對(duì)一個(gè)征解題的探究

魏國(guó)祥，李鳳清，張子衛(wèi)

（四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)系，四川 遂寧 629000）

對(duì)一個(gè)征解題的探究

魏國(guó)祥，李鳳清，張子衛(wèi)

（四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)系，四川 遂寧 629000）

本文對(duì)《數(shù)學(xué)通訊》上半月刊2015年第3期問(wèn)題征解欄目第206號(hào)問(wèn)題進(jìn)行了探究，得出了它的一個(gè)推廣：已知a,b,c,m為正實(shí)數(shù)且滿足a b c=1同時(shí)得出幾個(gè)有用的相關(guān)結(jié)論，最后提出了一個(gè)猜想：已知a,b,c,λ,m 為正實(shí)數(shù)且滿足 a b c=1，λ≥1，（1+m a）（1+m b）（1+m c）.

數(shù)學(xué)問(wèn)題；不等式；推廣；猜想

《數(shù)學(xué)通訊》上半月刊2015年第3期問(wèn)題征解欄目第206號(hào)問(wèn)題為：

已知為a,b,c正實(shí)數(shù)且滿足a b c=1，求證：

我們對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探究，得到下面一些結(jié)論.

從定理1的證明中可得下面結(jié)論.

結(jié)論1已知a,b,c,m為正實(shí)數(shù)且滿足a b c=1，則（1+m a）（1+m b）（1+m c）.

結(jié)論2已知a,b,c,λ,m為正實(shí)數(shù)且滿足a b c=1，λ≥1，則

（1+aλ）（1+bλ）（1+cλ）≥（1+a）（1+b）（1+c）.

證明（1+aλ）（1+bλ）（1+cλ）≥（1+a）（1+b）（1+c）等價(jià) 于（aλ+bλ+cλ）+[（a b）λ+（b c）λ+（c a）λ] ≥（a+b+c）+（a b+b c+c a）.

由冪平均不等式可知

同理可知，（a b）λ+（b c）λ+（c a）λ≥a b+b c+c a

故（aλ+bλ+cλ）+[（a b）λ+（b c）λ+（c a）λ]≥（a+b+c）+（a b+b c+c a），故結(jié)論2成立.

推論 已知a,b,c,λ 為正實(shí)數(shù)且滿足a b c=1，λ≥2，則

（1+aλ）（1+bλ）（1+cλ）≥（1+a2）（1+b2）（1+c2）.

由這個(gè)推論與結(jié)論1可得下面結(jié)論.

結(jié)論 3已知 a,b,c,λ,m為正實(shí)數(shù)且滿足a b c=1，λ≥2則

結(jié)論 4已知 a,b,c,λ,m為正實(shí)數(shù)且滿足a b c=1，m≥5，λ≥1，則

證明 由 結(jié) 論 2 可 知 （1+aλ）（1+bλ）（1+cλ）≥（1+a）（1+b）（1+c），故只需證（1+a）（1+b）（1+c）≥（a+b+c）+[（1+m）3-8 m] （a b+b c+c a） ≥8 （m3+1）-2（1+m）3.若 m≥5，可知（1+m）3-8 m2＞0，（1+m）3-8 m2＞0與 4（m3+1）-（1+m）3≥0 均成立. 由于 a+b+c≥3，a b+b c+c a≥3故

[（1+m）3-8 m]（a+b+c）+[（1+m）3-8 m2]（a b+b c+c a）≥3[2（1+m）3-8 m2-8 m]=6 m3-6 m2-6 m+6

可知結(jié)論4成立.

下面提出一個(gè)猜想.

猜想已知a,b,c,λ,m為正實(shí)數(shù)且滿足a b c=1，λ≥1，則

[1]佚名.第206號(hào)問(wèn)題//問(wèn)題征解[J]數(shù)學(xué)通訊（上半月刊），2015，（3）.

責(zé)任編輯：張隆輝

O 122

A

1672-2094（2017）04-0165-02

2017-05-08

魏國(guó)祥（1971-），男，四川遂寧人，四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師。研究方向：數(shù)學(xué)教育。