小學(xué)數(shù)學(xué)建模：概念解讀、現(xiàn)狀分析與未來展望
——基于課題研究與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的分析與思考

陳 燕

（閩江師范高等?？茖W(xué)校，福建 福州 350117）

小學(xué)數(shù)學(xué)建模：概念解讀、現(xiàn)狀分析與未來展望
——基于課題研究與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的分析與思考

陳 燕

（閩江師范高等?？茖W(xué)校，福建 福州 350117）

人類社會(huì)正全面步入定量化、數(shù)量化和數(shù)字化的時(shí)代，未來將屬于數(shù)學(xué)建模的時(shí)代。當(dāng)下小學(xué)數(shù)學(xué)建模存在流于應(yīng)試的數(shù)學(xué)教育模式，對數(shù)學(xué)建模存在理解誤區(qū)，并未引起社會(huì)的廣泛重視與參與。為此，未來小學(xué)數(shù)學(xué)建模要朝如下幾個(gè)方向努力：讀懂、讀透新課標(biāo)與教材，注重培養(yǎng)數(shù)學(xué)模型意識(shí)和數(shù)學(xué)建模能力；以課堂教學(xué)為主線，課堂教學(xué)活動(dòng)始終不離數(shù)學(xué)建模；大膽拓展，積極推進(jìn)課外數(shù)學(xué)建模系列活動(dòng)；改進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)評(píng)價(jià)體系，促進(jìn)數(shù)學(xué)建?？茖W(xué)化。

數(shù)學(xué)建模；模型思想；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

今天的數(shù)學(xué)憑借現(xiàn)代化電子信息技術(shù)手段，使得各種自然與社會(huì)現(xiàn)象得以更加精準(zhǔn)地模擬和詮釋。數(shù)學(xué)建模更是讓數(shù)學(xué)從工具學(xué)科迅速蛻變成為核心技術(shù)，并以空前的廣度、深度和速度，向自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域滲透。人類社會(huì)正全面步入定量化、數(shù)量化和數(shù)字化的時(shí)代，從這個(gè)意義上說，未來將是屬于數(shù)學(xué)建模的時(shí)代。

一、數(shù)學(xué)建模及其相關(guān)概念解讀

數(shù)學(xué)建模（又稱數(shù)學(xué)模型方法），就是指把要解決的實(shí)際問題，先進(jìn)行必要的抽象、簡化以及恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)，再通過刻劃各變量、常量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（即數(shù)學(xué)模型），然后利用各種算法求解這個(gè)數(shù)學(xué)模型，并將求解結(jié)果返回到實(shí)際問題中去檢驗(yàn)，最后使得實(shí)際問題得到解決或解釋，乃至進(jìn)一步拓展與推廣的過程。以上是較為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)建模過程，簡單的說，數(shù)學(xué)建模就是通過“建立數(shù)學(xué)模型”——“求解數(shù)學(xué)模型”——“應(yīng)用數(shù)學(xué)模型”的過程來解決問題的一種方法、手段和途徑。這里所說的“數(shù)學(xué)建?！辈坏韧凇敖?shù)學(xué)模型”，“建立數(shù)學(xué)模型”是數(shù)學(xué)建模中最為關(guān)鍵、最為困難的一個(gè)環(huán)節(jié)，它是把紛繁復(fù)雜的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為合理數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。比如歐拉把七橋問題抽象、簡化成能否一筆畫的問題的過程就是“建立數(shù)學(xué)模型”的過程。通過數(shù)學(xué)建?？梢耘囵B(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力，主要包括：閱讀理解、數(shù)學(xué)化、邏輯推理、計(jì)算、寫作、語言表達(dá)和團(tuán)隊(duì)協(xié)作以及自我監(jiān)控的能力等。

何謂模型思想？模型思想就是指通過數(shù)學(xué)建模當(dāng)然也應(yīng)包括直接應(yīng)用數(shù)學(xué)模型來解決問題的一種思維方式。模型思想作為《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》唯一的一個(gè)在十大核心概念中提出的數(shù)學(xué)思想，足以看出模型思想的一般性與重要性。史寧中教授在《數(shù)學(xué)思想概論》一書中從數(shù)學(xué)產(chǎn)生、數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展、數(shù)學(xué)外部關(guān)聯(lián)這三個(gè)維度概括出對數(shù)學(xué)發(fā)展影響最大的思想有：抽象、推理、模型這三個(gè)。數(shù)學(xué)建模與這三大基礎(chǔ)思想之間的關(guān)系如下圖所示：

