基于波片的邦加球上任意偏振態(tài)的轉(zhuǎn)換方法

萬 婷,羅朝明,陳 敏,劉 靖

(湖南理工學(xué)院 信息與通信工程學(xué)院,湖南 岳陽 414006)

基于波片的邦加球上任意偏振態(tài)的轉(zhuǎn)換方法

萬 婷,羅朝明,陳 敏,劉 靖

(湖南理工學(xué)院 信息與通信工程學(xué)院,湖南 岳陽 414006)

為了實(shí)現(xiàn)邦加球上任意偏振態(tài)之間的轉(zhuǎn)換,在研究波片對偏振態(tài)影響規(guī)律的基礎(chǔ)上,提出了一種基于波片的邦加球上任意偏振態(tài)的轉(zhuǎn)換方法.通過瓊斯矩陣?yán)碚撗芯康玫搅瞬ㄆ诎罴忧蛏掀駪B(tài)的轉(zhuǎn)換規(guī)律,波片能實(shí)現(xiàn)邦加球同一緯度值不同半球任意兩點(diǎn)對應(yīng)偏振態(tài)的轉(zhuǎn)換,從而實(shí)現(xiàn)邦加球上經(jīng)度的調(diào)節(jié);波片不僅能夠?qū)崿F(xiàn)邦加球上任意一點(diǎn)到赤道對應(yīng)偏振態(tài),還能實(shí)現(xiàn)赤道到0°經(jīng)線上任意一點(diǎn)對應(yīng)偏振態(tài)的轉(zhuǎn)換,因而可實(shí)現(xiàn)緯度的調(diào)節(jié).基于上述規(guī)律,提出了利用兩個(gè)波片和兩個(gè)波片實(shí)現(xiàn)邦加球上任意兩點(diǎn)偏振態(tài)之間的轉(zhuǎn)換方法,并給出了具體的轉(zhuǎn)換思路,同時(shí)以邦加球上偏振態(tài)的轉(zhuǎn)換為例,仿真驗(yàn)證了這種方法的有效性.

偏振態(tài); 轉(zhuǎn)換方法; 瓊斯矩陣?yán)碚? 波片; 邦加球

Abstract: In order to implement the conversion between arbitrary polarization states on the Poincaré sphere,a conversion approach based on waveplates is proposed in view of the influence of waveplates on polarization state.The conversion laws of polarization states on the Poincaré sphere can be obtained with Jones matrix theory.It is shown that the half-wave plate can realize the conversion of arbitrary longitude on a certain fixed latitude of the two different hemispheres,thus the longitude of the Poincaré sphere can be adjusted.In addition,the quarter-wave plate can not only convert from any arbitrary point on the sphere to the equator,but convert from any point on the equator to the 0° longitude,therefore the latitude can also be adjusted.On the basis of the above laws,the conversion between arbitrary polarization states can be realized by using two half-wave plates and two quarter-wave plates.The detailed conversion procedure is given,and the conversion from the polarization stateconfirms the validity of the conversion approach.

Key words: polarization state,conversion approach,Jones matrix theory,waveplate,Poincaré sphere

0 引言

偏振作為光的一個(gè)重要性質(zhì),廣泛應(yīng)用于通信技術(shù)、激光技術(shù)、光電子技術(shù)、圖像技術(shù)等領(lǐng)域[1～4],因此對光的偏振態(tài)描述及其轉(zhuǎn)換進(jìn)行研究具有非常重要的意義.常用來描述偏振態(tài)的方法有: 橢圓方程法、瓊斯矩陣法、斯托克斯矢量表示法和邦加球表示法[1,2,5].其中邦加球表示法是一種最為直觀、形象的表示方法,它能將每一種可能的偏振態(tài)映射到一個(gè)單位球的表面來描述,為解決一些復(fù)雜的偏振問題提供了一種簡便的理論分析思路.邦加球理論由Poincaré于1892年提出,隨后其相關(guān)理論得到不斷發(fā)展并被廣泛應(yīng)用于不同領(lǐng)域.早期人們利用邦加球理論來分析偏振光通過偏振器件、雙折射材料以及光學(xué)系統(tǒng)后的出射光偏振態(tài)的變化情況[6,7],并將得到的結(jié)果應(yīng)用于液晶顯示參數(shù)優(yōu)化中,進(jìn)而提升液晶顯示器的可視化效果[8～10].對于光纖中存在的偏振模色散問題,使用邦加球不僅可以簡單直觀地描述光纖中偏振態(tài)的變化過程,而且還能根據(jù)光纖中偏振態(tài)的演變情況來補(bǔ)償偏振模色散[11～14]; 借助邦加球還可以描述偏振態(tài)經(jīng)過系統(tǒng)的傳輸演變情況,達(dá)到設(shè)計(jì)和優(yōu)化相關(guān)光網(wǎng)絡(luò)器件的目的[15～17].隨著研究的深入,邦加球相關(guān)理論的應(yīng)用逐步從光學(xué)領(lǐng)域擴(kuò)展到生物醫(yī)學(xué)、圖像技術(shù)等領(lǐng)域.Acdonald C等利用光學(xué)追蹤標(biāo)記后向散射光經(jīng)過生物組織的偏振態(tài)在邦加球上的變化情況,并將該方法用于癌組織細(xì)胞以及混濁組織樣本的檢測[18～19]; 在圖像技術(shù)領(lǐng)域,Anna G和Vannier N等通過調(diào)節(jié)邦加球上偏振態(tài)分布增強(qiáng)了圖像的對比度[20～22].與此同時(shí)邦加球理論也在不斷加深,Holleczek 等人借鑒邦加球理論提出了高階邦加球來描述矢量光束[23～26].

