改進(jìn)EEMD方法及混沌降噪應(yīng)用研究

位秀雷， 林瑞霖， 劉樹勇， 楊慶超

(1. 中國人民解放軍91404部隊，河北 秦皇島 066000; 2. 海軍工程大學(xué) 動力工程學(xué)院，武漢 430033)

改進(jìn)EEMD方法及混沌降噪應(yīng)用研究

位秀雷1， 林瑞霖2， 劉樹勇2， 楊慶超2

(1. 中國人民解放軍91404部隊，河北 秦皇島 066000; 2. 海軍工程大學(xué) 動力工程學(xué)院，武漢 430033)

在總體平均經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD)降噪過程中，對本征模態(tài)分量(Intrinsic Mode Function，IMF)的有效處理一直是影響降噪效果的關(guān)鍵。為此，提出一種基于改進(jìn)EEMD的去噪方法?；凇?σ”法則和奇異值分解(Singular Value Decomposition，SVD)提取第一個IMF分量中有用信號細(xì)節(jié)。利用連續(xù)均方誤差準(zhǔn)則對剩余IMF分量進(jìn)行高低頻區(qū)分，分別使用SVD和S-G算法提取高低頻分量的有用信號，可以有效避免了高頻部分有用信號的流失，同時剔除低頻分量中的部分噪聲，克服了EEMD去噪時IMFs難以有效處理的不足。為了驗證該方法的有效性，進(jìn)行了數(shù)字仿真與雙勢阱混沌振動試驗，結(jié)果表明，該方法的降噪效果優(yōu)于小波加權(quán)和EEMD去噪方法。

總體平均經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解；混沌信號；奇異值分解；降噪；S-G濾波

混沌振動信號在采集過程中不可避免受到復(fù)雜噪聲干擾，極大干擾了信號真實信息的解讀，從而影響了混沌振動信號控制、識別、預(yù)測等進(jìn)一步分析，并且混沌復(fù)雜的動力學(xué)行為使其具有功率譜寬帶性和似噪聲性，其頻帶與疊加噪聲的頻帶往往全部或部分重疊，傳統(tǒng)的線性去噪方法很難實現(xiàn)有效濾波[1]。

Huang等[2]提出了一種新的信號處理方法-EMD(Empirical Mode Decompomposition)方法。與小波變換方法相比，EMD無需信號的先驗知識，其分解完全依賴信號本身，數(shù)據(jù)分解真實可靠，因此被廣泛應(yīng)用于機(jī)械振動信號分析[3-6]。但是，在脈沖強(qiáng)干擾的影響下，EMD分解出來的本征模態(tài)分量(Intrinsic Mode Function，IMF)會發(fā)生畸變，導(dǎo)致信號失真[7]，且EMD本身存在一些不足，如模式混疊、端點效應(yīng)、停止條件等[8]。為了抑制模式混疊，Wu等[9]提出了總體平均經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解方法，有效地克服了這一缺陷。在IMF處理過程中，文獻(xiàn)[10]將EEMD 方法用于對疲勞應(yīng)變信號降噪，其方法是對信號做EEMD 分解后，選取IMF 分量來重構(gòu)信號以對疲勞信號降噪，但文中也未說明IMF分量的選取方法；陳仁祥等基于能量密度與其平均周期的乘積為一常量這一特點，設(shè)計了自動選擇IMF 分量重構(gòu)信號的算法。但是，EEMD的時空域算法因簡單地去掉1個或多個IMF分量實現(xiàn)去噪，會導(dǎo)致相應(yīng)分量上的有效信號一起被剔除，進(jìn)而導(dǎo)致信號失真，為了在分離噪聲的過程中盡可能地保留有用信號，本文提出了改進(jìn)EEMD降噪方法。首先對信號進(jìn)行EEMD分解，分析各IMF分量特性，然后分別使用“3σ”法則、奇異值分解[11]和S-G濾波方法對IMF分量進(jìn)行處理，克服了EEMD去噪時IMFS選擇的難題。為了驗證本文方法的有效性，進(jìn)行了數(shù)字仿真與雙勢阱混沌振動試驗，結(jié)果表明，本文方法優(yōu)于小波加權(quán)和傳統(tǒng)的EEMD去噪方法。