二、小學(xué)數(shù)學(xué)建模的現(xiàn)狀分析與解讀

數(shù)學(xué)建模發(fā)端于1978年前后的英國，現(xiàn)在已經(jīng)發(fā)展為世界大學(xué)數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽。我國每年一屆的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽參賽規(guī)模，也以年平均25%以上的速度增長。盡管世界各國越來越意識(shí)到數(shù)學(xué)建模的重要性，目前我國乃至世界范圍內(nèi)的小學(xué)階段進(jìn)行數(shù)學(xué)建模專項(xiàng)研究的還是少之又少。

基于筆者主持在研的省級(jí)課題“高職師范專業(yè)數(shù)學(xué)建模階梯式內(nèi)容體系研究”的需要,主要面向福建省的省、市、區(qū)、縣、鄉(xiāng)鎮(zhèn)小學(xué)發(fā)放的1269份有關(guān)小學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)建?，F(xiàn)狀的調(diào)研結(jié)果顯示:有62.73%的教師走上崗位之前沒有上過數(shù)學(xué)建模課程，而只有8.35%的教師參加過大學(xué)生數(shù)學(xué)建模比賽。59.18%的教師聽過數(shù)學(xué)建模或模型思想的講座。摘錄其中第11題、12題，分別就答題情況分析如下：

第11題：您對以下哪些概念比較了解？［多選題］

第12題：您清楚上一題中這些概念之間的區(qū)別和聯(lián)系嗎？［單選題］

調(diào)查數(shù)據(jù)還表明：73.92%的教師時(shí)常有意識(shí)地從學(xué)生的實(shí)際情況去設(shè)計(jì)教學(xué)；77.15%的教師教學(xué)中會(huì)注重挖掘數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系；而55.08%的教師會(huì)因?yàn)檎n時(shí)緊，壓縮講解新知識(shí)的時(shí)間，也就是減少過程，直接告訴學(xué)生概念、原理、公式，然后通過較多的練習(xí)來訓(xùn)練學(xué)生掌握解題技能。有65.25%的教師在實(shí)際教學(xué)中往往因?yàn)檎n時(shí)緊無法兼顧結(jié)果與過程；只有42.24%的教師在教學(xué)中有意識(shí)引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法。

綜合各方面的調(diào)查研究，當(dāng)下我國小學(xué)數(shù)學(xué)建模的現(xiàn)狀主要有：

（一）流于應(yīng)試的數(shù)學(xué)教育模式，培養(yǎng)出來的學(xué)生依然高分低能

從調(diào)研分析可以看出，我省基礎(chǔ)教育課程改革取得不小的成效，但是我們同時(shí)也看到，受應(yīng)試教育的影響，當(dāng)前我省小學(xué)數(shù)學(xué)教育仍然存在片面追求高分的急功近利現(xiàn)象。課時(shí)緊、難以兼顧過程與結(jié)果，重記憶輕理解、重知識(shí)輕方法、重理論輕應(yīng)用的教、學(xué)以及評(píng)價(jià)模式影響根深蒂固，造成我省學(xué)生（包括小學(xué)生）普遍擅長求解數(shù)學(xué)模型與機(jī)械套模，卻欠缺主動(dòng)尋找問題、建立數(shù)學(xué)模型以及運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的能力的主要原因之所在。

（二）對數(shù)學(xué)建模相關(guān)概念、理念認(rèn)識(shí)模糊，對數(shù)學(xué)建模存在理解誤區(qū)

調(diào)研表明，不少小學(xué)數(shù)學(xué)教師包括教研員在內(nèi)，對模型、數(shù)學(xué)模型、建立模型、數(shù)學(xué)建模、模型思想等相關(guān)、相近概念認(rèn)識(shí)模糊、相互混淆，對數(shù)學(xué)建模也存在兩種比較極端的片面理解，現(xiàn)分析解讀如下：

