考慮動(dòng)力剛化的撓性航天器的動(dòng)力學(xué)建模與分析

方 柳，劉玉亮，趙桂平

(1.西安交通大學(xué) 航天航空學(xué)院，機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 西安 710049； 2.大連理工大學(xué) 航空航天學(xué)院， 遼寧 大連 116024)

【裝備理論與裝備技術(shù)】

考慮動(dòng)力剛化的撓性航天器的動(dòng)力學(xué)建模與分析

方 柳1，劉玉亮2，趙桂平1

(1.西安交通大學(xué) 航天航空學(xué)院，機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 西安 710049； 2.大連理工大學(xué) 航空航天學(xué)院， 遼寧 大連 116024)

本文以含有撓性太陽能帆板的衛(wèi)星為研究對象，建立了考慮動(dòng)力剛化效應(yīng)的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型，并與傳統(tǒng)的線性模型進(jìn)行了對比。首先，通過Hamilton變分原理建立了考慮動(dòng)力剛化效應(yīng)的撓性衛(wèi)星的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)和結(jié)構(gòu)振動(dòng)的偏微分方程；之后，通過假設(shè)模態(tài)法對偏微分方程進(jìn)行離散，得到離散化后的線性模型和動(dòng)力剛化模型；最后，給出了某些特定外界激勵(lì)下兩種模型動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的數(shù)值仿真結(jié)果。仿真結(jié)果表明，動(dòng)力剛化效應(yīng)將對衛(wèi)星的柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)產(chǎn)生較大影響；在一定的外界激勵(lì)下，采用線型模型的計(jì)算結(jié)果與動(dòng)力剛化模型的計(jì)算結(jié)果之間存在較大偏差。

剛?cè)狁詈?；?dòng)力剛化；Hamilton變分原理；假設(shè)模態(tài)法

隨著航天技術(shù)的發(fā)展，人們對航天器的任務(wù)需求也越來越復(fù)雜。傳統(tǒng)剛體航天器已無法滿足人們的需求。為了節(jié)約發(fā)射成本，現(xiàn)有的航天器大都采用質(zhì)量輕，剛度小的柔性結(jié)構(gòu)，如柔性太陽帆板，大型柔性天線等可展開結(jié)構(gòu)[1-3]。柔性結(jié)構(gòu)的引入為航天器在軌動(dòng)力學(xué)建模與分析帶來了困難。太陽帆板 等柔性部件的結(jié)構(gòu)振動(dòng)將對航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生影響，而航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)又會(huì)反過來作用在航天器的柔性部件上，產(chǎn)生剛?cè)狁詈献饔?。為了充分保證航天器的正常在軌運(yùn)行，就必須對該類航天器的剛?cè)狁詈蠙C(jī)理進(jìn)行研究。

現(xiàn)有關(guān)于柔性航天器的剛?cè)狁詈献饔玫难芯看蠖紱]有考慮旋轉(zhuǎn)帶來的剛化效應(yīng)。20世紀(jì)七、八十年代，為了解決航天技術(shù)中面臨的實(shí)際工程問題，以Meirovitch[4-6]和Stemple[7-8]為首的學(xué)者通過采用Hamilton變分原理，以及小變形假設(shè)建立起柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)理論，并在此基礎(chǔ)上演化出目前進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析和控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)廣泛采用的傳統(tǒng)線性模型。傳統(tǒng)線性模型通過采用分離變量法對偏微分線性方程進(jìn)行處理，推導(dǎo)出基于模態(tài)坐標(biāo)法描述結(jié)構(gòu)振動(dòng)的理論。該類方法具有計(jì)算量小，結(jié)構(gòu)形式簡單等優(yōu)點(diǎn)，得到了廣泛應(yīng)用。然而隨著傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)頻率的不斷降低以及航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)速度不斷增加，傳統(tǒng)的線性模型在計(jì)算結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)出現(xiàn)了誤差不斷增加的情況。1987年，Kane[9]在對固結(jié)于運(yùn)動(dòng)基座上的懸臂梁進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)懸臂梁高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，按零次近似動(dòng)力學(xué)模型計(jì)算出的懸臂梁撓度趨于發(fā)散且剛度為零或?yàn)樨?fù)，然而實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)論卻與理論分析相反。因此，Kane首次提出了動(dòng)力剛化的概念，對傳統(tǒng)的零次模型進(jìn)行了修正，提出了與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符合的動(dòng)力剛化模型。