1 EEMD原理

利用EMD進(jìn)行信號處理時，由于異常事件干擾導(dǎo)致極值點分布不均勻產(chǎn)生了模式混疊現(xiàn)象。為此，Wu等將白噪聲加入待分解信號來抑制異常事件，利用白噪聲頻譜的均勻分布來使不同尺度的信號自動分布到合適的參考尺度上。同時，利用白噪聲的零均值特性，經(jīng)過多次平均使噪聲相互抵消，從而抑制甚至完全消除噪聲的影響。EEMD的本質(zhì)就是疊加高斯白噪聲的多次經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸?，其步驟如下：

(1) 在原始信號x(t)中疊加均值為0，幅值和標(biāo)準(zhǔn)差為常數(shù)的高斯白噪聲ni(t)，i=1～M，疊加次數(shù)為M(M>1)，即：

xi(t)=x(t)+ni(t)

(1)

(2) 對xi(t)進(jìn)行EMD分解，得到N個IMF記為aij(t)，j=1～N，余項表示為ri(t)。其中aij(t)表示第i次疊加高斯白噪聲后，分解得到的第j個IMF分量。

(3) 由于不相關(guān)隨機(jī)序列的統(tǒng)計均值為0，所以將以上步驟所得的IMF進(jìn)行平均運算，即可消除多次疊加高斯白噪聲對真實IMF的影響，平均后得到的IMF為

(2)

式中，aj(t)表示對原始信號進(jìn)行EEMD分解后所得的第j個IMF分量。

2 閾值決策方法

2.1利用“3σ”法則和SVD提取IMF1中的有用信號

信號經(jīng)EEMD去噪處理，通常認(rèn)為第一層IMF分量全部由噪聲構(gòu)成，但隨著學(xué)者深入研究發(fā)現(xiàn)，IMF1中仍含有一定量的信號成分[12]。提取IMF1中的信號細(xì)節(jié)成分，會提高去噪效果，減少信號失真。但由于缺乏先驗知識，因此，對IMF1處理仍是個難題。在IMF1中，噪聲占絕大部分，僅有少量的信號細(xì)節(jié)成分，且所含噪聲仍近似服從零均值正態(tài)分布，文獻(xiàn)[12]利用“3σ”法則進(jìn)行細(xì)節(jié)信息提取。

(3)

由式(3)可以看出，“3σ”法則提取的細(xì)節(jié)分量是一種窄時間段的高幅值沖擊信號，圖1是利用“3σ”法則對信噪比為5 dB的Lorenz時間序列經(jīng)EEMD分解后IMF1提取的細(xì)節(jié)信息，顯然，直接把其作為IMF1提取的有用信號是不合理的，并且經(jīng)大量仿真實驗證明：信號含噪聲強(qiáng)度越大，“3σ”法則提取的細(xì)節(jié)分量就越多；反之，越少，甚至當(dāng)噪聲強(qiáng)度小至系數(shù)幅值都小于3σ，就提取不到任何細(xì)節(jié)分量，圖2是利用“3σ”法則對信噪比為15 dB的Lorenz時間序列經(jīng)EEMD分解后IMF1提取的細(xì)節(jié)信息。因此需分兩種情況對進(jìn)行處理，第一是“3σ”法則提取的細(xì)節(jié)分量不為零，即對象是噪聲強(qiáng)度大的混沌信號；第二是是“3σ”法則提取的細(xì)節(jié)分量為零，即對象噪聲強(qiáng)度小的混沌信號。

圖1 SNR為5 dB的IMF1細(xì)節(jié)