誤區(qū)一：有些教師認(rèn)為，數(shù)學(xué)建模與解應(yīng)用題無關(guān)。

應(yīng)用題一：15條金魚，每個(gè)魚缸里放5條，要用幾個(gè)魚缸？——實(shí)際問題

想15里面有幾個(gè)5？——數(shù)學(xué)化

15÷5——數(shù)學(xué)模型

=3（個(gè)）——數(shù)學(xué)模型的解

答：要用3個(gè)魚缸?！獙?shí)際問題的解

“麻雀雖小，五臟俱全”，每一道應(yīng)用題的解答都濃縮著數(shù)學(xué)建模的過程。解應(yīng)用題是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的最好載體，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)建模角度解讀每一道應(yīng)用題，感悟、體驗(yàn)?zāi)Ｐ退枷?，積累與數(shù)學(xué)建模活動(dòng)相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)。

誤區(qū)二：有的教師認(rèn)為數(shù)學(xué)建模就是解應(yīng)用題。

應(yīng)用題二：某水果種植戶從采摘回來的總質(zhì)量為若干千克的某類水果中隨機(jī)抽取了若干個(gè)，并稱出其質(zhì)量。第一個(gè)問題是估計(jì)這批水果單個(gè)的平均質(zhì)量；第二個(gè)問題是給出該水果評(píng)定為優(yōu)級(jí)的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，試估計(jì)這批水果中優(yōu)級(jí)水果的占比以及總質(zhì)量。

像這樣僅僅給數(shù)學(xué)披上一件現(xiàn)實(shí)外衣的冷冰冰的應(yīng)用題，即使再做上1000道也無益于提升解決生活實(shí)際中問題的能力。如果嘗試將這道題還原到現(xiàn)實(shí)生活中，比如：某水果種植戶采摘了一批水果，現(xiàn)在有一家水果公司要全部買走這批水果，該種植戶應(yīng)該如何來定價(jià)呢？請給出一個(gè)合理的解決方案。這樣的問題呈現(xiàn)就是基于現(xiàn)實(shí)意義適合中小學(xué)生建模的有溫度、有一定難度的好素材了。而通過對實(shí)際問題的求解過程，也就能很好地理解原先的那道應(yīng)用題所設(shè)置的兩個(gè)小問題的意義和價(jià)值之所在。

實(shí)際教學(xué)中所呈現(xiàn)的問題往往是經(jīng)過簡化處理，呈現(xiàn)出來的情境簡約、數(shù)據(jù)簡單、語言精練，能一目了然地知道已知條件與所求的問題，這樣的問題與實(shí)際問題相距甚遠(yuǎn)。教師應(yīng)當(dāng)適當(dāng)改變問題呈現(xiàn)方式或換個(gè)角度思考問題，使得問題設(shè)計(jì)與解決能夠真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的核心價(jià)值——通過解決一道題從而解決一類題。

（三）小學(xué)數(shù)學(xué)建模并未引起社會(huì)的廣泛重視與參與

相關(guān)調(diào)研還表明，大多數(shù)小學(xué)數(shù)學(xué)教師沒有職前參加數(shù)學(xué)建模的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，職后的培訓(xùn)也通常只局限于常識(shí)性的了解，所以自身指導(dǎo)開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的能力有限，再加上由于小學(xué)階段學(xué)生的認(rèn)知水平、心理素質(zhì)以及現(xiàn)代信息技術(shù)應(yīng)用能力有限等因素，決定了小學(xué)數(shù)學(xué)建模的形式、內(nèi)容、程度要與更高層次的初高中、大學(xué)生開展數(shù)學(xué)建模區(qū)分開來。而目前在小學(xué)數(shù)學(xué)建?？尚行缘慕虒W(xué)模式探索、適用性教材編寫以及小學(xué)生數(shù)學(xué)建模實(shí)用工具包的開發(fā)、小學(xué)數(shù)學(xué)建模師資的培訓(xùn)等方面的研究與投入更是少之又少。當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)建模缺乏專家引領(lǐng)，缺少經(jīng)驗(yàn)總結(jié)與交流的平臺(tái)等也都是阻礙小學(xué)數(shù)學(xué)建模推進(jìn)的因素?？傊?，小學(xué)數(shù)學(xué)建模并沒有引起社會(huì)相關(guān)領(lǐng)域的廣泛重視與參與。