盡管人們對邦加球理論及其相關(guān)應(yīng)用進(jìn)行了較廣泛的研究,但大多集中在利用邦加球來描述光束通過波片或某一系統(tǒng)后的偏振態(tài)變化情況[6～19,25],而對如何實(shí)現(xiàn)邦加球上任意偏振態(tài)之間的轉(zhuǎn)換方面的研究還不夠深入,因此找到一種實(shí)現(xiàn)邦加球上任意偏振態(tài)之間的轉(zhuǎn)換方法具有較為重要的意義.本文通過瓊斯矩陣?yán)碚撏茖?dǎo)了波片在邦加球上任意偏振態(tài)之間的轉(zhuǎn)換規(guī)律,并以此為基礎(chǔ)提出一種利用波片來實(shí)現(xiàn)邦加球上任意偏振態(tài)之間的轉(zhuǎn)換方法,同時(shí)通過具體實(shí)例仿真驗(yàn)證了這種方法的有效性.

1 偏振態(tài)在邦加球上的表示

先簡要介紹一下不同偏振態(tài)在邦加球上的表示方法,以便于探索偏振態(tài)在邦加球上的轉(zhuǎn)換規(guī)律.邦加球是一個(gè)用來描述均勻偏振光偏振態(tài)的單位球,球上任意一點(diǎn)偏振態(tài)ζ可用一組歸一化的斯托克斯參數(shù)組成的坐標(biāo)(S1,S2,S3)來表示,也可用球坐標(biāo)(θ,φ)來表示,具體如圖1所示.這里的斯托克斯參數(shù)定義為[26,27]

其中L和R分別表示左旋圓偏振態(tài)和右旋圓偏振態(tài),對應(yīng)邦加球上的北極和南極,其數(shù)學(xué)表達(dá)式分別為[27]

其中θ對應(yīng)緯度相關(guān)參量,對應(yīng)經(jīng)度相關(guān)參量.

圖1 邦加球及其偏振態(tài)表示

2 波片在邦加球上偏振態(tài)的轉(zhuǎn)換規(guī)律

為了研究基于波片的邦加球上任意偏振態(tài)之間的轉(zhuǎn)換,有必要分析波片在邦加球上偏振態(tài)轉(zhuǎn)換中的作用規(guī)律.將邦加球上任意一點(diǎn)偏振態(tài)ζ(θ,φ)對應(yīng)的表達(dá)式(4)寫成瓊斯矢量形式,可得入射光的瓊斯矢量為

根據(jù)式(10)和(11),可以得到出射光對應(yīng)的瓊斯矢量為[2]

2.1 偏振態(tài)經(jīng)過波片在邦加球上的轉(zhuǎn)換規(guī)律

圖2 邦加球上偏振態(tài)經(jīng)過半波片轉(zhuǎn)換規(guī)律示意圖

比較式(10)和(13)可知,將入射光偏振態(tài)瓊斯矢量中緯度相關(guān)參量θ變?yōu)?、?jīng)度相關(guān)參量變?yōu)?ψ+4φ就可以得到出射光偏振態(tài)的瓊斯矢量,因此該轉(zhuǎn)換過程將入射光偏振態(tài)ζ(θ,φ)轉(zhuǎn)化為了出射光偏振態(tài)ζ(π-θ,-φ+4ψ).進(jìn)一步可得,波片可實(shí)現(xiàn)邦加球上同一緯度值不同半球任意兩點(diǎn)偏振態(tài)之間的轉(zhuǎn)換,這一轉(zhuǎn)換規(guī)律可用圖2來形象描述.如圖1中位于不同半球具有相同緯度值的到的轉(zhuǎn)換,只需使其方位角滿足關(guān)系式,即設(shè)置波片方位角為.同理,波片還能夠?qū)崿F(xiàn)赤道上任意兩點(diǎn)對應(yīng)線偏振態(tài)以及南北兩極對應(yīng)圓偏振態(tài)之間的轉(zhuǎn)換.