圖2 SNR為15 dB的IMF1細(xì)節(jié)

對于第二種情況，噪聲強(qiáng)度較小，利用傳統(tǒng)的非線性去噪方法即可取得較好的降噪效果，本文不再詳述。第一種情況，即低信噪比、高強(qiáng)度的混沌含噪信號，先利用“3σ”法則提取IMF1的細(xì)節(jié)分量，再采用奇異值分解(SVD)方法對有用信號進(jìn)行提取，SVD降噪的關(guān)鍵在于選擇合適的奇異值進(jìn)行重構(gòu)，由于“3σ”法則提取IMF1的細(xì)節(jié)分量可以作為IMF1所含有用信號估計的先驗知識，因此可以利用有用信號能量相近原則選取SVD重構(gòu)的奇異值個數(shù)。具體的步驟如下：

1) 利用式(3)對進(jìn)行IMF1細(xì)節(jié)提取；

2) 利用下式估計IMF1所含有用信號的能量；

(4)

式中：M為滿足“3σ”法則條件的本征模態(tài)分量個數(shù)。

3) 對IMF1進(jìn)行奇異值分解，假設(shè)分解后奇異值為λ=[λ1,λ2,…,λn]，若選擇前k個特征值重構(gòu)得到降噪后的信號S=[S1,S2,…,Sk]，則根據(jù)下式便可求出k的值：

(5)

2.2SVD提取高頻分量中的有用信號

由于含噪信號經(jīng)EEMD分解，IMF1相當(dāng)于一個高通濾波器，其頻譜占據(jù)了原始信號所含頻譜的一半，白噪聲的各階IMF的能量密度按照2倍關(guān)系逐漸遞減，即隨著IMF階數(shù)的增加白噪聲的比重大幅度減少，而有用信號的比重大幅度增加，因此對于高頻IMF，IMF1經(jīng)奇異值分解，各個特征量比較平均，而其他IMF經(jīng)奇異值分解后，信號的特征值會明顯大于噪聲的特征值，依據(jù)這一特性，便可利用差分譜的方法選擇合理的奇異值個數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，達(dá)到去噪目的。

首先，需要對IMF分量進(jìn)行高低頻區(qū)分，噪聲主要分布在高頻IMF分量上，而信號主要分布在低頻IMF分量上，因此可以利用連續(xù)均方誤差準(zhǔn)則[13](Consecutive Mean Square Error，CMSE)對信號分量起主導(dǎo)作用模態(tài)與噪聲起主導(dǎo)作用模態(tài)進(jìn)行區(qū)分，即找到一個索引值js，使得從該索引開始往后的IMF分量對信號進(jìn)行重構(gòu)的誤差最小。

(6)

式中：N為信號長度；n為IMF分量的個數(shù)；IMFk(ti)表示第k個IMF的第ti個分量的重構(gòu)誤差，基于該準(zhǔn)則，索引值js可由下式給出：

(7)

式中，arg min表示重構(gòu)誤差取最小的函數(shù)。

2.3S-G濾波方法平滑低頻分量

由于低頻IMF分量中大部分都是有用信號，噪聲成分比較少，所以奇異值分解后特征值分布比較平均，不適合利用SVD提取有用信號。趙志宏等指出Savitaky-Golay濾波算法對低頻IMF分量有很好的降噪效果，因此，本文低頻IMF分量按式(8)做SG平滑處理。設(shè)ci是其中的一個IMF分量系數(shù)，在ci附近以nl+nr+1個點在最小二乘意義下擬合一個M次多項式pi(c)，多項式pi(c)在ci的值，即光滑數(shù)值gi表示為

(8)

式中：nl為ci左邊點的個數(shù)；nr為ci右邊點的個數(shù)；bp為多項式的系數(shù)。設(shè)實測數(shù)據(jù)為yi，為了使pi(c)擬合測試數(shù)據(jù)，必須定義系數(shù)bp，使得式(9)達(dá)到最優(yōu)。