自從該概念提出以來，國內(nèi)、外學(xué)者對其進(jìn)行了廣泛的研究，大都在柔性體的變形-應(yīng)變關(guān)系中考慮了非線性項(xiàng)。對非線性項(xiàng)處理的方法大致可分為兩類，一類是在柔性體的變形場中加入非線性項(xiàng)使得系統(tǒng)產(chǎn)生動(dòng)力剛化項(xiàng)[10-11]；其二是在線性化動(dòng)力學(xué)方程中加入由剛體大范圍運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的慣性載荷引起的幾何動(dòng)力剛化項(xiàng)[12-13]。章定國等[14-16]以旋轉(zhuǎn)懸臂柔性梁為研究對象，在考慮橫向變形引起的縱向縮短的二階耦合變形量的條件下，用Hamilton變分原理和假設(shè)模態(tài)法推導(dǎo)出了考慮“動(dòng)力剛化”的一次近似耦合模型，研究了旋轉(zhuǎn)懸臂柔性梁的頻率轉(zhuǎn)向和頻率轉(zhuǎn)換特性。楊輝等[17-18]對柔性梁的“動(dòng)力剛化”現(xiàn)象進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，結(jié)果表明在某些高速旋轉(zhuǎn)情況下，傳統(tǒng)零次近似模型不能夠準(zhǔn)確計(jì)算梁的橫向振動(dòng)響應(yīng)，而實(shí)驗(yàn)得到的梁的橫向振動(dòng)響應(yīng)與一次近似耦合模型預(yù)測的結(jié)果一致，驗(yàn)證了一次近似耦合模型的正確性。在上述文獻(xiàn)中，大都只對旋轉(zhuǎn)作用下，撓性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性進(jìn)行分析[14-18]，并未深入研究動(dòng)力剛化作用下結(jié)構(gòu)振動(dòng)對航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的影響。而且，文獻(xiàn)[17-18]所采用的動(dòng)力學(xué)模型為有限元模型。由于有限元模型階次較高，不適合作為航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)和振動(dòng)抑制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的模型。

基于上述問題，本文以美軍寬帶全球衛(wèi)星通信系統(tǒng)-1[19](如圖1所示)為研究對象，建立了含有動(dòng)力剛化項(xiàng)的剛?cè)狁詈夏Ｐ?，采用假設(shè)模態(tài)法進(jìn)行離散，得到適合作為該衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)和振動(dòng)抑制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的模型，對姿態(tài)運(yùn)動(dòng)和結(jié)構(gòu)振動(dòng)之間的耦合作用進(jìn)行了研究。此外，還將與傳統(tǒng)的線性模型對比，通過數(shù)值仿真驗(yàn)證他們之間的差異。全文安排如下：第一節(jié)，采用Hamilton變分原理建立衛(wèi)星偏微分方程；第二節(jié)，通過假設(shè)模態(tài)法對偏微分方程進(jìn)行離散，得到離散化的傳統(tǒng)線性模型和動(dòng)力剛化模型；第三節(jié)，給出數(shù)值仿真算例；在第四節(jié)給出結(jié)論。

圖1 美軍寬帶全球衛(wèi)星通信系統(tǒng)-1

1 運(yùn)動(dòng)方程

為了使問題簡化，本文只考慮衛(wèi)星在平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)和結(jié)構(gòu)振動(dòng)的示意圖如圖2所示。

圖2 衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)和結(jié)構(gòu)振動(dòng)示意圖

(1)

質(zhì)量單元dm的速度可表示為：

(2)

(3)

這里，IC表示中心剛體繞OZo的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；令dm=σdx，其中，σ表示柔性帆板的單位長度質(zhì)量，這里假設(shè)柔性帆板是均勻的，各向同性的歐拉伯努利梁，因此σ是一個(gè)常數(shù)。衛(wèi)星的彈性勢能可表示為：

(4)

其中，EI表示梁的抗彎剛度；l表示梁的長度。

(5)

結(jié)合式(4)和式(5)，利用Hamilton變分原理，可推出衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)和結(jié)構(gòu)振動(dòng)的偏微分運(yùn)動(dòng)方程。Hamilton變分原理可表示為：

(6)

這里，L=T-U表示Lagrange函數(shù)；Wτ表示外力所做的虛功，這里的外力只考慮作用在中心剛體的質(zhì)心O處的力偶τ，滿足δWτ=τδθ,這里δθ表示衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的虛位移。由式(6)可導(dǎo)出：