2.2 偏振態(tài)經(jīng)過波片在邦加球上的轉(zhuǎn)換規(guī)律

假定入射光偏振態(tài)仍為邦加球上任意一點(diǎn)對應(yīng)的偏振態(tài)ζ(θ,φ),同時(shí)設(shè)置波片的方位角為,由式(12)很容易得到出射光瓊斯矢量為

圖3 邦加球上橢圓(或圓)偏振態(tài)轉(zhuǎn)換為線偏振態(tài)的轉(zhuǎn)換規(guī)律示意圖

(2)線偏振態(tài)經(jīng)過方位角ψ=0的波片的轉(zhuǎn)換規(guī)律

通過式(12)與式(15)可以得到出射光偏振態(tài)的瓊斯矢量為

將式(15)與式(16)進(jìn)行比較,類似于前面分析可以得出: 經(jīng)過方位角ψ=0的波片后,赤道上入射線偏振態(tài)轉(zhuǎn)換成了出射偏振態(tài),該轉(zhuǎn)換規(guī)律如圖4所示.緯度相關(guān)參量由變?yōu)榱?經(jīng)度相關(guān)參量由變?yōu)榱?,由此可知使用方位角ψ=0的波片可以實(shí)現(xiàn)邦加球上赤道對應(yīng)線偏

振態(tài)到0°經(jīng)線上對應(yīng)的偏振態(tài)的轉(zhuǎn)換,且借助于經(jīng)度相關(guān)參量可實(shí)現(xiàn)對緯度的調(diào)節(jié).如圖1中赤道上到0°經(jīng)線上的轉(zhuǎn)換,只需設(shè)置波片的方位角ψ=0.

圖4 邦加球上線偏振態(tài)轉(zhuǎn)換為橢圓(或圓)偏振態(tài)的轉(zhuǎn)換規(guī)律示意圖

3 邦加球上任意兩點(diǎn)偏振態(tài)的轉(zhuǎn)換

圖5 邦加球上任意兩點(diǎn)偏振態(tài)的轉(zhuǎn)換示意圖

現(xiàn)在進(jìn)一步確定這四個(gè)波片的方位角的設(shè)置以及經(jīng)過波片后對應(yīng)的偏振態(tài).設(shè)第一個(gè)、第二個(gè)波片的方位角分別為ψH1和ψH2,第一個(gè)、第二個(gè)波片的方位角分別為ψQ1和ψQ2.第一個(gè)波片的作用是實(shí)現(xiàn)球上的H點(diǎn)到赤道上I點(diǎn)的轉(zhuǎn)換,根據(jù)圖3所示的轉(zhuǎn)換規(guī)律只需將該波片的方位角設(shè)置為即可,得出I點(diǎn)對應(yīng)的偏振態(tài)為;根據(jù)圖2所示的規(guī)律,不同半球同一緯度值的0°經(jīng)線上的M點(diǎn)和N點(diǎn)的轉(zhuǎn)換,可借助方位角為的第二個(gè)波片實(shí)現(xiàn),且可求出M點(diǎn)對應(yīng)的偏振態(tài)為ζM(π-θ2,0); 第二個(gè)波片的作用是實(shí)現(xiàn)赤道上J點(diǎn)到0°經(jīng)線上M點(diǎn)的轉(zhuǎn)換,根據(jù)圖4所示的轉(zhuǎn)換規(guī)律將該波片的方位角設(shè)置為ψQ2=0,同時(shí)也可求得赤道上J點(diǎn)對應(yīng)的偏振態(tài)為; 關(guān)于赤道I點(diǎn)到J點(diǎn)的轉(zhuǎn)換,同樣可借助波片實(shí)現(xiàn),只需設(shè)置第一個(gè)波片的方位角為即可.