(9)

3 閾值決策降噪仿真分析

實驗信號為Lorenz方程產(chǎn)生的混沌信號，如圖3所示。

(10)

其中參數(shù)分別為：a=10，r=34，c=8/3。

(a) 原始時間序列

(b) 信噪比SNR=5 dB的含噪序列

圖4是Lorenz時間序列的EEMD結(jié)果，包括7個IMF分量(IMF1～7)和一個余項(res)，根據(jù)式(6)，(7)計算索引值js=4，即IMF1～3為高頻噪聲主導(dǎo)，IMF4～7為低頻信號主導(dǎo)，因此，EEMD閾值決策降噪的步驟具體為：

1) 對IMF1依據(jù)“3σ”法則和SVD提取有用信號細(xì)節(jié)d1。圖5為IMF1經(jīng)SVD后的特征值，可以看出，特征值分布比較均勻，利用差分譜選取特征值個數(shù)無法取得理想效果，而先利用“3σ”法則估計IMF1中信號分量的能量，為SVD特征值的選取提供先驗知識，則可達(dá)到較好的降噪效果。去噪后的信號d1如圖6所示，相比于圖1，提取的信號比較均勻，更為合理，由于提取的信號僅占第一個IMF分量的0.003，因此，信號幅度很小。

圖4 Lorenz信號EEMD結(jié)果

圖5 IMF1SVD的特征值

圖6 去噪后的IMF1

2) 利用SVD提取高頻分量的有用細(xì)節(jié)。由于分解得到的IMF分量頻率按2的指數(shù)降冪排列，IMF分量頻率驟降，利用連續(xù)均方誤差準(zhǔn)則確定高低頻分界點js=4，即噪聲起主導(dǎo)作用的模態(tài)為IMF2、IMF3，圖7為IMF2、IMF3經(jīng)SVD后的特征值，可以看出，前面幾個特征值比較大，后面的比較均勻，利用差分譜選取特征值個數(shù)即可取得理想效果，重構(gòu)選定的奇異值，得到d2、d3，如圖8所示。

(a) IMF2 SVD的特征值

(b) IMF3SVD的特征值

(a) 去噪后的IMF2

(b) 去噪后的IMF3

3) 對剩余IMF分量利用Savitaky-Golay濾波算法進(jìn)行平滑處理。SG算法的擬合階數(shù)取3，數(shù)據(jù)窗口為15，得到d4～d8。

4) 重構(gòu)信號x_denoised(t)=d1+d2+…+d8。

為了對比降噪效果，對Lorenz含噪序列分別采用小波加權(quán)閾值去噪方法[14]、傳統(tǒng)EEMD和所提方法進(jìn)行降噪處理，小波加權(quán)閾值去噪方法基小波選取“sym8”小波，分解層數(shù)為5；傳統(tǒng)EEMD降噪中，采用硬閾值方法，3種方法對5 dB的Lorenz含噪序列的去噪效果如圖9所示。對于模型已知的Lorenz時間序列，采用信噪比SNR和均方誤差MSE來評價降噪效果，SNR越大，MSE越小，降噪效果越好。為了全面檢驗3中方法對不同噪聲強(qiáng)度的含噪信號的去噪效果，分別計算對SNR=0 dB、5 dB、10 dB、15 dB的Lorenz含噪序列降噪后的SNR和MSE，詳見表1。

由圖9可以看出，小波加權(quán)閾值法和EEMD方法去噪后的信號含有很多毛刺，整體不夠平滑，后者尤為突出，而本文方法去噪后的信號較為光滑平整更接近原始信號。由表1的計算結(jié)果看出，本文所提方法整體上要優(yōu)于小波加權(quán)閾值和EEMD方法，并且對較低信噪比的Lorenz含噪序列尤為突出，隨信噪比逐漸增大，3種方法的差距減小，這和2.1節(jié)中的分析一致，也是由于低強(qiáng)度噪聲對混沌時間序列的軌跡造成干擾較小，傳統(tǒng)的非線性降噪方法都比較有效。

