。在巖土工程的可靠度分析中，其可靠指標(biāo)都可以通過(guò)Monte Carlo模擬計(jì)算得到。理論上，試驗(yàn)次數(shù)越多，得到的計(jì)算結(jié)果越精確。試驗(yàn)次數(shù)取決于期望的失效概率及其變異系數(shù)，對(duì)于通常的實(shí)際工程結(jié)構(gòu)而言，f為10?3~10?5量級(jí)，若相對(duì)誤差小于20%的置信度為95%，則所需要的模擬次數(shù)=95 940~ 9 603 551即可[1]。為了保證計(jì)算結(jié)果的精確性，針對(duì)上述3種方法，以Monte Carlo模擬100萬(wàn)次的計(jì)算結(jié)果作為基本參考值進(jìn)行比較。

表2 本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[24?25]中計(jì)算結(jié)果的比較

注：1) δ為將計(jì)算得到的驗(yàn)算點(diǎn)代入式(11)得到的誤差； 2) δ為可靠指標(biāo)的誤差。

從表2可以看出：響應(yīng)面法所得計(jì)算結(jié)果為2.107，與Monte Carlo模擬方法計(jì)算的結(jié)果2.029相比僅相差0.078，而且將驗(yàn)算點(diǎn)帶入原功能函數(shù)的誤差也只有0.076；文獻(xiàn)[24]采用變量代換法計(jì)算的可靠指標(biāo)誤差最大，為0.524，且不能給出可靠度計(jì)算中驗(yàn)算點(diǎn)的值；文獻(xiàn)[25]利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，也能夠計(jì)算得到驗(yàn)算點(diǎn)，并且計(jì)算得到的可靠指標(biāo)為2.320，其精度較文獻(xiàn)[24]中方法所得結(jié)果提高了80.07%，誤差卻是本文方法所得結(jié)果的2.73倍。

比較分析上述計(jì)算結(jié)果，可知本文方法求解非線性功能函數(shù)可靠度的可行性，并且具有較高的精度。下面用本文方法分析準(zhǔn)則參數(shù)的分布類型和巖體參數(shù)的相關(guān)性對(duì)三維H?B強(qiáng)度準(zhǔn)則可靠指標(biāo)的影響規(guī)律。

3.2 參數(shù)分布類型對(duì)可靠指標(biāo)的敏感性分析

在三維H?B強(qiáng)度準(zhǔn)則的可靠度計(jì)算中，巖體參數(shù)和以及單軸抗壓強(qiáng)度的分布類型可通過(guò)大量試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析得到；主應(yīng)力，和可以通過(guò)隨機(jī)有限元或室內(nèi)試驗(yàn)得到。經(jīng)大量試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)分析單軸抗壓強(qiáng)度一般為非正態(tài)分布隨機(jī)變量[24?25]。本文用響應(yīng)面法探討H?B經(jīng)驗(yàn)強(qiáng)度準(zhǔn)則參數(shù)的分布類型對(duì)可靠指標(biāo)的影響規(guī)律，并分析當(dāng)主應(yīng)力，和以及巖體參數(shù)和都為相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量時(shí)，單軸抗壓強(qiáng)度的分布類型(分別為正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布和極值1型分布)對(duì)三維H?B強(qiáng)度準(zhǔn)則可靠指標(biāo)的敏感性，計(jì)算結(jié)果見表3。

從表3可以看出：強(qiáng)度準(zhǔn)則參數(shù)的不同分布類型對(duì)可靠度有一定影響；當(dāng)所有強(qiáng)度準(zhǔn)則參數(shù)都服從極值1型分布時(shí)，可靠指標(biāo)最小，為1.957，可靠指標(biāo)誤差為0.071；強(qiáng)度準(zhǔn)則參數(shù)都服從正態(tài)分布時(shí)，可靠指標(biāo)為2.106，誤差為0.077；均服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)，誤差為0.017，可靠指標(biāo)介于二者之間。

表3 強(qiáng)度準(zhǔn)則參數(shù)的分布類型對(duì)可靠指標(biāo)的影響

通過(guò)上述分析可知，本文方法計(jì)算得到的可靠指標(biāo)與Monte Carlo計(jì)算得到的可靠指標(biāo)非常接近，再次證明了用本文方法計(jì)算高度非線性功能函數(shù)可靠指標(biāo)的可行性。

3.3 參數(shù)相關(guān)性對(duì)可靠指標(biāo)的影響

巖體參數(shù)和是1對(duì)具有負(fù)相關(guān)性的隨機(jī)變量，忽略巖體參數(shù)的相關(guān)性可能會(huì)給計(jì)算結(jié)果帶來(lái)影 響[24]。因此，本文分析強(qiáng)度準(zhǔn)則參數(shù)服從不同概率分布時(shí)，巖體參數(shù)和的相關(guān)性對(duì)可靠指標(biāo)的影響，計(jì)算結(jié)果見表4和圖1。

