讓“教”更有效

李進

摘 要：數(shù)學(xué)中的命題包括：公理、定理、公式、法則、數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)等，它們在中學(xué)數(shù)學(xué)中處于重要地位，也突顯了加強中學(xué)數(shù)學(xué)命題教學(xué)的重要性。主要通過對命題教學(xué)過程中命題的引入和命題的應(yīng)用這兩個階段的討論，談?wù)劽}教學(xué)中的常用技巧，以期讓教學(xué)變得更有效。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；命題教學(xué)；技巧

命題是由概念組合而形成的，如果不能掌握中學(xué)數(shù)學(xué)的命題，就不能學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)。因此，加強中學(xué)數(shù)學(xué)命題的教學(xué)，歷來是中學(xué)教學(xué)中十分重要的任務(wù)。命題教學(xué)的過程可以分為三個階段：命題的引入、命題的證明和命題的應(yīng)用。本文以若干教學(xué)設(shè)計片段為例，談?wù)剬γ}教學(xué)的一些認識和體會。

一、命題引入形式的多樣化

命題教學(xué)中，靈活恰當?shù)卦O(shè)計引入方式，對于學(xué)生理解和掌握命題是十分有益的。具體來說，常用的引入方式有：

1.從數(shù)學(xué)知識發(fā)展內(nèi)部引入

對已有的知識進行拓展、變化，得到新的定理。

以“兩個平面平行的性質(zhì)定理”為例。

學(xué)生認識事物是一個循序漸進的過程，在這之前學(xué)習了兩個平面平行的判定定理，知識需要發(fā)展，自然需要討論分別在兩個平行平面內(nèi)直線的位置關(guān)系。因此，讓學(xué)生思考：

如果兩個平面平行，那么：

（1）一個平面內(nèi)的直線是否平行于另一個平面？

（2）分別在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線是否平行？

通過這些問題，討論分別在兩個平行平面內(nèi)直線的位置關(guān)系，進而分析區(qū)分“異面和平行”的條件，自然地引出兩個平面平行的性質(zhì)定理及其證明。

這種運用已有的公理、定理進行推理導(dǎo)入新命題的引入方式，屬于從數(shù)學(xué)知識發(fā)展內(nèi)部引入。這類引入的例子還有很多，例如：從已知定理出發(fā)，運用命題形式的關(guān)系，構(gòu)造其逆命題、否命題或逆否命題得到新命題，從而培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，開闊學(xué)生的視野。新的知識都是在已有知識基礎(chǔ)上發(fā)展演變而來的，在教學(xué)過程中，要讓學(xué)生經(jīng)歷知識探索的過程，體會數(shù)學(xué)知識之間的緊密聯(lián)系，形成體系。

2.通過觀察、歸納引入命題

以“向量平行的坐標表示”為例。

情境：已知A（1，0）、B（2，2）、C（4，1）、D（6，5），作出以A、B、C、D為頂點的四邊形，并判斷形狀。

畫出的四邊形是梯形，引導(dǎo)學(xué)生從“形”上觀察得出■與■平行，進而提出問題：研究坐標間的關(guān)系?！?（1，2），■=（2，4），由于前面有了向量共線定理、向量坐標運算的基礎(chǔ)，可以得出■=■■，也驗證了從圖形上觀察到的結(jié)論■∥■。學(xué)生再進一步觀察得到■與■的坐標滿足■=■。這時，教師再提出問題：能不能直接利用坐標判斷向量是否平行？

設(shè)計意圖：從“形”的角度觀察向量平行，從“數(shù)”的角度探究坐標關(guān)系。

問題1：向量a=（3，4）與b=（6，y）平行，則y=________.

