雙圓盤(pán)的Bergman空間上k階斜Toeplitz算子的交換性

劉朝美,高嬌嬌

( 大連交通大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116028)*

雙圓盤(pán)的Bergman空間上k階斜Toeplitz算子的交換性

劉朝美,高嬌嬌

( 大連交通大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116028)*

對(duì)雙圓盤(pán)的Bergman空間上k階斜Toeplitz算子的交換性展開(kāi)了研究，得到了以共軛解析函數(shù)為符號(hào)的k階斜Toeplitz算子可交換的充要條件是其符號(hào)函數(shù)線(xiàn)性相關(guān).

雙圓盤(pán)；Bergman空間；斜Toeplitz算子；交換性

0 引言

斜Toeplitz算子是函數(shù)空間上的一類(lèi)算子.1996年，Mark引進(jìn)了Hardy空間上斜Toeplitz算子的概念[1]，介紹了該類(lèi)算子的背景，討論了該類(lèi)算子的若干性質(zhì),并對(duì)該類(lèi)算子的譜等性質(zhì)展開(kāi)了深入的討論[2- 4].Arora 和Batra通過(guò)對(duì)斜Toeplitz算子定義的推廣，得到k階斜Toeplitz算子的概念，并對(duì)該類(lèi)算子的性質(zhì)展開(kāi)了一系列的討論[5- 8].2004年，安恒斌和蹇人宜將斜Toeplitz算子的定義推廣到了單位圓盤(pán)的Bergman空間上，并對(duì)該類(lèi)算子的有界性、緊性等性質(zhì)展開(kāi)了研究[8].既然可以將Hardy空間上的斜Toeplitz算子推廣為k階斜Toeplitz算子，那么人們自然會(huì)想到將Bergman空間上斜Toeplitz算子的概念進(jìn)行推廣. 2007年, Yang、Leng和Lu給出了Bergman空間上k階斜Toeplitz算子的概念，并對(duì)該類(lèi)算子的譜、交換性等性質(zhì)展開(kāi)了研究[9]. 此后，人們又對(duì)該類(lèi)算子的交換性、有界性等性質(zhì)展開(kāi)了研究，得到了一些結(jié)論[10- 11]. 2012年,朱洪敏給出了多圓盤(pán)的Bergman空間上k階斜Toeplitz算子的概念并對(duì)該類(lèi)算子的交換性、譜、緊性等性質(zhì)進(jìn)行了研究[12].

對(duì)函數(shù)空間上斜Toeplitz算子的性質(zhì)進(jìn)行研究時(shí)，人們總是希望能夠?qū)⒃擃?lèi)算子的性質(zhì)由其符號(hào)函數(shù)給出刻畫(huà).本文對(duì)雙圓盤(pán)的Bergman空間上k階斜Toeplitz算子的性質(zhì)展開(kāi)了研究，得到了以共軛解析函數(shù)為符號(hào)的k階斜Toeplitz算子可交換的充要條件是其符號(hào)函數(shù)線(xiàn)性相關(guān).

1 基本概念

設(shè)k≥2是固定的整數(shù), 定義在A2(D2)上的算子Wk[12]為

設(shè)φ∈L∞(D2),A2(D2)空間上以函數(shù)φ為符號(hào)的k階斜Toeplitz算子Bφ=WkTφ定義為Bφ=WkTφ, 其中Tφ是A2(D2)上以函數(shù)φ為符號(hào)的Toeplitz算子, 而且以本性有界函數(shù)為符號(hào)的k階斜Toeplitz算子均是有界線(xiàn)性算子[12].

2 斜Toeplitz算子的交換性

對(duì)A2(D2)空間上以共軛解析函數(shù)為符號(hào)的k階斜Toeplitz算子的交換性展開(kāi)討論，得到以下結(jié)論.

證明 若φ與ψ是線(xiàn)性相關(guān)的, 那么顯然可得BφBψ=BψBφ.

