關(guān)于高中數(shù)學(xué)恒成立的解題方法和思路的探索

任輝

高中數(shù)學(xué)在高考中所占的比分是非常大的，所以數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)必須得到我們的重視。數(shù)學(xué)中的恒成立問(wèn)題更是重中之重，所以學(xué)習(xí)并且掌握一些恒成立問(wèn)題的解題思路和方法對(duì)我們高中生來(lái)說(shuō)是非常重要的，掌握好這些也可以為我們以后數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，我的這篇文章主要是我自己對(duì)恒成立學(xué)習(xí)過(guò)程中的一些心得體會(huì)，并且在解題方法和思路方面進(jìn)行了一些總結(jié)。

一、解決恒成立問(wèn)題的意義

恒成立問(wèn)題的含義就是在一定的條件之下，無(wú)論這里面的未知數(shù)的值是怎樣變化的，方程或者不等式最終的結(jié)果都是能夠成立的。在高中恒成立的學(xué)習(xí)中，主要包括了一次函數(shù)、二次函數(shù)和函數(shù)導(dǎo)數(shù)等問(wèn)題，這是數(shù)學(xué)高考中的一個(gè)非常重要的考點(diǎn)。

二、高中數(shù)學(xué)恒成立問(wèn)題的一些解題方法和思路

在高中數(shù)學(xué)中解決恒成立的方法主要有：運(yùn)用變量分離、構(gòu)建函數(shù)、數(shù)形結(jié)合還有就是可以根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行問(wèn)題的解決，下面我主要通過(guò)舉一些例子來(lái)說(shuō)明這些方法如何使用。

1. 運(yùn)用變量分離的方法解決恒成立問(wèn)題

例：“已知存在不等式a+cos2x<5-4sinx+[（5a-4）]是恒成立的，并且已知x是屬于全體實(shí)數(shù)的，我們嘗試一下用變量分離的方法求出實(shí)數(shù)a的取值范圍”，從題目中我們知道了其中一個(gè)變量x的取值，所以我們首先要做的就是兩個(gè)未知數(shù)進(jìn)行變量分離。

在簡(jiǎn)單的變換位置之后，我們可以得到方程：f（x）=4sinx+cos2x，只要我們將這個(gè)方程的最值解出來(lái)就能得到未知實(shí)數(shù)a的取值范圍，在遇到一個(gè)不等式中有兩個(gè)未知數(shù)時(shí)，我們首先就要想到分離參數(shù)法，這種方法的中心思想就是分離，然后根據(jù)函數(shù)的最值規(guī)律變換出不等式，但是這種方法中需要注意的就是當(dāng)這個(gè)不等式含有一些基本函數(shù)時(shí)，我們可以利用函數(shù)的單調(diào)性或者函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解。

2. 通過(guò)構(gòu)建函數(shù)進(jìn)行恒成立問(wèn)題的求解

例：“假設(shè)當(dāng)x大于等于0時(shí)，函數(shù)f（x）=（x+1）ln（x+1）都有f（x）大于等于ax，試求未知實(shí)數(shù)a的取值范圍？”，對(duì)于這道題如果我們強(qiáng)行套用分離參數(shù)法，那么就會(huì)加大這道題的求解難度，所以我們應(yīng)該根據(jù)情況利用構(gòu)造參數(shù)的方法進(jìn)行求解。

當(dāng)進(jìn)行題意解讀之后，我們可以知道函數(shù)大于等于0，進(jìn)而我們就能構(gòu)造出函數(shù)g（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，并且該函數(shù)恒等于0，進(jìn)而經(jīng)過(guò)變換之后我們就可以知道g（x）恒大于g（0），然后我們求出這個(gè)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，經(jīng)過(guò)分析即可求出a的取值范圍。

針對(duì)不同的問(wèn)題，我們應(yīng)該選擇合適的方法進(jìn)行求解，在這道題中，我們就可以構(gòu)造出新的函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解。

3. 利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行恒成立問(wèn)題的求解

例：“已知f（x）=sin（a+x）+cos（x-a）是偶函數(shù)，試求未知數(shù)a的值？”，從題干中可以看出，這是一個(gè)恒成立問(wèn)題，并且該函數(shù)是偶函數(shù)，所以我們直接可以利用函數(shù)是偶函數(shù)這個(gè)條件進(jìn)行求解，由偶函數(shù)的性質(zhì)可以知道“f（-x）恒等于f（x）”，所以當(dāng)我們將題干代入這個(gè)性質(zhì)之后，就能化簡(jiǎn)得到sina+cosa=0，到這里我們就可以順利的求出未知數(shù)a的取值了。

針對(duì)這一類可以直接利用函數(shù)性質(zhì)的題目，不是我們看到的這么簡(jiǎn)單，我們必須熟練的掌握函數(shù)的奇偶性和一些常見(jiàn)函數(shù)的基本知識(shí)，然后將這些知識(shí)融會(huì)貫通，才可以順利的解決這類恒成立問(wèn)題。

4. 利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行恒成立問(wèn)題的求解

常常會(huì)出現(xiàn)一類恒成立問(wèn)題，這類恒成立問(wèn)題中有兩個(gè)未知數(shù)，并且其中有一個(gè)未知數(shù)的取值已經(jīng)知道了，常常遇到這種問(wèn)題，我們就可以采用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解。

例：“已知1

三、結(jié)語(yǔ)

在我們高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，恒成立問(wèn)題中涉及的知識(shí)點(diǎn)是非常多的，這需要我們?cè)趯W(xué)完函數(shù)的基本知識(shí)之后才可以進(jìn)行求解，要想解決這類問(wèn)題，我們必須將所學(xué)知識(shí)熟練的串聯(lián)起來(lái)，在看到一個(gè)恒成立問(wèn)題后，我們應(yīng)該具備立馬想到它的解題思路和要考察的知識(shí)點(diǎn)，只有這樣我們才能在數(shù)學(xué)考試中取得更好的成績(jī)，要想能夠熟練的解決恒成立問(wèn)題，最簡(jiǎn)單有效的方法就是練習(xí)，只有見(jiàn)過(guò)了所有的題型，我們才能一看到這類問(wèn)題就有思路和方法。