但是從調(diào)查中（如下表所示），也可喜地看到隨著當(dāng)前高校數(shù)學(xué)建模課程的普及，越來越多年輕的小學(xué)數(shù)學(xué)教師對數(shù)學(xué)建模課程的了解也越來越深入，這些都為將來更好地推進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)建模帶來師資儲(chǔ)備。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)建模的未來展望

史寧中教授在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》“十大核心概念”的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。他認(rèn)為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的人的、具有數(shù)學(xué)特征的關(guān)鍵能力與思維品質(zhì)；其終極目標(biāo)就是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。因此，數(shù)學(xué)建模有關(guān)的能力與思維品質(zhì)就是當(dāng)前數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分?；诖?，推動(dòng)小學(xué)數(shù)學(xué)建?？梢钥紤]從以下幾個(gè)方面加以落實(shí)：

1.讀懂、讀透新課標(biāo)與教材，注重培養(yǎng)數(shù)學(xué)模型意識(shí)和數(shù)學(xué)建模能力

與傳統(tǒng)教材相比，新課改之后的教材（以人教版2011版為例，下同）顯著變化之一就是改變了應(yīng)用題呈現(xiàn)方式與設(shè)計(jì)意圖，從“集中”到“分散”再到“分散+局部集中”，從單純的解應(yīng)用題模式訓(xùn)練到分散到各個(gè)領(lǐng)域經(jīng)歷完整的問題解決的過程，也就是倡導(dǎo)從機(jī)械的套模、用模到經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過程。教材每一章配套的問題解決模塊從第一學(xué)段“知道了什么？——怎樣解答？——解答正確嗎？”到第二學(xué)段“閱讀理解——分析解答——回顧反思”逐步深入、螺旋上升。從一年級(jí)開始就有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從讀懂圖意到讀懂題意，再到排除干擾因素、去掉多余條件，逐步培養(yǎng)從現(xiàn)實(shí)、具體的問題情境中解讀、提取有效的數(shù)學(xué)信息，發(fā)展運(yùn)用多種方法和策略解決問題的能力，并在檢驗(yàn)解答是否正確之余，還注重引導(dǎo)學(xué)生適時(shí)對解題思路、方法策略進(jìn)行回顧與反思，進(jìn)一步感悟數(shù)學(xué)思想、積累相關(guān)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。這些無一不與數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)以及模型思想的感悟與應(yīng)用有關(guān)。

從“雙基”——“四基”，從“兩能”——“四能”，從“解決問題”——“問題解決”，教師要讀懂新課標(biāo)相關(guān)理念，理清、讀透教材的編排意圖。同時(shí)建議在第二學(xué)段的教材中適當(dāng)設(shè)置一些涵蓋多方信息的實(shí)際應(yīng)用仿真開放題，做好數(shù)學(xué)建模小初銜接，從“小學(xué)”到“大學(xué)”實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模一貫式培養(yǎng)。

2.以課堂教學(xué)為主線，課堂教學(xué)活動(dòng)始終不離數(shù)學(xué)建模

教師一方面應(yīng)有意識(shí)地讓學(xué)生在廣義的數(shù)學(xué)模型（數(shù)學(xué)概念、公式、規(guī)律、法則、方程式和算法系統(tǒng)等）學(xué)習(xí)的過程中，多經(jīng)歷“問題情境——抽象、簡化或猜想——建立模型——驗(yàn)證與解釋——應(yīng)用模型”（有時(shí)還要經(jīng)歷“拓展模型——再建模型”）的教學(xué)模式，充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模過程，掌握數(shù)學(xué)建模相關(guān)的方法和技巧，積累數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗(yàn)。另一方面應(yīng)重視經(jīng)典數(shù)學(xué)模型（如雞兔同籠、植樹問題、鴿巢問題等）的教學(xué)，著重圍繞數(shù)學(xué)建模與模型思想進(jìn)行深入挖掘和設(shè)計(jì)，除了讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過程，也應(yīng)重視為學(xué)生提供用模的機(jī)會(huì)，實(shí)現(xiàn)通過一道題解決一類題，感悟、體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型思想，體會(huì)數(shù)學(xué)建模以及模型思想的意義和價(jià)值。

3.大膽拓展，積極推進(jìn)課外數(shù)學(xué)建模系列活動(dòng)