理性從啟示、哲學(xué)從信仰中剝離出來(lái)并獲得獨(dú)立的形態(tài)，并不意味著宗教的消除，正如卡西爾所言：“啟蒙運(yùn)動(dòng)最強(qiáng)有力的精神力量不在于它摒棄信仰，而在于它宣告的新信仰形式，在于它包含的新宗教形式?！保?6］125－126在啟示與理性、信仰與哲學(xué)的博弈中，“宗教信念應(yīng)該像任何別的命題一樣接受檢驗(yàn)——由理性證據(jù)來(lái)檢驗(yàn)”［17］26。啟蒙揚(yáng)棄了宗教的外在形式，形成了新的宗教形態(tài)——知性宗教。

當(dāng)0≤p=(p1,p2)≤(k-1,2k-1)且p2≥k時(shí), 由等式(2)可得

當(dāng)0≤p=(p1,p2)≤(2k-1,k-1)且p1≥k時(shí),由等式(2)可得

當(dāng)0≤p=(p1,p2)≤(2k-1,2k-1)且p1≥k,p2≥k時(shí), 由等式(2)可得

當(dāng)0≤p=(p1,p2)≤((n+1)k-1,(n+1)k-1)且p1≥nk或p2≥nk時(shí), 由等式(2)可得

[1]MARK C HO.Properties of slant Toeplitz operators[J].Indiana Univ.Math.J.,1996,45(3):843- 862.

[2]MARK C HO.Spectra of slant Toeplitz operators with continuous symbol[J].Michigan Mathematical Journal,1997,44(1):157- 166.

[3]MARK C HO.Adjoints of slant Toeplitz operators[J].Integral Equations and Operator Theory,1997,29(3):301- 312.

[4]MARK C HO.Adjoints of slant Toeplitz operators II[J].Integral Equations and Operator Theory,2001,41(2):179- 188.

[5]ARORA S C,BATRA R.On generalized slant Toeplitz operators[J] .Indian J.Math.,2003,45(2):121- 134.

[6]ARORA S C,BATRA R.On generalized slant Toeplitz operators with continuous symbols[J].Yokohama Mathematical Journal,2004(51):1- 9.

[7]ARORA S C,BATRA R.Generalized slant Toeplitz operators on H2[J].Math.Nachr.,2005,278(4):347- 355.

[8]安恒斌,蹇人宜.Bergman空間上的斜Toeplitz算子[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2004,47(1)：103- 110.

[9]JUN YANG,AIPING LENG,YUFENG LU.K-order slant Toeplitz operators on the Bergman Space[J].Northeast.Math.J.,2007,23(5):403- 412.

[10]YUFENG LU,CHAOMEI LIU,JUN YANG.Commutativity of kth-order Slant Toeplitz operators[J].Mathematische Nachrichten,2010,283(3):1304- 1313.

[11]CHAOMEI LIU,YUFENG LU.Product and Commutativity of kth-order Slant Toeplitz Operators[J].Abstract and Applied Analysis,2013,45(2):900- 914.

[12] 朱洪敏.單位多圓盤(pán)上Bergman空間上的k階斜Toeplitz算子的一些研究[D].上海：華東師范大學(xué),2012.

Commutativity ofk-Order Slant Toeplitz Operators on Bergman Space of Bidisk

LIU Chaomei,GAO Jiaojiao

(School of Mathematics and Physics,Dalian Jiaotong University,Dalian 116028,China)

In this paper,the commutativity ofk-order slant Toeplitz operator on the Bergman space of bidisk are discussed.The necessary and sufficient condition is obtained.For the commutativity ofk-order slant Toeplitz operators with co-analytic symbols,their symbol function are linearly dependent.

bidisk;bergman space;k-order slant Toeplitz operators;commutativity

1673- 9590(2017)05- 0115- 04

A

2016- 07- 30

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11301046)

劉朝美(1980-), 女，副教授,博士， 主要從事函數(shù)空間及其算子理論的研究 E-mail:lcm@djtu.edu.cn.