分?jǐn)?shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的修正函數(shù)投影同步

耿彥峰，王立志，何瑞強(qiáng)

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分?jǐn)?shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的修正函數(shù)投影同步

耿彥峰，王立志，何瑞強(qiáng)

（忻州師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西忻州034000）

對分?jǐn)?shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的混沌特性進(jìn)行了分析。當(dāng)分?jǐn)?shù)階取某一定值時，系統(tǒng)表現(xiàn)出混沌性態(tài)。通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)捻憫?yīng)系統(tǒng)，設(shè)計了一種自適應(yīng)修正函數(shù)投影同步的控制方案。選取合適的控制器以及自適應(yīng)控制率，利用分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論，證明了分?jǐn)?shù)階誤差系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定，進(jìn)而得出驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)最終實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)修正函數(shù)投影同步，且可以對驅(qū)動系統(tǒng)的不確定參數(shù)進(jìn)行估計。最后，利用Adams-Bashforth-Moultom算法，對文中的結(jié)論進(jìn)行數(shù)值仿真，其結(jié)果說明了該方法的有效性和可行性。

分?jǐn)?shù)階；統(tǒng)一混沌系統(tǒng)；修正函數(shù)；投影同步；數(shù)值仿真

隨著混沌控制同步研究的深入，多種混沌同步的概念被相繼提出[1-3]。最近，又有學(xué)者提出了一種新的同步-修正函數(shù)投影同步[4]，即驅(qū)動系統(tǒng)按照期望的函數(shù)尺度因子矩陣同步到響應(yīng)系統(tǒng)。它在工程領(lǐng)域和保密通信中有著非常誘人的應(yīng)用前景，引起了中外學(xué)者的廣泛關(guān)注[5-7]。

與此同時，大量的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)如分?jǐn)?shù)階Chua電路、分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)等不斷被證明存在。隨之，分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的控制與同步就成為混沌學(xué)新的研究課題，并取得了很多研究成果[8-10]。2002年，由呂金虎等[11]提出了統(tǒng)一混沌系統(tǒng)。由于統(tǒng)一混沌系統(tǒng)具有更廣泛的意義和研究價值，故很多學(xué)者對其進(jìn)行研究，并取得了一些研究成果[12]。但是，對于分?jǐn)?shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的修正函數(shù)投影同步的研究成果卻并不多見。

為此，本文對于分?jǐn)?shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)修正函數(shù)投影同步問題進(jìn)行研究?；诜?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論及混沌控制同步的相關(guān)機(jī)理，通過構(gòu)造響應(yīng)系統(tǒng)和設(shè)計合理的控制器，并選取合適的控制率；最終，實(shí)現(xiàn)了自適應(yīng)修正函數(shù)投影同步的控制目的，并可對驅(qū)動系統(tǒng)的不確定參數(shù)進(jìn)行估計。最后，文章給出具體實(shí)例的數(shù)值仿真，驗(yàn)證了所設(shè)計的控制方案的正確性和有效性。

1 準(zhǔn)備知識

文獻(xiàn)[13]在研究分?jǐn)?shù)階微積分時，對微分和積分的概念提出了幾種定義。由于Caputo定義的初始條件有明確的物理意義，所以本文采用的是Caputo定義[13]。

定義1[4]對于混沌系統(tǒng)和，若存在函數(shù)對角矩陣使得：

引理1[10]對于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)≤，如果存在正定陣使函數(shù)≤0恒成立，則系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的。

考慮具有如下形式的統(tǒng)一混沌系統(tǒng)：

系統(tǒng)(2)相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)為：

2 主要結(jié)果

系統(tǒng)(3)用矩陣的形式可表示為：

即可寫為如下形式的混沌系統(tǒng)：

(5)

將系統(tǒng)(5)作為驅(qū)動系統(tǒng)，構(gòu)造具有如下形式的響應(yīng)系統(tǒng)：

(7)

則誤差系統(tǒng)為：

(8)

設(shè)計自適應(yīng)控制器為：

定理1 對于驅(qū)動系統(tǒng)(5)和響應(yīng)系統(tǒng)(6)，若采用控制器(9)及自適應(yīng)律(10)；并選取，使得為負(fù)定陣，則分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(5)和(6)可按誤差式(1)實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)修正函數(shù)投影同步。

證明 由定理構(gòu)造函數(shù)為：

將式(8)、(9)、(10)依次代入式(11)，可得：

由引理1可知，誤差系統(tǒng)式(8)是漸近穩(wěn)定的，即在控制器(9)和自適應(yīng)律(10)的作用下，驅(qū)動系統(tǒng)(5)和響應(yīng)系統(tǒng)(6)可實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)修正函數(shù)投影同步。證畢。

3 實(shí)例仿真

為了驗(yàn)證上述控制同步方法的正確性和有效性，在下面實(shí)例仿真中，采用了Adams-Bashforth-Moultom算法，進(jìn)行數(shù)值仿真。

(13)

自適應(yīng)控制率取為：

圖2 ()-曲線

圖3 e2(t)-t曲線

圖4 e3(t)-t曲線

圖5 (t)-t曲線

4 結(jié)束語

本文對于具有不確定單參數(shù)的分?jǐn)?shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)，通過構(gòu)造響應(yīng)系統(tǒng)，并對系統(tǒng)的未知參數(shù)引入自適應(yīng)控制率，最終實(shí)現(xiàn)了混沌控制同步。所設(shè)計方法簡單易行，控制方案論證較為嚴(yán)密，且能通過自適應(yīng)律自動調(diào)整以跟隨系統(tǒng)參數(shù)的變化，因而具有較強(qiáng)的魯棒性。由于修正函數(shù)投影同步是一種更廣義的同步，有著更廣泛的應(yīng)用。因此，本文的研究結(jié)果在工程領(lǐng)域中，尤其是保密通信中提供了理論依據(jù)。

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Modified Function Projective Synchronization of the Fractional-order United Chaotic System

GENG Yan-feng, WANG Li-zhi, HE Rui-qiang

（Department of Mathematics, Xinzhou Teachers University, Xinzhou 034000 China）

For the fractional-order united chaotic system, the chaos behavior is displayed when the fractional-order is used as certain fixed values in this paper. A controlling scheme of adaptive modified function projective synchronization about the united chaotic system is designed by structuring a suitable response system. By means of stability theory of the fractional-order differential systems, it is proved that the zero solution of the error system is asymptotically stable by choosing appropriate controller and adaptive law. Accordingly, it is concluded that master system and response system arrive at adaptive modified function projective synchronization, and the uncertain parameters of master system could be estimated. Finally, an illustrative example with simulations via Adams-Bashforth-Moultom algorithm is used to demonstrate the validity and feasibility of the proposed results.

fractional-order; Chen chaotic system; modified function; projective synchronization;numerical simulation

10.15916/j.issn1674-3261.2017.03.016

O193

A

1674-3261(2017)03-0202-05

2016-12-14

耿彥峰（1979-），男，山西大同人，講師，碩士。