(a) 小波加權(quán)閾值法

(b) EEMD方法

(c) 本文所提方法

降噪方法SNR/MSE0dB5dB10dB15dB小波閾值加權(quán)法14.273/0.225716.536/0.167820.305/0.07624.578/0.032EEMD14.095/0.237516.475/0.176220.257/0.08324.557/0.037本文方法15.237/0.209717.335/0.109420.828/0.05524.732/0.025

4 機(jī)械式混沌振動信號處理

混沌振動是混沌科學(xué)研究的重要課題，在混沌隔振、混沌振動壓路機(jī)等方面有著廣泛的應(yīng)用，國內(nèi)外學(xué)者圍繞混沌振動的應(yīng)用、控制和識別等問題開展了深入的研究。但是，在混沌振動信號采集過程中，難免受到周圍環(huán)境噪聲的干擾，嚴(yán)重影響了關(guān)聯(lián)維數(shù)、Lyapunov指數(shù)等混沌特征量的計算，為混沌參數(shù)區(qū)域確定和混沌控制的研究帶來了困難。

為了進(jìn)一步驗證本文所提方法對于模型未知的混沌信號的去噪效果，本文基于雙勢阱理論的單端磁吸式混沌振動試驗裝置產(chǎn)生的振動信號為對象，雙勢阱單端磁吸式混沌振動裝置如圖10所示。

實驗本質(zhì)為正弦信號的慢速頻率掃描實驗，掃描頻率范圍為5～25 Hz，采樣頻率為2 kHz，數(shù)據(jù)采集時長為5 s。調(diào)節(jié)功率放大器增益為1、激勵頻率為13 Hz時，重構(gòu)相空間參數(shù)中嵌入維數(shù)為3，延遲時間為10，得到的重構(gòu)相圖如圖11(a)所示。分別使用小波閾值加權(quán)法、EEMD和本文方法對采集的振動信號進(jìn)行降噪處理。

圖10 雙勢阱單端磁吸式混沌振動裝置

以及本文方法對原始信號進(jìn)行降噪處理，去噪后的二維相圖如圖11(b)、(c)、(d)所示，通過比較可以看出，本文方法降噪后的二維相圖曲線更加光滑，更能清晰地展現(xiàn)原信號吸引子的幾何結(jié)構(gòu)。由于原始信號為機(jī)械式振動信號，其信號和噪聲未知，不能利用SNR和MSE進(jìn)行定量比較，但是對于混沌信號，其自相關(guān)函數(shù)值比較大，且遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于噪聲的自相關(guān)函數(shù)值，因此，可以利用3種方法去噪后的自相關(guān)函數(shù)值以評價去噪效果。

(a)原始信號(b)小波加權(quán)閾值方法(c)EEMD方法(d)本文方法

圖11 振動信號去噪前后二維相圖

Fig.11 The phase diagrams of vibration signals

3種方法去噪前后的部分自相關(guān)函數(shù)值如表3所示，可以看出，原始信號受到噪聲的干擾，其自相關(guān)函數(shù)值相比去噪后要小很多，而本文所提方法降噪后序列的自相關(guān)函數(shù)值最大，進(jìn)一步展現(xiàn)了其降噪的優(yōu)越性。

