Besov空間到Bloch型空間上的加權(quán)微分復(fù)合算子

許毅，侯曉陽

(1.溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州325035；2.溫州商學(xué)院基礎(chǔ)部，浙江溫州325035)

Besov空間到Bloch型空間上的加權(quán)微分復(fù)合算子

許毅1，侯曉陽2*

(1.溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州325035；2.溫州商學(xué)院基礎(chǔ)部，浙江溫州325035)

設(shè)φ為單位圓盤?上的解析自映射，u為?上的解析函數(shù)。本文討論從Besov空間Bp,q到α-Bloch型空間的加權(quán)微分復(fù)合算子Dnφ,u，通過構(gòu)造復(fù)雜的檢驗(yàn)函數(shù)得出了算子有界性和緊性的充分必要條件。

有界性；緊性；加權(quán)微分復(fù)合算子；Besov空間；Bloch型空間

設(shè)0＜p＜∞，-1＜q＜∞，若函數(shù)f滿足：

特別地，當(dāng)α=1時(shí)，為Bloch空間。在范數(shù)下

設(shè)D=D1是微分算子，即有

定理1上非常值的解析自映射，且0＜p＜∞，-1＜q＜∞，則加權(quán)微分復(fù)合算子是有界算子的充分必要條件是

定理2設(shè)上非常值的解析自映射，且0＜p＜∞，-1＜q＜∞，則加權(quán)微分復(fù)合算子是緊算子的充分必要條件是是有界算子，且

在無其他說明的情況下，以下均假設(shè)：

另外，E表示與z，w等無關(guān)的正常數(shù)，且在不同的地方可以表示不同的數(shù)。

1 定理1 的證明

為了證明定理1，我們需要用到下述引理。

引理1[8]設(shè)，則有

并且

下面證明定理1。

證明充分性：對(duì)任意f(z)∈Bp,q，根據(jù)三角不等式和引理1，有

由式(5)，(6)得到

因此由式(7)-(11)及?α中范數(shù)的定義，得

由上式可知

由(12)及(13)可得(1)成立。

對(duì)(2)式，同樣固定ω∈?，考察函數(shù)

2 定理2 的證明

在定理2證明過程中需要用到下面引理。

引理2設(shè)上非常值的解析自映射是緊算子的充分必要條件是是有界算子，且對(duì)于Bp,q中在?上內(nèi)閉一致收斂于0的有界函數(shù)序列{fk}，有

引理2是文獻(xiàn)[9]中的命題3.11的特殊情況，取X=Bp,q，Y=Bα即可。

定理2的證明如下。

由于fk在?的緊子集上一致收斂于0，由Weierstrass定理可知在的緊子集上也一致收斂于0，又因?yàn)槭怯薪缢阕?，由定?可得(1)，(2)成立，因此存在使得當(dāng)k＞K0時(shí)，有

所以fk在的緊子集上一致收斂于0。

由引理2，結(jié)合式(16)可知

因此(3)成立。

對(duì)(4)式，取檢驗(yàn)函數(shù)

類似(3)證明討論可得。

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Weighted differentiation composition operators from Besov spaces to Bloch type spaces

XU Yi1，HOU Xiao-yang2*
(1.College of Mathematics and Information Science，Wenzhou University,Wenzhou ZheJiang325035,China;2.Department of Basics,Wenzhou Business College,Wenzhou ZheJiang325035,China)

letbe an analytic self-map of the unit disk,andube an analytic function on.The boundedness and compactness of the weighted differentiation composition operatorDnφ,ufrom Besov spaceBp,qtoα-Bloch type spaceis discussed in this paper,and some necessary and sufficient conditions are obtained by constructing complex test functions.

boundedness;compactness;weighted differentiation composition operator;Besov space;Bloch type space

O177.2

A

1004-4329（2017）01-013-04

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2017）01-013-04

2016-11-10

侯曉陽（1982-），男，碩士，講師，研究方向：算子理論與泛函分析。Email：xyhou@wzbc.edu.cn。