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    利用向量的范數(shù)證明二元函數(shù)極值的充分條件

    2017-09-23 02:34:00,
    林區(qū)教學 2017年9期
    關鍵詞:林業(yè)大學充分條件充分性

    ,

    (東北林業(yè)大學 理學院,黑龍江 哈爾濱 150040)

    利用向量的范數(shù)證明二元函數(shù)極值的充分條件

    譚暢,馬淑芳

    (東北林業(yè)大學 理學院,黑龍江 哈爾濱 150040)

    基于線性代數(shù)中向量范數(shù)的相關理論,給出二元函數(shù)極值的充分性定理的一個新的證明,此方法形式簡明且便于理解。

    二元函數(shù);極值;充分條件;范數(shù)

    一、定理證明的現(xiàn)行方法

    二元函數(shù)取極值的充分性定理如下:

    定理1 設二元函數(shù)f(x,y)在點P(x0,y0)的某鄰域內存在二階連續(xù)的偏導數(shù),且fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0,記

    A=fxx(x0,y0),B=fxy(x0,y0),C=fyy(x0,y0)

    (1)若AC-B2>0,則f(x,y)在點P(x0,y0)取得極值,進一步地,當A>0時,取極小值;當A<0時,取極大值;

    (2)若AC-B2<0,則f(x,y)在點P(x0,y0)不取極值;

    (3)若AC-B2=0,則f(x,y)在點P(x0,y0)可能取極值,也可能不取極值。

    許多教材,如菲赫金哥爾茨著《數(shù)學分析原理》[1]359中對二元函數(shù)極值充分條件的證明是充分且嚴格的,大致思想是將函數(shù)f(x,y)在點P(x0,y0)做二階泰勒展開得:

    f(x,y)-f(x0,y0)

    二、利用向量的范數(shù)證明定理

    首先介紹一種向量的范數(shù)及范數(shù)的等價性定理。

    定理2[10]142設‖·‖α和‖·‖β為Rn上任意兩種范數(shù),則存在正常數(shù)c1和c2,使得對一切向量X∈Rn有:

    c1‖X‖β≤‖X‖α≤c2‖X‖β

    下面給出本文定理的證明:

    (1)若AC-B2>0,且A>0,則Q為對稱正定矩陣,故

    由范數(shù)的等價性,存在正常數(shù)c1和c2,使得:

    c1ρ=c1‖X‖2≤‖X‖Q≤c2‖X‖2≤c2ρ

    因此α1h2+2α2hk+α3k2=o(ρ2)。由此易知f(x,y)-f(x0,y0)的符號由Ah2+2Bhk+Ck2確定。當X≠0時,Ah2+2Bhk+Ck2=‖X‖Q2>0,f(x,y)-f(x0,y0)>0,故f(x,y)在點P(x0,y0)取得極小值。

    (3)若AC-B2=0,函數(shù)z=x3+y3及z=x4+y4在點(0,0)均滿足AC-B2=0,(0,0)是后者的極值點,但不是前者的極值點。證畢。

    三、結論

    基于線性代數(shù)中向量范數(shù)的相關知識給出了二元函數(shù)取極值充分性定理的一個新的證明,所用的方法可以幫助學生靈活運用各科知識,拓寬解決問題的思路。相較于經(jīng)典的分析方法,此方法更為直接而且形式簡明。

    [1]菲赫金哥爾茨.微積分教程[M].路可見,余家榮,吳親仁譯.北京:高等教育出版社,1959.

    [2]劉玉璉,傅沛仁.數(shù)學分析講義(下冊)[M].北京:高等教育出版社(第5版),2008.

    [3]李國瑩.多元函數(shù)極值充分條件的證明[J].中國大學教學,1987,(5):42—44.

    [4]張家璉,宋述剛.關于二元函數(shù)極值存在的充分性定理的證明[J].荊州師專學報(自然科學版),1990,(2):18—20.

    [5]王敏芝.關于多元函數(shù)的極值判別準則[J].浙江理工大學學報,2007,24(5):83—87.

    [6]王欣.二元函數(shù)極值充分條件的證明及條件極值的判定[J].沈陽大學學報(自然科學版),1996,(2):82—85.

    [7]汪全珍.多元函數(shù)極值判別法的一個證明[J].高等數(shù)學研究[J],2009,12(2):39—40.

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    [9]吳海玉,馮志剛.多元函數(shù)極值充分性定理的另一證明[J].甘肅聯(lián)合大學學報(自然科學版),2010,24(6):7—9.

    [10]徐樹芳,高立,張平文.數(shù)值線性代數(shù)[M]. 北京:北京大學出版社,2013.

    AProofofSufficientConditionforExtremumofBinaryFunctionbyUsingVectorNorm

    TAN Chang,MA Shu-fang

    (College of Science,Northeast Forestry University,Harbin150040, China)

    Based on the theory of vector norm in linear algebra, a new proof ofsufficient condition for the extremum of binary functionis is given, which is simple and easy to understand.

    binary function;extremum;sufficient condition;norm

    O171

    :A

    :1008-6714(2017)09-0085-02

    〔責任編輯:李海波〕

    10.3969/j.issn.1008-6714.2017.09.038

    2017-05-02

    東北林業(yè)大學教育教學研究項目(DGY2016-45)

    譚暢(1982—),女,吉林吉林人,講師,博士研究生,從事計算機代數(shù)教學研究。

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