魔方里的數(shù)學(xué)密碼

魔方于1974年由匈牙利人魯畢克發(fā)明。它能征服全世界，與匈牙利眾多偉大的數(shù)學(xué)家（例如馮·卡門(mén)、馮·諾伊曼以及5位獲得過(guò)沃爾夫獎(jiǎng)和阿貝爾獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)家）有很大關(guān)系——匈牙利的數(shù)學(xué)家們通過(guò)1978年的世界數(shù)學(xué)家大會(huì)，把魔方推廣到了全世界。那么，這個(gè)小小的立方體到底與數(shù)學(xué)有怎樣的關(guān)系呢？一起來(lái)看看吧！

魯畢克是布達(dá)佩斯工藝美術(shù)學(xué)院的教師，主要講授外形研究與畫(huà)法幾何學(xué)。為培養(yǎng)學(xué)生的三維想象力，他于1974年設(shè)計(jì)、制造了三階魔方，并將其稱為Magic Cube。Magic Square（即幻方）是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，所以Magic Cube早年被譯為幻立方體。1979年后，Magic Cube改為Rubiks Cube，成為現(xiàn)在數(shù)學(xué)中的專有名詞。

魔方起源—15子棋

追溯魔方的起源，不免要談到1880年時(shí)美國(guó)的15子棋。15子棋棋子和魔方小塊運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)原理是相同的。如圖①～③所示，通過(guò)滑動(dòng)周?chē)钠遄?，棋盤(pán)中的空格可以沿著圖示的線路轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)，這和魔方小塊的轉(zhuǎn)動(dòng)是一樣的。

延伸閱讀：重排九宮圖

15子棋的前身是重排九宮圖，重排九宮游戲棋最早出現(xiàn)在元代。在宋代，九宮圖被叫作縱橫圖（即幻方）。楊輝是南宋研究縱橫圖的著名數(shù)學(xué)家?！兑讉鳌は缔o》曰：“河出圖，洛出書(shū)，圣人則之?！甭鍟?shū)是中國(guó)5000年前的產(chǎn)物，是幻方的先祖。

“離家”和“回家”

魔方一路走來(lái)，能風(fēng)靡全球、經(jīng)久不衰，和其中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)密碼有密切關(guān)系。那么，魔方里到底有什么數(shù)學(xué)密碼呢？

我們先簡(jiǎn)單討論魔方的“離家”和“回家”問(wèn)題。當(dāng)你拿著一個(gè)處于原始狀態(tài)的魔方（即魔方處于復(fù)位狀態(tài)），我們說(shuō)魔方是在“家里”。如果你是個(gè)新手，扭轉(zhuǎn)魔方時(shí)，不要讓魔方“離家”太遠(yuǎn)，可以靠直覺(jué)使魔方“回家”。

首先，隨便選擇一面，轉(zhuǎn)動(dòng)魔方1步，轉(zhuǎn)角可以是90°或180°或270°。對(duì)于魔方“離家”1步遠(yuǎn)的情況，不難計(jì)算其狀態(tài)共有6×3=18個(gè)。換句話說(shuō)，即每個(gè)面分別轉(zhuǎn)動(dòng)90°或180°或270°，6個(gè)面共有18個(gè)狀態(tài)。為了敘述方便，我們分別用F、R、U、B、L、D表示魔方的前面、右面、上面、后面、左面和下面。

然后，讓魔方“離家”2步遠(yuǎn)，即先轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)面，再轉(zhuǎn)動(dòng)另外一個(gè)面。如果用符號(hào)表示就是：

F（R、U、B、L、D）；R（F、U、B、L、D）；U（F、R、B、L、D）；

B（F、R、U、L、D）；L（F、R、U、B、D）；D（F、R、U、B、L）。

上面的組合共有30組，每個(gè)字母有3個(gè)可選擇的轉(zhuǎn)角，共有30×3×3=270個(gè)狀態(tài)。需要強(qiáng)調(diào)的是，我們是在計(jì)算魔方的狀態(tài)數(shù)，這涉及魔方的幾何問(wèn)題。例如，組合FB和BF給出的魔方狀態(tài)是完全相同的。因?yàn)镕面和B面平行，轉(zhuǎn)動(dòng)的先后次序不影響魔方的狀態(tài)。因此，F(xiàn)B和BF，RL和LR，UD和DU分別相同，要去掉3個(gè)，剩下27個(gè)組合。那么，27×3×3=243，即魔方“離家”2步遠(yuǎn)，共有243個(gè)狀態(tài)。魔方“離家”2步遠(yuǎn)時(shí)，我們也可以輕松讓魔方“回家”。