最后以圖1中邦加球上A點(diǎn)到E點(diǎn)的轉(zhuǎn)換為例來論證這種方法的有效性.由于A點(diǎn)與E點(diǎn)所對應(yīng)的偏振態(tài)分別為,可得出.轉(zhuǎn)換步驟為: 第一步,將具有A點(diǎn)偏振態(tài)的光束經(jīng)過波片轉(zhuǎn)換到赤道上,該點(diǎn)對應(yīng)的偏振態(tài)為,即對應(yīng)圖1中的B點(diǎn); 第二步,利用波片對赤道上的經(jīng)度進(jìn)行合適的調(diào)節(jié),只需取波片的方位角即可實(shí)現(xiàn)該轉(zhuǎn)換,轉(zhuǎn)換得到的點(diǎn)對應(yīng)的偏振態(tài)為,即對應(yīng)為圖1中的C點(diǎn); 第三步,使用方位角ψQ2=0的波片轉(zhuǎn)換到與E點(diǎn)緯度值相同但位于不同半球的0°經(jīng)線上的點(diǎn),對應(yīng)的偏振態(tài)為,即對應(yīng)圖1中的D點(diǎn); 最后,利用方位角波片實(shí)現(xiàn)到E點(diǎn)所對應(yīng)的偏振態(tài)的轉(zhuǎn)換.

很明顯,該例子有效地驗(yàn)證了這種基于波片的邦加球上轉(zhuǎn)換方法的可行性.

4 總結(jié)

本文提出了一種基于波片的邦加球上任意兩點(diǎn)偏振態(tài)之間的轉(zhuǎn)換方法.首先,分析總結(jié)了波片和波片在邦加球上的作用規(guī)律,波片能夠使球上任意一點(diǎn)偏振態(tài)ζ(θ,φ)轉(zhuǎn)化為另一半球相同緯度值上對應(yīng)的偏振態(tài)ζ(π-θ,-ψ+4φ),從而實(shí)現(xiàn)緯度值相同但位于不同半球兩點(diǎn)的任意變換;波片不僅能使球上任意一點(diǎn)偏振態(tài)ζ(θ,φ)轉(zhuǎn)換為赤道上的線偏振態(tài),而且還能使赤道上對應(yīng)的線偏振態(tài)轉(zhuǎn)換為0°經(jīng)線上對應(yīng)偏振態(tài),從而能夠?qū)崿F(xiàn)緯度的調(diào)節(jié).其次,基于波片和波片在邦加球上的作用規(guī)律,提出使用兩個(gè)波片和兩個(gè)波片實(shí)現(xiàn)邦加球上任意兩點(diǎn)偏振態(tài)之間的轉(zhuǎn)換方法.具體轉(zhuǎn)換步驟為: 首先設(shè)置第一個(gè)波片的方位角為,將入射偏振態(tài)轉(zhuǎn)換到赤道上對應(yīng)的線偏振態(tài),然后設(shè)置第一個(gè)波片的方位角為調(diào)節(jié)到赤道上合適的線偏振態(tài),這個(gè)合適的線偏振態(tài)滿足使用第二個(gè)方位角為0的波片可以轉(zhuǎn)換到與終點(diǎn)偏振態(tài)緯度值相同的不同半球的0°經(jīng)線上的偏振態(tài),最后設(shè)置第二個(gè)波片方位角為來實(shí)現(xiàn)到出射偏振態(tài)的轉(zhuǎn)換,并通過具體實(shí)例仿真驗(yàn)證了這種方法的有效性.本文的研究結(jié)果將有助于分析與設(shè)計(jì)偏振轉(zhuǎn)換器件和系統(tǒng),從而擴(kuò)展邦加球在偏振分析方面的應(yīng)用范圍.

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Conversion Between Arbitrary Polarization States on Poincaré Sphere based on Waveplates

WAN Ting,LUO Zhaoming,CHEN Min,LIU Jing
(College of Information and Communication Engineering,Hunan Institute of Science and Technology,Yueyang 414006,China)

O436.3

A

1672-5298(2017)03-0020-07

2017-06-08

湖南省教育廳科學(xué)研究優(yōu)秀青年項(xiàng)目(17B114); 湖南省自然科學(xué)基金(2017JJ3098); 湖南省科技計(jì)劃項(xiàng)目(2016TP1021)

萬 婷(1993? ),女,湖南湘潭人,湖南理工學(xué)院信息與通信工程學(xué)院碩士研究生.主要研究方向: 光通信與信息器件

羅朝明(1978? ),男,湖南永州人,博士,湖南理工學(xué)院信息與通信工程學(xué)院副教授.主要研究方向: 微結(jié)構(gòu)光子學(xué)及其器件