分析表4和圖1可知：H?B經(jīng)驗(yàn)強(qiáng)度準(zhǔn)則參數(shù)的分布類型和巖體參數(shù)之間的相關(guān)性對(duì)可靠指標(biāo)有一定的影響；當(dāng)和的相關(guān)性為某一定值時(shí)，強(qiáng)度準(zhǔn)則的可靠指標(biāo)與和為相互獨(dú)立隨機(jī)變量的情況一致，即當(dāng)服從極值1型分布，其他參數(shù)均服從正態(tài)分布時(shí)，可靠指標(biāo)最大；當(dāng)所有參數(shù)均服從極值1型分布時(shí)，可靠指標(biāo)最??；當(dāng)和的相關(guān)性從相互獨(dú)立逐漸變化到完全負(fù)相關(guān)時(shí)，可靠指標(biāo)均逐漸增大，但增加幅值與參數(shù)的分布類型有關(guān)；當(dāng)為極值1型分布，其他均為正態(tài)分布時(shí)，可靠指標(biāo)從2.139逐漸增大到2.271，增加幅值最大，為0.132；當(dāng)所有參數(shù)均服從極值1型分布時(shí)，可靠指標(biāo)從1.956增大到2.014，增加幅值最小，為0.058；當(dāng)參數(shù)服從其他分布時(shí)，增加幅值介于二者之間。從圖1還可以看出：參數(shù)服從上述分布類型時(shí)，可靠指標(biāo)與負(fù)相關(guān)系數(shù)近似線性相關(guān)；當(dāng)參數(shù)均服從極值1型分布時(shí)，斜率最?。粎?shù)服從其他4種分布時(shí)，斜率大致相等。

表4 強(qiáng)度準(zhǔn)則參數(shù)相關(guān)性對(duì)可靠指標(biāo)的影響

1—均為正態(tài)分布；2—均為對(duì)數(shù)正態(tài)分布；3—均為極值1型分布；4—單軸抗壓強(qiáng)度為對(duì)數(shù)正態(tài)分布；5—單軸擾壓強(qiáng)度為極值1型分布。

4 結(jié)論

1) 用響應(yīng)面法的迭代格式得到在驗(yàn)算點(diǎn)能近似代替復(fù)雜的、高度非線性的功能函數(shù)的響應(yīng)面函數(shù)。該函數(shù)形式簡(jiǎn)單，對(duì)隨機(jī)變量的偏導(dǎo)數(shù)的求解也非常容易，便于程序化，在精度上也能滿足實(shí)際工程和理論研究的需求，是一種求解復(fù)雜、高度非線性功能函數(shù)可靠度問(wèn)題的行之有效的方法。

2) 本文方法不僅能計(jì)算出的可靠指標(biāo)和驗(yàn)算點(diǎn)，而且能夠得到較高的計(jì)算精度，說(shuō)明將響應(yīng)面法用于求解高度非線性功能函數(shù)可靠指標(biāo)和驗(yàn)算點(diǎn)的可 行性。

3) 用響應(yīng)面法分析準(zhǔn)則參數(shù)的分布類型以及巖體參數(shù)和的相關(guān)性對(duì)強(qiáng)度準(zhǔn)則可靠度的影響，得出準(zhǔn)則參數(shù)的分布類型對(duì)可靠指標(biāo)的敏感性較弱，和的相關(guān)性對(duì)可靠指標(biāo)的影響也較小。

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(編輯 陳燦華)

Reliability analysis of 3d H?B strength criterion based on the response surface method

ZHU Huanzhen, LI Xibing, GONG Fengqiang

(School of Resources and Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

Consideringthatit is very difficult for the FOSM to solve partial derivatives of performance function because random variables and the forms of partial derivatives are very complex in calculating the reliability index of complex, high order nonlinear performance function, the response surface method which used the response surface function to replace the original function was proposed. The solving process of function’s derivation was convenient and the form of the partial derivative was a linear expression of random variables. Based on the 3D Hoek Brown strength criterion for the limit state function, the response surface method was adopted to calculate the reliability index, which assured that this method was suitable for the complex and high-nonlinear performance function. Moreover, the variables replacing technique and the compound function method were employed as comparison. The results show that this method has higher accuracy, and the probability distribution of the basic random variables has less effect on the reliability index. The correlation of rock mass parameters and the relation between the reliability index and negative correlation coefficient of rock mass parameters is linear.

3D Hoek?Brown criterion; the response surface method; the high order nonlinear performance function; partial derivative

10.11817/j.issn.1672?7207.2017.02.029

TU 443

A

1672?7207(2017)02?0491?07

2016?02?22；

2016?04?24

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973計(jì)劃)項(xiàng)目(2010CB732004)；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(41272304, 11472311)(Project (2010CB732004) supported by the National Basic Research Development Program(973 Program) of China; Projects(41272304, 11472311) supported by the National Natural Science Foundation of China)

李夕兵，教授，博士生導(dǎo)師，從事巖石動(dòng)力學(xué)與采礦工程研究； Email：xbli@csu.edu.cn