多元函數(shù)的Taylor公式及其應(yīng)用

張雁磊

【摘要】我們知道一元函數(shù)的Taylor展式[1]在一元函數(shù)的微分學(xué)中有著重要的應(yīng)用，而多元函數(shù)的Taylor展式在多元函數(shù)的微分學(xué)中同樣有著重要的作用。本文首先給出多元函數(shù)的Taylor展式及其唯一性的證明，然后給出例題說(shuō)明Taylor的重要應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】多元函數(shù)；Taylor展式；唯一性；應(yīng)用

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）02-0282-02

一、多元函數(shù)Taylor展式唯一性定理

這里只給出二元函數(shù)的Taylor展式及其唯一性定理的證明，對(duì)于多元函數(shù)Taylor展式[2]及其唯一性定理可進(jìn)行類(lèi)似的證明。

定理：假設(shè)f（x，y）具有n+1階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)[3]，則在（x0，y0）用某種方法可得展開(kāi)式：

（1）

其中：

則必有：

證：已知f（x，y）有n+1階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，故f（x，y）的Taylor公式成立：

（2）

（1）減（2）式，便得0函數(shù)展開(kāi)式

（3）

其中：

因此，我只要由式（3）推出Bij=0（i+j=0，1，2…n）即可，作變換ζ=x-x0，η=y-y0，對(duì)于變量（ζ，η），式（3）變成為：

（4）

現(xiàn)證明Bij=0（i+j=0，1…n，i，j為非負(fù)正數(shù)）

首先在上式中，令ρ→0，便得B00=0

再令η=αζ則（4）式變成：

（5）

設(shè)ζ≠0，用ζ除此（5）式，令ζ→0，得 B10+αB01=0因?yàn)棣翞槿我鈱?shí)數(shù)，所以B10=B01=0此時(shí)（5）式成為：

（6）

類(lèi)似地，（6式）除以ζ2，再令ζ→0，得B20+αB11+α2B02=0由α為任意實(shí)數(shù)，便得B20=B11=B02=0從而（6）式變成：

如此繼續(xù)下去，可得一切Bij=0（i+j=0，1…n，i，j為非負(fù)正數(shù)）證畢。

二、應(yīng)用舉例

我們知道一元函數(shù)的Taylor展式在一元函數(shù)的微分學(xué)中有著重要的應(yīng)用，同樣多元函數(shù)的Taylor展式在多元函數(shù)的微分學(xué)中也有著重要的應(yīng)用，下面只給出其在凸的有界閉區(qū)域上，證明有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的多元函數(shù)滿足Lipschitz條件[4]和有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的多元函數(shù)為凸函數(shù)的充要條件為Hessian矩陣[5]在凸的有界閉區(qū)域上為半正定的兩個(gè)重要應(yīng)用。

例1.設(shè)DRn為凸的有界閉區(qū)域，f（P）在D上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，試證明：f（P）在D上滿足Lipschitz條件，即：L>0，P1，P2∈D有：

|f（P）-f（P1）|≤L|P-P1|

證：據(jù)已知條件DRn為凸的有界閉區(qū)域可知：M>0，使得

|f′xi（P）|≤M，P∈D，i=1，2，…，n

因?yàn)镈為凸區(qū)域，據(jù)Taylor公式，使得：

這里，，令L=Mn，則得

|f（P1）-f（P2）|≤L|P1-P2|

證畢。

注：由此例可知，在凸區(qū)域上的函數(shù)f的一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，則f在些區(qū)域上一致連續(xù)。

例2.設(shè)DRn為凸的有界閉區(qū)域，f（x）=f（x1，x2，…，xn）在D上有定義，且有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，試證明f（x）在D上為凸函數(shù)的充要條件為Hessian矩陣

在D上為半正定的。

證：（充分性），根據(jù)Taylor公式，（0<θ<1），使得

（1）

而

（2）

若矩陣在D為非半正定的，則（2）式非負(fù)，（1）式成為

f（y）≥f（x）+（y-x）f（x）

從而f（x）在D上為凸函數(shù)。

（必要性）用反證法

假設(shè)為非半正定的，則，及h=（h1，h2，…，hn），使得

（3）

另一方面，由Taylor公式，當(dāng)λ→0時(shí)，

（4）

由于（3）當(dāng)λ充分小時(shí)，（4）式右端第三項(xiàng)為負(fù)，于是f（x+λh）≤f（x）+λhf（x）與f凸性矛盾。證畢。

參考文獻(xiàn)

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 微積分[M].高等教育出版社，2010.

[2]陳效群 微積分學(xué)習(xí)輔導(dǎo)[M].科學(xué)出版社，2004.

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