(7)

(8)

其邊界條件為：

u(0,t)=0

(9.a)

u(1)(0,t)=0

(9.b)

u(2)(l,t)=0

(9.c)

u(3)(l,t)=0

(9.d)

其中，u(i),i=1,2,3,4，表示u相對于x的第i階導(dǎo)數(shù)。

2 模型的離散化

2.1 模態(tài)正交性

傳統(tǒng)的線性模型是通過對式(7)和式(8)簡化得到，其方程為：

(10)

(11)

u(x,t)=φ(x)q(t)=φq

(12)

將其帶入式(10)并將φ和q移動(dòng)至方程的兩邊，可得：

(13)

其中，ω是一個(gè)常數(shù)，表示梁振動(dòng)的頻率。式(10)的邊界條件可以簡化為：

φ(0)=0

(14.a)

φ(1)(0)=0

(14.b)

φ(2)(l)=0

(14.c)

φ(3)(l)=0

父母應(yīng)該引導(dǎo)孩子不要非常強(qiáng)烈地在乎細(xì)節(jié)上的對和錯(cuò)，因?yàn)閷﹀e(cuò)往往是相對的。對于孩子做的事情，父母也不要總用對錯(cuò)來分析。

(14.d)

將式(13)進(jìn)行處理，可轉(zhuǎn)化為：

EIφ(4)=σφω2

(15)

假設(shè)φi和φj分別是梁振動(dòng)的第i階和第j階陣型，ωi和ωj分別是梁振動(dòng)的第i階和第j階頻率；將φi帶入式(15)，并在兩邊同時(shí)乘以φj積分可得：

(17)

將式(16)展開，結(jié)合邊界條件(14.a)～ (14.d)可得：

(17)

同理可得：

(18)

將式(17)減去式(18)可得：

(19)

(20)

即方程各模態(tài)之間滿足正交性。

結(jié)合式(15)和邊界條件(14.a)～ (14.d)可以求出陣型φ的解析表達(dá)式[20]：

φi=A[coshγix-cosγix-

(21)

1+cosγil·coshγil=0

(22)

2.2 線性模型(LM)

設(shè)橫向變形u可以表示為下式：

u=φTq

(23)

(24)

(25)

由式(25)可以看出梁的各階振動(dòng)解耦。將式(23)帶入式(11)可得：

(26)

2.3 動(dòng)力剛化模型(DSM)

設(shè)橫向變形u可以表示為：

u=φTp

(27)

將式(27)帶入方程(7)，在方程兩邊同時(shí)乘以φ進(jìn)行積分，這里φ為歸一化的模態(tài)；結(jié)合正交條件式(19)和式(20)化簡可得：

(28)

(29)

將式(27)帶入方程(8)進(jìn)行化簡可得：

(30)

式中畫橫線的部分為線性模型中所忽略的項(xiàng)。

3 仿真算例

本節(jié)給出幾個(gè)數(shù)值仿真算例驗(yàn)證模型的有效性。其中，梁的參數(shù)值分別為：σ=1 kg/m;l=50 m;a=10 m;EI=6.25×104N·m2;I1=2.15×105kg·m2。 這里只取前兩階模態(tài)進(jìn)行計(jì)算ω1=0.351 56 rad/s；ω2=2.203 36 rad/s；F1=256.457 8 kg·m；F2=62.794 9 kg·m；其中Γ=[F1F2]T，D的值為：

(31)

圖3 旋轉(zhuǎn)對結(jié)構(gòu)振動(dòng)角頻率的影響

第二個(gè)算例是在已知規(guī)律旋轉(zhuǎn)角速度下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。旋轉(zhuǎn)規(guī)律為:

(32)

其中，Ω0=0.5 rad/s；T=100 s；初始條件為：

q1=q2=p1=p2=0 m

(33.a)

(33.b)

柔性帆板末端變形的動(dòng)態(tài)響應(yīng)如圖4所示。從圖中可以看出，在衛(wèi)星的旋轉(zhuǎn)角速度達(dá)到某一轉(zhuǎn)速的情況下，采用傳統(tǒng)線性模型計(jì)算的結(jié)果與動(dòng)力剛化模型的計(jì)算結(jié)果存在很大偏差。因此，當(dāng)衛(wèi)星的撓性附件的結(jié)構(gòu)頻率較低時(shí)，需采用動(dòng)力剛化模型進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析和控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，否則將產(chǎn)生較大誤差。此外，從圖中還可以看出采用動(dòng)力剛化模型計(jì)算得到的結(jié)果比傳統(tǒng)線性模型的計(jì)算結(jié)果變形要小，這主要是因?yàn)閯?dòng)力剛化效應(yīng)使柔性梁的等效剛度增加，從而使其不易發(fā)生變形，這也從側(cè)面說明了動(dòng)力剛化模型的有效性。

