淺談高中生數(shù)學(xué)審題能力的培養(yǎng)

王和卓

摘 要：著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)：“最糟糕的情況是學(xué)生沒(méi)有弄清問(wèn)題就進(jìn)行演算和作圖?！笔聦?shí)上，對(duì)審題掉以輕心，會(huì)使解題陷入困難或繁冗之中。因此培養(yǎng)學(xué)生的審題能力、掌握正確的審題方法、形成良好的審題能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容。

關(guān)鍵詞：解題；審題；審題教學(xué)；審題能力；審題方法

一、抓住關(guān)鍵詞

為了了解學(xué)生對(duì)基本技能的掌握，考查學(xué)生觀察、分析、推理等能力。在數(shù)學(xué)題編擬時(shí)，常常通過(guò)變換概念的外在形式，拓展命題條件到結(jié)論的思維要求，在審題時(shí)需通過(guò)關(guān)鍵詞發(fā)掘問(wèn)題的本質(zhì)得出正確的解題方法。

例1.若二次方程kx2-2x+k-1=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 。

本題中“二次方程”“實(shí)數(shù)根”是關(guān)鍵詞。本題若忽視第一個(gè)關(guān)鍵詞還需對(duì)k進(jìn)行討論，將陷入不必要的繁復(fù)。

二、細(xì)審題目的每一環(huán)節(jié)

審題時(shí)要注意審查從條件到結(jié)論的每一環(huán)節(jié)，明確問(wèn)題的條件、概念、定理、范圍等與結(jié)論的本質(zhì)關(guān)系，進(jìn)而制定正確的解題策略。具體環(huán)節(jié)如下：

1.審視條件

條件是解題的主要依據(jù)，充分利用條件和結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系是解題的必經(jīng)之路，也是在解題過(guò)程中最應(yīng)該重視和利用的“資源”，它反映了出題者對(duì)題目設(shè)計(jì)的一種思考。

例2.函數(shù)f（x）=ln（x2-x）的增區(qū)間為 。

本題要注意考慮函數(shù)的定義域，定義域是函數(shù)的基礎(chǔ)，忽略函數(shù)定義域的存在與作用，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)解。

2.審視結(jié)論

結(jié)論是解題的最終目標(biāo)，也是解題的一種向?qū)?。在解題的過(guò)程中，思維都是在目標(biāo)指導(dǎo)下啟動(dòng)和定向的。審視結(jié)論要注意聯(lián)系已知條件和結(jié)論間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化方法，善于從結(jié)論中提取和定理、公式等聯(lián)系，從而確定解題方法。

例3.已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y=2x上，則cos2θ= 。

解析：由角θ的終邊在直線y=2x上可得tanθ=2，cos2θ=cos2θ-sin2θ=■=■=-■。

從解析中可以看出本題的解答要注意考慮所求與已知條件之間的聯(lián)系才能夠找到解決方法。

3.審視數(shù)值

對(duì)數(shù)值的考查是解題的基本要求，特殊的數(shù)值和解題有著深刻的聯(lián)系。審視數(shù)值要觀察、分析數(shù)值之間的內(nèi)在聯(lián)系去尋找解題的思路，獲得解法。

例4.sin20°cos10°-cos160°sin10°=

解此題的關(guān)鍵是抓住題中各角之間的內(nèi)在聯(lián)系。如題中的角20°、160°，發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系是互補(bǔ)，故將20°的余弦和160°的正弦進(jìn)行互化即可。

4.審視范圍

范圍是對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式、定理及題目要求中涉及的量以及解析式的限制條件。審視范圍既要利用已知、定理、公理，又要利用好隱含的約束范圍。

例5.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知cosC+（cosA-3sinA）cosB=0。

若△ABC為銳角三角形，求■的取值范圍。

解析：由正弦定理，得∵A+B+C=？仔，∴A+C=■

■=■=■=■·■+■

由題意可知，■

教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生重視給角求角、給角求值等問(wèn)題，特別注意考慮范圍，要根據(jù)題目要求盡可能緊縮角的范圍，本題不考慮角的范圍就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)解。

三、培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行符號(hào)、圖形、文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換的能力

數(shù)學(xué)有三種語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言，它們是數(shù)學(xué)知識(shí)、思維的載體。由于數(shù)學(xué)語(yǔ)言的高度概括性和抽象性，解題時(shí)應(yīng)考慮將其轉(zhuǎn)譯為自己熟悉的、能理解的和操作的語(yǔ)言、符號(hào)、圖像等信息。

例6.已知函數(shù)f（x）=x-2+1，g（x）=kx，若f（x）=g（x）有兩個(gè)不等實(shí)根，則k的取值范圍是 。

解析：本題考查函數(shù)與方程，函數(shù)的圖像，學(xué)生要能將題目中的文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言，得出草圖，再利用數(shù)形結(jié)合確定k的范圍。作出函數(shù)圖像，由圖像易知，函數(shù)f（x）=x-2+1，g（x）=kx的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以當(dāng)直線介于l1：y=■x，l2：y=x之間時(shí)，符合題意。

四、審題時(shí)應(yīng)注意分辨題目設(shè)置陷阱

有些題目的設(shè)置并不難，但是題目里包含著刻意的陷阱，粗心的學(xué)生易忽略。要善于發(fā)現(xiàn)題目中的“機(jī)關(guān)”，題目中設(shè)的陷阱是我們失分的“隱患”。因此，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生審題時(shí)還應(yīng)做到：審題慢、答題快。審題不宜過(guò)快，而且最好二次讀題，第一次為泛讀，大致了解題目的條件和結(jié)論；第二次為精讀，根據(jù)要求找出題目的關(guān)鍵詞語(yǔ)并挖掘題目的隱含條件。

例7.（2）復(fù)數(shù)z=■的共軛復(fù)數(shù)是（ ）

在解決本題時(shí)很多學(xué)生往往忽略了共軛復(fù)數(shù)這個(gè)條件導(dǎo)致解題錯(cuò)誤，這樣的錯(cuò)誤只要精讀兩遍完全可以避免。解題時(shí)養(yǎng)成認(rèn)真審題、周密思考的良好習(xí)慣，學(xué)習(xí)捕捉題中有效信息的技能，不斷增強(qiáng)洞察力和顯化隱含條件的能力，才能不斷提升我們的審題解題能力。

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編輯 謝尾合