善用變式教學，提升幾何學習能力

廖發(fā)遠

摘要：運用變式教學，可以鞏固幾何概念的教學；還可以層層深化知識；善用模仿變式，能夠更好地培養(yǎng)歸納探究能力；利用拓展變式，提升分析問題能力。

關鍵詞：圖形變式；遞進變式；模仿變式；拓展變式

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）07-0084

變式教學是數(shù)學課堂教學的一種重要形式，變式教學有利于學生思維的發(fā)展，幫助學生理解、鞏固教學內容。在教學中加強變式訓練，還可以促使學生的思維向多層次、多方向發(fā)散，在問題的解答過程中培養(yǎng)學生歸納、創(chuàng)新的能力，從而真正把學生能力的培養(yǎng)落到實處。在課堂教學中，注重圖形的變式鞏固概念教學、遞進式的變式、關注運動中的變式、注重類比變式，能夠有效地促進學生對知識的理解，提升幾何分析的能力。

一、注重圖形變式，鞏固幾何概念教學

數(shù)學概念是反映現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系的本質屬性的思維形式。正確理解數(shù)學概念，是掌握數(shù)學知識的前提。幾何概念是教學中的難點，需要把文字語言轉化為圖形語言，不少學生存在困難。注重圖形變式，可以幫助學生加深對概念的理解。

例1. 北師大版數(shù)學教材七年級（下）同位角的概念，教材中是這樣描述的：“如圖2—12，具有∠1與∠2這樣位置關系的角稱為同位角。沒有準確描述，當然也沒有要求學生死記硬背。但是把在幾何圖形轉化為代數(shù)數(shù)量關系，并不是一件容易的事。不少學生，只會就題論題，而無法靈活運用知識。教材上以如圖1的形式呈現(xiàn)同位角，看似很簡單的問題，如果變換一個圖形，部分程度較差的學生可能無法辨認同位角。所以，在教學過程中，我們把圖形變換一種形式，仍然考查同位角概念。如圖2，

雖然只是一個簡單的圖形變式，但是卻讓學生對知識的理解有一種豁然開朗的感覺，不再局限于概念的一種形式，而是對知識有一種全方位的理解和掌握，完成了對概念的理解從片面向全面轉化。

二、運用遞進變式，層層深化知識

運用遞進變式教學，教師可以從簡單問題引入，層層遞進，由淺入深，由簡到繁，循序漸進，螺旋上升，有利于學生對問題本質的深刻理解，進而掌握解題規(guī)律，突破教學中的難點，有利于學生形成良好的數(shù)學認知結構。它可以激發(fā)學生積極思考，深入探究，可以成為培養(yǎng)學生思維能力的重要手段。

例2. 如圖，AB=CD，AD=CB，試說明：△ABD≌△CDB。

此例題中，除了運用了AB=DC，AD=CB外，還用到了BC是公共邊這一隱含在圖形中的條件。由此引導學生尋找全等的條件應該注意到隱含于圖形中的條件，如公共邊，公共角，對頂角相等，讓學生簡單體會兩個三角形全等判別方法的應用。

由于這是《三角形全等的條件》第一課時，學生初次學習兩個三角形全等判別方法，根本沒有思路，為了讓學生更快地學會運用三角形全等的判別方法，設置一組變式訓練，以一個條件變式為主線，引導學生層層深入，構建條件證明全等。

變式1：如圖，D是線段BD1的中點，AB=CD1，AD=CD

試說明：△ABD≌△CD1D.