圖4 柔性梁末端隨時(shí)間響應(yīng)

為了分析動(dòng)力剛化模型對衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的影響，本文還將給出已知外界一定規(guī)律力矩作用在中心剛體上的衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)和柔性梁末端變形的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，力矩的施加規(guī)律為：

(34)

其中， τ0=1.075×103N·m；模態(tài)的初始條件與式(33.a)和(33.b)相同；衛(wèi)星的姿態(tài)初始條件為：

(35)

圖5和圖6表示衛(wèi)星姿態(tài)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，圖6是圖5的局部放大；圖7表示撓性帆板末端動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

圖5 衛(wèi)星的姿態(tài)角隨時(shí)間響應(yīng)

圖6 衛(wèi)星的姿態(tài)角隨時(shí)間響應(yīng)

圖7 柔性帆板末端變形隨時(shí)間響應(yīng)

從圖5和圖6可以看出，兩種模型的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)律差別很小，說明動(dòng)力剛化效應(yīng)對衛(wèi)星的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)影響很小。這主要是因?yàn)閾闲苑宓馁|(zhì)量占總體質(zhì)量百分比較小，而衛(wèi)星的中心剛體質(zhì)量占主導(dǎo)，使衛(wèi)星的結(jié)構(gòu)振動(dòng)并不會(huì)對衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生較大影響。即使動(dòng)力剛化效應(yīng)對衛(wèi)星的結(jié)構(gòu)振動(dòng)產(chǎn)生較大影響，對姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的影響卻很小。然而，動(dòng)力剛化效應(yīng)對姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的影響將會(huì)隨著柔性附件質(zhì)量與總質(zhì)量的比值的增加而增加。此外，由圖7可以看出，衛(wèi)星在受到激勵(lì)的過程中，動(dòng)力剛化模型的結(jié)構(gòu)形變要小于線性模型。此結(jié)果與第二例仿真結(jié)果相同。

4 結(jié)論

本文以美軍寬帶全球衛(wèi)星通信系統(tǒng)-1為研究對象，研究了動(dòng)力剛化效應(yīng)對其姿態(tài)運(yùn)動(dòng)和結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響。研究結(jié)果表明：

1) 對于帶有大型撓性帆板且結(jié)構(gòu)角頻率較低的衛(wèi)星，動(dòng)力剛化現(xiàn)象會(huì)對衛(wèi)星的結(jié)構(gòu)振動(dòng)產(chǎn)生較大影響，采用傳統(tǒng)線性模型的計(jì)算結(jié)果存在較大誤差；

2) 衛(wèi)星的旋轉(zhuǎn)角速度與柔性結(jié)構(gòu)的一階角頻率的比值越大，動(dòng)力剛化效應(yīng)對柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響越大。對于本文的研究對象，當(dāng)衛(wèi)星的旋轉(zhuǎn)角速度為結(jié)構(gòu)一階角頻率的2.5倍時(shí)，其結(jié)構(gòu)振動(dòng)的一階結(jié)構(gòu)角頻率大約增加一倍。

[1] 苗常青,李學(xué)濤,馬浩.空間充氣展開天線支撐結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2005,37(11):1589-1591.

[2] GRAHNE M S,SIMBURGER E J.Inflatable solar arrays[J].Progress in Astronautics and Aeronautics.,2001,191:463-479.

[3] 李洋.柔性航天器在軌振動(dòng)主動(dòng)控制研究[D].西安：西安電子科技大學(xué),2013.

[4] MEIROVITCH L.Dynamics and control of structures[M].John Wiley & Sons,1990.

[5] MEIROVITCH L,SILVERBERG L M.Active vibration suppression of a cantilever wing[J].Journal of Sound and Vibration,1984,97(3):489-498.

[6] MEIROVITCH L.A modal analysis for the response of linear gyroscopic systems[J].Journal of Applied Mechanics,1975,42(2):446-450.

[7] CHANDRA R,STEMPLE A D,CHOPRA I.Thin-walled composite beams under bending,torsional,and extensional loads[J].Journal of Aircraft,1990,27(7):619-626.