通過掃頻試驗，不斷調(diào)節(jié)激振器激勵頻率(以步長0.5 Hz)和功率放大器的增益(以步長0.1 V)，利用本文方法對采集到的信號進(jìn)行降噪處理，然后分別計算降噪前后的信號的Lyapunov指數(shù)(LE)和關(guān)聯(lián)維數(shù)。當(dāng)激勵增益為1時，部分去噪前后信號特征量如表3所示，混沌運動的LE為正值且關(guān)聯(lián)維數(shù)為分?jǐn)?shù)維，去噪后信號的兩個特征量都證實系統(tǒng)運動為混沌運動，而f=14 Hz、15 Hz時，原始信號的關(guān)聯(lián)維數(shù)接近整數(shù)維，說明了噪聲干擾了系統(tǒng)特征量的計算，也證實了本文方法為實現(xiàn)混沌振動信號進(jìn)一步分析及其應(yīng)用提供了重要的前提條件。通過對本文方法降噪后信號特征量計算判斷振動的運動形式，并以激勵頻率為橫坐標(biāo)，激勵增益為縱坐標(biāo)作出系統(tǒng)不同響應(yīng)的參數(shù)區(qū)域圖，如圖12所示，從圖中可以明顯獲得混沌運動的參數(shù)區(qū)域。

表2 3種方法去噪后部分自相關(guān)函數(shù)值

表3 部分實測信號的特征指數(shù)

5 結(jié) 論

基于總體平均經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解，提出一種閾值決策的去噪方法。信號經(jīng)總體模態(tài)分解得到固有模態(tài)函數(shù)分量，首先根據(jù)“3σ”法則和SVD提取第一個IMF分量中有用信號細(xì)節(jié)。然后，利用連續(xù)均方誤差準(zhǔn)則對剩余IMF分量進(jìn)行高低頻區(qū)分，分別使用SVD和S-G算法提取高低頻分量的有用信號，可以有效避免了高頻部分有用信號的流失，同時剔除低頻分量中的部分噪聲，克服了EEMD去噪時IMFs選擇的難題。最后通過對多普勒仿真信號和實測振動信號進(jìn)行去噪分析，結(jié)果表明，本文方法是非常有效的。

圖12 系統(tǒng)不同響應(yīng)的參數(shù)區(qū)示意圖

致謝：感謝楊慶超講師和Southampton University Solent Institution of Acoustic: Jian Jiang James, Chris, Lee, Lawrance的討論。

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Ade-noisingmethodforchaoticsignalsbasedonimprovedEEMD

WEI Xiulei1, LIN Ruilin2, LIU Shuyong2, YANG Qingchao2

(1. NO.91404 troops of PLA , Qinhuangdao, 066000, China; 2. College of Power Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033, China)

In de-noising process using the ensemble empirical mode decomposition (EEMD), the effective treatment of intrinsic mode functions (IMFs) is a key affecting noise reduction effect. Here, an improved EEMD de-noising method was proposed. Firstly, the useful signal details of the first IMF were extracted based on the “3σ” criterion and the singular value decomposition (SVD). Then the remaining IMFs were divided into higher frequency components and lower ones based on the consecutive mean square error (CMSE). Secondly, useful signals in higher frequency components and lower ones were extracted based on SVD and Savitzky-Golay(S-G) filtering method, respectively. Thus, the loss of useful signals in higher frequency components was avoided while parts of noise in lower frequency components were removed effectively to overcome the shortcoming of IMFs being difficult to treat with EEMD to do de-noising. In order to evaluate the effectiveness of the proposed method, the test rig of leaf spring based on the double-potential well theory was made and the test results showed that the proposed method is better than the wavelet weighted parameters method and the EEMD de-noising one.

ensemble empirical mode decomposition (EEMD); chaotic signal; singular value decomposition (SVD); denoising; Savitzky-Golay (S-G) filtering

國家自然科學(xué)基金(51579242；51179197)；國家自然科學(xué)基金青年基金(51509253)；海軍工程大學(xué)科研基金(425517K143)

2016-04-18 修改稿收到日期：2016-07-16

位秀雷 男,博士生，1988年生

劉樹勇 男,博士,副教授,碩士生導(dǎo)師，1975年生 E-mail:wxlcln@163.com

TN911

： A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.17.006