設(shè)計意圖：驗證剛才所得的結(jié)論（猜想）。教師追問學(xué)生：你是怎么得到的？追問理由，暴露思維過程，對后面定理的證明有簡化的效果。

問題2：向量a=（1，-4）與b=（-2，8）是否平行？為什么？

設(shè)計意圖：利用向量共線定理，b=-2a，得到a∥b。進一步引導(dǎo)學(xué)生利用坐標判斷向量平行。

問題3：你能用自己的語言說出兩個平行向量的坐標滿足什么條件嗎？

在這個過程中，學(xué)生得出的結(jié)論可能是：a=（x1，y1），b=（x2，y2），如果a∥b，則■=■；反過來，如果■=■，則a∥b。這時教師追問學(xué)生：還能怎么表示？這是重要提示語，幫助學(xué)生從多角度看待同一數(shù)學(xué)對象，這種情況在學(xué)習平面解析幾何中直線平行的條件時也會遇到。最后師生不斷修正，共同得出結(jié)論：

設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2）（a≠0），如果a∥b，那么x1y2-x2y1=0；

反過來，如果x1y2-x2y1=0，那么a∥b。

設(shè)計意圖：用觀察、歸納的方法引入命題，通過問題串的方式突破難點。將結(jié)論一般化，讓學(xué)生體會“特殊到一般”“具體到抽象”的數(shù)學(xué)思想方法。

3.通過類比引入命題

類比在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動中具有十分重要的作用，應(yīng)該讓學(xué)生學(xué)會自覺、科學(xué)地把類比方法運用到發(fā)現(xiàn)活動中。

以“正整數(shù)平方和公式的推導(dǎo)”為例。

記S1（n）=1+2+3+…+n；S2（n）=12+22+32+…+n2；S3（n）=13+23+33+…+n3。

把正整數(shù)的平方和按以下方式表示出來，有

12=1，

22=（1+1）2=12+2×1+1，

32=（2+1）2=22+2×2+1，

42=（3+1）2=32+2×3+1，

…

n2=（n-1）2+2（n-1）+1，

左右兩邊分別相加，得S2（n）=[S2（n）-n2]+[2S1（n）-2n]+n，

等號兩邊的S2（n）被消去了，所以無法從中求出S2（n）的值，但是卻求出了S1（n）的值。那么，通過類比，能否求出S2（n）的值呢？事實上，通過類似的方法，利用S3（n）確實求出了S2（n）的值。

類似的例子還有很多，比如：由梯形的面積公式類比得到棱臺的體積公式；由橢圓的性質(zhì)類比得到雙曲線的性質(zhì)等等。把兩個數(shù)學(xué)對象進行類比，開始可能只是模糊的念頭，通過分析，清晰地認識到它們之間的“相似性”才會有科學(xué)的類比推理。數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動是一個探索創(chuàng)造的過程，而類比推理具有提出猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論、提供思路的作用。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求通過各種不同形式的自主學(xué)習、探究活動，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識?！泵}的引入處于課堂的起始階段，設(shè)置有吸引力的問題情境就很重要，可以激發(fā)學(xué)生研究解決問題的興趣。布魯納認為：“學(xué)生不是被動的知識接受者，而是主動的信息加工者。教師要引導(dǎo)學(xué)生主動參與、積極探索、發(fā)現(xiàn)結(jié)論?！焙玫囊敕绞娇梢宰寣W(xué)生經(jīng)歷、探索、發(fā)現(xiàn)知識，顯然更符合課程標準要求。命題教學(xué)屬于新授課，在教學(xué)過程中要注意揭示隱含的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。例如，“向量平行的坐標表示”設(shè)計中，設(shè)置的情境以知識為載體，讓學(xué)生體會“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想方法。問題3將結(jié)論一般化，讓學(xué)生體會“特殊到一般”“具體到抽象”的數(shù)學(xué)思想方法等等。

二、加強命題的應(yīng)用

知識學(xué)習的目的是用來解決問題的，只有在解決具體問題中，才能更好地體會命題的用途。命題的應(yīng)用又是訓(xùn)練學(xué)生邏輯推理能力的重要途徑，因此，命題的應(yīng)用是命題教學(xué)中不可缺少的重要環(huán)節(jié)。教學(xué)中要注意安排合適的例題，以達到鞏固應(yīng)用所學(xué)知識的目的。

1.直接應(yīng)用

例題的選擇最重要的是要結(jié)合教學(xué)目的進行選擇，要由淺入深，由簡到繁，由易到難，循序漸進。適當?shù)臅r候可以補充變式訓(xùn)練，也要注意滲透數(shù)學(xué)思想方法。還是以“向量平行的坐標表示”一課為例。