[8] STEMPLE A D,LEE S W.Finite-element model for composite beams with arbitrary cross-sectional warping[J].AIAA journal,1988,26(12):1512-1520.

[9] KANE T R,RYAN R,BANERJEE A K.Dynamics of a cantilever beam attached to a moving base[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,1987,10(2):139-151.

[10] WU S C,HAUG E J.Geometric non-linear substructuring for dynamics of flexible mechanical systems[J].International Journal for Numerical Methods in Engineering,1988,26(10):2211-2226.

[11] ZHANG D J,LIU C Q,HUSTON R L.On the dynamics of an arbitrary flexible body with large overall motion:an integrated approach[J].Journal of Structural Mechanics,1995,23(3):419-438.

[12] YOO H H,RYAN R R,SCOTT R A.Dynamics of flexible beams undergoing overall motions[J].Journal of Sound and vibration,1995,181(2):261-278.

[13] YOO H H,SHIN S H.Vibration analysis of rotating cantilever beams[J].Journal of Sound and Vibration,1998,212(5):807-828.

[14] 方建士，章定國．旋轉(zhuǎn)懸臂梁的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)建模與頻率分析[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2012，29(3)：333-339.

[15] 章定國，朱志遠(yuǎn)．一類剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)的動(dòng)力剛化分析[J]．南京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2006,30(1)：21-26.

[16] 方建士，黎 亮，章定國等．基于剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)的旋轉(zhuǎn)懸臂梁的頻率轉(zhuǎn)向與振型轉(zhuǎn)換特性[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2015，51(17)：59-65.

[17] 楊輝，洪嘉振，余征躍．動(dòng)力剛化問題的實(shí)驗(yàn)研究[J]．力學(xué)學(xué)報(bào)，2004，36(1)：118-124.

[18] 楊輝,洪嘉振,余征躍.剛-柔耦合多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模與數(shù)值仿真[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào),2003,20(4):402-408.

[19] 張雷.航天器分步展開式太陽翼設(shè)計(jì)與研究[D].上海：上海交通大學(xué),2012.

[20] 張亞輝,林家浩.結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)[M].大連理工大學(xué)出版社,2007.[21] LIU Y,WU S,ZHANG K,et al.Parametrical Excitation Model for Rigid-Flexible Coupling System of Solar Power Satellite[J].Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2017.

(責(zé)任編輯周江川)

DynamicModelingandAnalysisforFlexibleSpacecraftwithDynamicStiffening

FANG Liu1, LIU Yuliang2, ZHAO Gui-ping1

(1.State key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structure, School of Aerospace， Xi’an Jiaotong University School of Aerospace, Xi’an 710049, China; 2.School of Aeronautics and Astronautics， Dalian University of Technology， Dalian 116024， China)

A satellite with flexible solar panels is studied in this paper. The rigid-flexible coupling dynamic model considering stiffening effect is proposed and compared with the traditional linear model. The partial differential equations of the attitude motion and structural vibration of the flexible satellite with considering stiffening effect are firstly derived from Hamilton’s principle. Then the linear model and the dynamic stiffening model are obtained by discretizing the partial differential equations using assumption mode method. At last, numerical simulations of the dynamic responses of the two models under certain external excitation are presented. The results show that stiffening effect has a significant influence on the flexible structure vibration, and there will be a lot of deviation between the results computed by the linear model and dynamic model under a certain external excitation.

rigid-flexible; dynamic stiffening; Hamilton’s law of variation principle; assumption mode method

2017-04-10；

：2017-04-30

：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11372237)

方柳(1990—)，女，碩士研究生，主要從事工程力學(xué)研究；劉玉亮(1991—)，男，博士研究生，主要從事大型空間結(jié)構(gòu)的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)、軌道動(dòng)力學(xué)與控制研究。

趙桂平(1958—)，女，博士，教授，主要從事工程力學(xué)研究。

10.11809/scbgxb2017.09.014

format:FANG Liu, LIU Yuliang,ZHAO Gui-ping.Dynamic Modeling and Analysis for Flexible Spacecraft with Dynamic Stiffening[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2017(9):67-72.

V411.4

：A

2096-2304(2017)09-0067-06

本文引用格式：方柳，劉玉亮，趙桂平.考慮動(dòng)力剛化的撓性航天器的動(dòng)力學(xué)建模與分析[J].兵器裝備工程學(xué)報(bào)，2017(9):67-72.