按照以上組合操作和比較魔方狀態(tài)的方法，可以計(jì)算出：

魔方“離家”3步遠(yuǎn)，共有3，240個(gè)狀態(tài)；

魔方“離家”4步遠(yuǎn)，共有43，239個(gè)狀態(tài)；

魔方“離家”5步遠(yuǎn)，共有574，908個(gè)狀態(tài)。

如果隨意讓魔方離家5步遠(yuǎn)，而你僅僅用5步就能把它復(fù)位，那么你就是地地道道的天才。換句話說(shuō)，面對(duì)574，908個(gè)魔方狀態(tài)，僅憑直覺(jué)用5步將這些魔方復(fù)位，世界上還沒(méi)有人能夠做到。

如果把魔方離家的所有狀態(tài)求和，再加上一個(gè)在家的狀態(tài)，這個(gè)數(shù)就是43，252，003，274，489，856，000。

2010年，谷歌的一個(gè)團(tuán)隊(duì)計(jì)算出魔方離家21步遠(yuǎn)的狀態(tài)為0，也就是說(shuō)，魔方離家最遠(yuǎn)是20步。于是，他們宣布：對(duì)于任何一個(gè)被攪亂了的魔方，都可以在20步以內(nèi)將其復(fù)原。

目前，復(fù)位三階魔方最快者所用時(shí)間不到5秒，但是他們需要轉(zhuǎn)動(dòng)魔方50多次。2017年3月有報(bào)道稱，一位德國(guó)工程師設(shè)計(jì)的機(jī)器人，復(fù)位魔方只需0.637秒，僅需轉(zhuǎn)動(dòng)魔方21次。

魔方小塊的方位

魔方里用到的數(shù)學(xué)既簡(jiǎn)單又撩人。

三階魔方有8個(gè)角塊、12個(gè)邊塊和6個(gè)心塊，描述這些小塊的空間方位有很簡(jiǎn)單的方法。如圖④所示，用數(shù)組<111>描述角塊，用數(shù)組<110>描述邊塊，用數(shù)組<100>描述心塊。如果用負(fù)號(hào)（數(shù)字1上加橫線），讓這些數(shù)組中的三個(gè)數(shù)排列組合：<111>有8種情況，和魔方的角塊一一對(duì)應(yīng)；<110>有12種情況，和魔方的邊塊一一對(duì)應(yīng)；<100>有6種情況，和魔方的心塊一一對(duì)應(yīng)。用這種方法，還可以描述2階魔方、高階魔方和某些異型魔方。

12面魔方有12個(gè)心塊、20（=5×12÷3）個(gè)角塊、30（=5×12÷2）個(gè)邊塊。如果能計(jì)算出這些小塊的空間坐標(biāo)，就可以建立數(shù)學(xué)模型來(lái)描述這些小塊的運(yùn)動(dòng)。

我們可以借助三階魔方，計(jì)算出12面魔方各小塊的空間坐標(biāo)。如圖④所示，魔方12條棱邊中心的黑點(diǎn)，分布在6個(gè)面上，每面有2個(gè)。例如，藍(lán)色面的前后兩個(gè)黑點(diǎn)屬于該面，黃色面上下兩個(gè)黑點(diǎn)屬于該面，以此類推。圖④中魔方的邊長(zhǎng)由2個(gè)單位壓縮到1.618，每個(gè)面上的黑點(diǎn)之間的距離壓縮到1，如圖⑥所示。把這些黑點(diǎn)近鄰地連接起來(lái)，就構(gòu)成一個(gè)正20面體，同時(shí)，我們得到了12個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)。例如，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0.5，0，0.809）、（-0.5，0，0.809）、（0，0.809，0.5）。endprint

