一個與3×3矩陣譜問題相關(guān)孤子方程的Darboux變換及精確解

張鑫，李新

（1.合肥科技職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽合肥230000；2.合肥師范學(xué)院實(shí)驗(yàn)實(shí)訓(xùn)中心，安徽合肥230601）

一個與3×3矩陣譜問題相關(guān)孤子方程的Darboux變換及精確解

張鑫1，李新2

（1.合肥科技職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽合肥230000；2.合肥師范學(xué)院實(shí)驗(yàn)實(shí)訓(xùn)中心，安徽合肥230601）

主要研究孤子方程的Darboux變換問題。文章從一個含兩個位勢的譜問題出發(fā)，構(gòu)造其Darboux變換，并從在理論上給其證明，利用這種Darboux變換，就可以得到這組孤子方程多孤子解的一般表達(dá)式，以平凡解u=v=0作為種子解，得出精確解。通過Mathematica軟件，繪制出其優(yōu)美孤子圖形。

孤子方程；Darboux變換；精確解；譜問題

日常生活中很多現(xiàn)象是由非線性規(guī)律來支配的。非線性科學(xué)已成為數(shù)學(xué)及整個自然科學(xué)研究的焦點(diǎn)，它主要包含三個核心問題：分形，混沌，孤子。孤子理論是以上三大核心問題之一[1-2]。尋求孤子方程的精確解一直是孤子理論探討的重要問題。Darboux變換[3-6]是一種構(gòu)造孤子方程顯式解的非常有效的方法，它從孤子方程的一個平凡解（常稱作種子解）出發(fā)能夠得到孤子方程的非平凡精確解[7-9]。本文討論孤子方程[10]

第一部分表達(dá)譜問題的Darboux變換，第二部分利用Darboux變換產(chǎn)生孤子方程的新精確解，并給出優(yōu)美孤子圖形。

1 Darboux變換

首先引入一個3×3矩陣譜問題以及與之相應(yīng)的輔譜問題

其中U,V是以下矩陣形式：

上式中的λ是等譜參數(shù)，u(x,t),w(x,t)是位勢，而

由相容條件φxt=φtx可得零曲率方程

由(3)直接計(jì)算，得到如下孤子方程即（1）

為確定譜問題(2)的Darboux變換，我們先引入譜問題(2)的規(guī)范變換

這里的T可由下兩式確定

從而譜問題(2)轉(zhuǎn)化為

若譜問題的規(guī)范變換將譜問題轉(zhuǎn)化為相同形式的譜問題，則譜問題的規(guī)范變換稱為Darboux變換。由于U,V和具有相同形式，可得T=(tij)3×3的形式為

不妨令以下

上式可以寫成線性系統(tǒng)

將(8)中的tij(i,j=1,2,3)代入(9)得

另一方面，由(9)可知

所以

這表明λj(1≤j≤3N)是Det(λ)的根(μ與λ無關(guān))。

命題1由式子確定的矩陣與U具有相同的形式，即可以表示為

下面變換

將原位勢u,w映射為新位勢。

證明設(shè)的伴隨矩陣）且

易證fsl(s,l=1,2,3)是關(guān)于λ的3N+1次或3N次多項(xiàng)式。當(dāng)λ=λj(j=1,2,…,3N)時，通過(2)和(9)得出如下關(guān)系式

利用(15)可以得到所有的λj(j=1,2,…,3N)都是的根。故(14)能改寫為

對比上式中的λN+1,λN和λN-1的系數(shù)，可以得

注計(jì)算式(21),(23)時需用式(26),計(jì)算(22)時需用式(25),(28)。對比(5)和(18)，易得

運(yùn)用命題1的證明方法，同理可以得到。

命題2由式子確定的矩陣與V具有相同的形式，即為

在Darboux變換(4)和(13)作用下，將原位勢u,w映射為新位勢。其中

由命題1和命題2可知，Darboux變換(4)和(13)將Lax對(2)映射為形式相同的Lax對(7)，且由相容條件可知，兩個Lax對都能得到孤子方程(1)。由以上所述可得：

定理1孤子方程(1)在Darboux變換(4)和(13)作用下，將一個解(u,w)映射為另一個解其中包含的由線性系統(tǒng)(9)唯一確定。

2 新精確解

其中，

根據(jù)線性系統(tǒng)(9)，在簡單情況N=1時，利用Cramer法則求得，孤子方程(1)的平凡解為

利用上面的Darboux變換可以得到孤子方程(1)的一系列精確解。以它的一平凡解u=w=0作為種子解，代入Lax對(2)中，可以得到(2)的一組基本解。它的三個基本解分別為

根據(jù)式(11)有

選取適當(dāng)?shù)膮?shù)可以得到以下的孤子圖解。這里,

圖1 由（35）式?jīng)Q定的孤子解圖

通過上述的討論，我們找出了它的新精確解，也進(jìn)一步了解了Darboux變換的方法和技巧，同時也使得我們以后可以更好的解決此類問題。

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The Darboux transformation of a soliton equation associated with 3×3matrix spectral problem and its explicit solutions

ZHANG Xin1，LI Xin2
(1.Department of Basic Courses,Hefei Science and Technology College,Hefei Anhui230000,China；2.Experimental training Center,Hefei Normal University,Hefei Anhui230601,China)

The Darboux transformation of a soliton equation with3×3matrix spectral problem was studied.Beginning with the matrix spectral problem which contains two potentials,the Darboux transformation was constructed,and the results were proved completely in terms of the theory.Using this Darboux transformation,the general expression of this hierarchy of nonlinear differential-difference equations can be obtained from a trivial seedu=v=0,obtaining explicit solutions.With the help of Mathematica,some figures are plotted.

soliton equation;Darboux transformation;explicit solutions;spectral problem

O175.3

A

1004-4329（2017）01-008-05

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2017）01-008-05

2016-11-07

張鑫（1988-），男，碩士，講師，研究方向：孤立子與可積系統(tǒng)。