可以嘗試從以下幾個(gè)方面進(jìn)行：（1）圍繞特定知識(shí)點(diǎn)同步設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建模題目，初步體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模全過程。例如在學(xué)了《圓的周長》之后，可以組織學(xué)生開展用“滾圈法”估測學(xué)校操場環(huán)形跑道外圈長度的活動(dòng)。（2）圍繞生活中的實(shí)際問題開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)。例如可以利用周末或假期嘗試形成諸如“水果商堆積水果中的學(xué)問”等有價(jià)值的調(diào)查報(bào)告。（3）以“數(shù)學(xué)步道”為主題面向全校師生開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)。讓學(xué)生甚至家長一起參與挑戰(zhàn)數(shù)學(xué)步道闖關(guān)游戲，還可以通過提供圖片及數(shù)據(jù)進(jìn)行校園吉尼斯師生、家校數(shù)學(xué)步道設(shè)計(jì)大比拼等活動(dòng)，培養(yǎng)師生發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決實(shí)際問題的意識(shí)與能力。（4）結(jié)合綜合實(shí)踐活動(dòng)，開設(shè)不同主題的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)。福州臺(tái)四小葉武平老師主持的課題組曾面向1至6年級(jí)的師生開展園藝種植綜合實(shí)踐活動(dòng)，從科學(xué)、數(shù)學(xué)、信息技術(shù)等多學(xué)科視角切入并嘗試跨學(xué)科融合。該團(tuán)隊(duì)示范的《厘米的認(rèn)識(shí)》《認(rèn)識(shí)時(shí)間》《復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖》《向日葵中的數(shù)學(xué)問題》等課就通過科學(xué)觀察收集有用數(shù)據(jù)，提煉園藝種植中的數(shù)學(xué)問題，挖掘數(shù)學(xué)建模素材，結(jié)合不同年級(jí)教材內(nèi)容進(jìn)行整合并借助現(xiàn)代信息技術(shù)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，為我省乃至全國多學(xué)科整合教學(xué)研究提供不可多得的非常有價(jià)值的案例。

4.改進(jìn)數(shù)學(xué)課程教學(xué)評(píng)價(jià)體系，促進(jìn)數(shù)學(xué)建?？茖W(xué)化

在小學(xué)數(shù)學(xué)課程實(shí)施評(píng)價(jià)過程中，我們既要評(píng)價(jià)教師的教也要評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)，還應(yīng)該對學(xué)校的管理以及配套措施是否到位進(jìn)行評(píng)價(jià)。參考國際學(xué)生評(píng)價(jià)項(xiàng)目（PISA）（PISA評(píng)價(jià)的內(nèi)容之一是學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)），以及國家教育質(zhì)檢命題精神，進(jìn)一步促進(jìn)多元化、多面化、多樣化、綜合化的課程教學(xué)評(píng)價(jià)體系形成與完善，促進(jìn)數(shù)學(xué)建?？茖W(xué)化。

結(jié)語：我們期待更多的師范院校、教育研究機(jī)構(gòu)、專家團(tuán)隊(duì)、相關(guān)職能部門能夠參與進(jìn)來共同推動(dòng)小學(xué)數(shù)學(xué)建模課程建設(shè)。以數(shù)學(xué)建模為突破口，徹底改變教師、學(xué)生、課堂，有效促進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)課程“教”“學(xué)”與“評(píng)價(jià)”模式的改革，真正實(shí)現(xiàn)從高分低能到基于核心素養(yǎng)人才培養(yǎng)模式的根本性轉(zhuǎn)變。

［1］鐘建林，林武.小學(xué)數(shù)學(xué)專題式教學(xué)導(dǎo)引［M］.福州：福建人民出版社，2012.

［2］王永春.小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2014.

［3］林碧珍.數(shù)學(xué)思維養(yǎng)成課——小學(xué)數(shù)學(xué)這樣教［M］.福州：福建教育出版社，2013.

［4］顏文勇.數(shù)學(xué)建模［M］.北京：高等教育出版社，2011.

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G622.0

A

1673-9884（2017）08-0074-04

2017-07-15

2015年福建省教育廳中青年科研項(xiàng)目一般課題（JA15808）

陳 燕，女，閩江師范高等?？茖W(xué)校副教授。