參照?qǐng)D⑥的坐標(biāo)系，可以把12個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)標(biāo)注在12面魔方的心塊中心，一一對(duì)應(yīng)。根據(jù)12面魔方心塊的坐標(biāo)，經(jīng)簡(jiǎn)單的幾何計(jì)算，可以求出20個(gè)角塊和30個(gè)邊塊的空間坐標(biāo)，然后就可以計(jì)算12面魔方轉(zhuǎn)動(dòng)后小塊坐標(biāo)的變化。參照魔方的“離家”和“回家”，12面魔方也可以按步找到和三階魔方的對(duì)接點(diǎn)。

5個(gè)公式復(fù)位法

魔方的復(fù)位方法很多，下面給大家介紹最簡(jiǎn)單的“5個(gè)公式復(fù)位法”。

首先，根據(jù)直覺(jué)能力，復(fù)位魔方的第一層—通過(guò)魔方“離家”和“回家”操作，可以輕松培養(yǎng)這種直覺(jué)能力。然后，根據(jù)“牛郎和織女的故事”復(fù)位魔方的第二層（可以參看《魔方和數(shù)學(xué)建模》視頻公開(kāi)課）。最后，根據(jù)5個(gè)公式，復(fù)位魔方的第三層。

本文給出操作序列的兩種表達(dá)形式：①6個(gè)字母表示魔方的6個(gè)面，帶“”表示逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°，否則為順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°，帶“2”表示轉(zhuǎn)動(dòng)180°；②此種表達(dá)基于笛卡兒坐標(biāo)系，坐落于正方向的面用右手操作，轉(zhuǎn)動(dòng)方向滿足右手規(guī)則，坐落于負(fù)方向的面用左手操作，轉(zhuǎn)動(dòng)方向滿足左手規(guī)則。

魔方里所包含的數(shù)學(xué)知識(shí)，如同浩瀚海洋的沙灘海岸，淺的地方誰(shuí)都可以來(lái)玩，包括幼兒園的小朋友，不需要什么裝備；深的地方更好玩，但需要一些數(shù)學(xué)上的技能。群論是研究魔方的主要數(shù)學(xué)理論，同樣，魔方也是學(xué)習(xí)群論的最好模型。近年來(lái)興起的幾何代數(shù)學(xué)，可以用來(lái)研究魔方問(wèn)題，同樣，通過(guò)玩魔方也可以學(xué)習(xí)幾何代數(shù)學(xué)。

知識(shí)鏈接 盲擰的秘密

三階魔方是變種魔方和高階魔方的基礎(chǔ)，三階魔方的復(fù)位是魔方的經(jīng)典內(nèi)容。那些能快速?gòu)?fù)位魔方的人，除了勤學(xué)苦練之外，他們都具有非凡的記憶力。手法相同的情況下，記憶的公式越多，復(fù)位的速度就越快。特別是那些盲擰的人，沒(méi)有非凡的記憶力是不可能將魔方復(fù)原的。

動(dòng)手之前，他們要長(zhǎng)時(shí)間觀察魔方，其目的是為了讓角塊和邊塊“對(duì)號(hào)入座”，編碼相關(guān)的操作序列。以角塊為例，來(lái)說(shuō)明蒙眼復(fù)位魔方的基本方法。若8個(gè)角塊分別為ABCDEFGH，原始狀態(tài)為A1B2C3D4E5F6G7H8占位，而現(xiàn)在的狀態(tài)是A2B1C4D3E8F6G7H5，對(duì)比原始狀態(tài)可知：A和B、C和D、E和H分別交換了位置。對(duì)于以上魔方，在操作之前要分別記住交換A和B、C和D、E和H所需要的操作公式，那么蒙眼后就可以把魔方復(fù)位。

作者簡(jiǎn)介

李世春，獲清華大學(xué)材料學(xué)博士學(xué)位，中國(guó)石油大學(xué)（華東）材料系退休教授，長(zhǎng)期從事魔方研究，先后出版了《魔方及其應(yīng)用》《魔方的科學(xué)和計(jì)算機(jī)表現(xiàn)》和《魔方里的科學(xué)和文化》等著作。endprint