例1.已知a=（1，0），b=（2，1），當實數(shù)k為何值時，向量ka-b與a+3b平行？并確定此時它們是同向還是反向？

解法1：坐標法；解法2：平面向量共線定理。

設(shè)計意圖：解法1讓學(xué)生熟練掌握向量平行的坐標表示；解法2是用向量解決向量問題。兩種解法都涉及坐標運算，讓學(xué)生感受到坐標運算的簡捷，體會到形式化運算的優(yōu)點，兩種解法使學(xué)生思路變得更寬了。向量的表示形式有三種：幾何表示、符號表示、坐標表示?！皫缀伪硎尽眰?cè)重向量的“形”，“坐標表示”側(cè)重向量的“量”，“符號表示”兩者兼有。在學(xué)習向量時，不總是用坐標，還得多考慮用向量解決問題。

變式訓(xùn)練1：若向量a=（2，x）與b=（x，6）共線且方向相同，求x的值。

例2.已知點O、A、B、C的坐標分別為（0，0），（3，4），（-1，2），（1，1），是否存在常數(shù)t，使得■+t■=■成立？解釋你所得到的結(jié)論的幾何意義。

解法1：坐標法；解法2：由■+t■=■，可得到■-■=t■，即■=t■。

所以，只有當向量■與■共線時，才存在這樣的常數(shù)t。而■=（-2，-3），■=（-1，2），它們不平行。因此，不存在滿足題意的常數(shù)t。

設(shè)計意圖：本題進一步讓學(xué)生熟練掌握向量平行的坐標表示；解法2體現(xiàn)了“化歸思想”。通過訓(xùn)練，學(xué)生對所學(xué)知識能理得清，記得住，算得準。

變式訓(xùn)練2：若A（-1，-2），B（4，8），C（5，x），且A、B、C三點共線，則x=________。

變式訓(xùn)練3：已知O（0，0），A（1，2），B（4，5）及■=■+t■，求t為何值時，（1）P在x軸上？（2）P在第二象限？

2.變式應(yīng)用

有些命題形式簡單但是變式多樣，教學(xué)中應(yīng)該通過對變式的構(gòu)造，加深學(xué)生對命題本質(zhì)的理解。以“基本不等式”為例。

基本不等式內(nèi)容為：如果a，b是正數(shù)，那么■≤■（當且僅當a=b時取“=”）。

例3.已知a>0，b>0，求證：

（1）■+■≥2；（2）a+■≥2。

設(shè)計意圖：將■、■，a、■分別看作一個整體，分析條件，判斷是否滿足基本不等式的條件，再運用基本不等式解題。讓學(xué)生熟練掌握基本不等式，體驗不等式變形的兩種方法：恒等變形和代換。加深對基本不等式本質(zhì)特征的認識，體會用變化的觀點看待事物。

例4.已知a、b、c都是正數(shù)，求證：

（1）■+■+■≥6；（2）a+b+c≥■+■+■。

設(shè)計意圖：分析題目條件并進行適當?shù)淖冃危寣W(xué)生熟練運用基本不等式。

例5.已知函數(shù)y=x+■（x>-2），求此函數(shù)的最小值。

設(shè)計意圖：此例題是應(yīng)用基本不等式求最值。首先要對表達式進行恰當?shù)淖冃闻c轉(zhuǎn)化，然后再使用基本不等式求最值。要注意滿足三個條件：“一正、二定、三相等”，即使用基本不等式時，各項必須為正數(shù)，放縮后所得的值必須是一個定值，且等號必須能取到。

總之，要理清命題的條件和結(jié)論，尋找題目條件，更重要的是例題的選擇要有層次，要有目的性和科學(xué)性。適當?shù)臅r候還要選取一些以實際生活為背景的例題，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識與實際生活的密切聯(lián)系，同時也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在社會發(fā)展中的重要作用，最終使學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)價值觀。

參考文獻：

[1]錢國元.如何進行數(shù)學(xué)命題的教學(xué)[J].職業(yè)，2011（9）.

[2]胡曉靜.數(shù)學(xué)命題教學(xué)中的導(dǎo)學(xué)案運用策略分析[J].語數(shù)外學(xué)習，2013（2）.

編輯 任 壯