變式中，把BD是公共邊這一條件進行變式，變?yōu)椤癉是BD1的中點”這一條件，那么BD=D1D需要提前證明，引導學生學習另一種確定三角形全等條件的方法“已證”，事半功倍。

為了更深入地學會確定三角形全等的條件，再做一次變式。

變式2：如圖，點B1，D在線段BD1上，且BB1=D1D，若AB=CD1，AD=CB1，試說明：△ABD≌△CD1B1。

變式中，條件“D是線段BD1的中點”變?yōu)椤癇B1=D1D”，根據(jù)等式基本性質1，BB1+B1D=D1D+B1D，即BD=D1B1，開辟了確定兩個三角形全等條件的新思路，為以后解決類似問題做了很好的示范。

綜上所述，運用遞進變式，保持了總體學習方向的延續(xù)性，有效鞏固知識。同時重點知識遞進變式，層層深入，幫助學生逐步提升能力。

三、善用模仿變式，培養(yǎng)歸納探究能力

幾何運動類型的問題，通常都是在一個簡單圖形的基礎上進行變式，變式后的問題，通常可以模仿基本問題的解決方法。所以要熟練運用模仿變式，首先必須歸納基本問題的解答思路、解答原理和解答方法。設計模仿變式的問題，也是培養(yǎng)學生歸納能力的良好途徑。

例3. 如圖1，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，連接AE，BD。

（1）試猜測線段AE和BD的數(shù)量和位置關系，并說明理由。

（2）若△BCE繞著點C旋轉一定角度，如圖2，其余條件不變，（1）中結論還成立嗎？說明理由。

此例題中，圖1是特殊的情況。圖2是由圖1變化而來，圖形類似，方法也非常相近，總結（1）的方法，可以為解答（2）提供思路。解答（1）時用到知識點和方法有：①用SAS證明△ACE≌△DCB；②延長AE交BD于點H，用轉化的思想，把求∠DHE轉化為與∠ACE對比；③利用全等三角形對應角相等可得∠EDH=∠CAE，根據(jù)對頂角相等可得∠DEH=∠AEC，④根據(jù)三角形內角和定理可以得到∠DHE=∠ACE=90°。解答（2）時，仿照①用SAS，可以證明△ACE≌△DCB；仿照②，把求∠DHF的問題轉化成∠ACF對比；仿照③，運用全等三角形對應角相等和對頂角相等的知識，可得∠FDH=∠CAF，∠DFH=∠AFC；仿照④，根據(jù)三角形內角和定理可以得到∠DHF=∠ACF=90°。

總之，解答模仿類型的變式問題，應該首先在簡單、基本的問題中總結知識點和方法，然后模仿總結歸納所得，一一對照，可以比較容易地解答變式后的問題。

四、利用拓展變式，提升分析問題能力

數(shù)學的變式不是一成不變，研究的方法也在不斷發(fā)展，通過拓展性的變式，可以提升學生分析問題的能力。endprint

例4. 在正方形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，點P在線段BC上（不含點B），∠BPE=■∠ACB，PE交BO于點E，過點B作BF⊥PE，垂足為F，交AC于點G。

（1）當點P與點C重合時（如圖①）。求證：△BOG≌△POE；

（2）通過觀察、測量、猜想：■= ▲ ，并結合圖②證明你的猜想；

（3）把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變（如圖③），若∠ACB=α，求■的值。（用含α的式子表示）

本例中，求（2）中■的在（1）中沒有鋪墊。因此應該引導學生在圖①中分析求■的思路。根據(jù)經驗，求■的值需要利用三角些相似，在圖①中以BF，PE為對應邊的三角形無法確定。繼續(xù)探究，①由∠BPE=■∠ACB以及BF⊥PE，可得BF=■BG，②把■轉化為■，③利用ASA可證△BOG≌△POE，從而得出BG=PE，④■=■=■。

根據(jù)以上研究，解決問題（2）顯然需要構造以PE為一邊的全等三角形。因此過點P作PM∥AC，交BG于點M，交OB于點N，仿照①由∠BPE=■∠ACB=■∠BPM以及BF⊥PE，可得BF=■BM；仿照②把■轉化為■；仿照③利用ASA可證△BNM≌△PNE，從而得出BM=PE；仿照④■=■=■。

問題（3）可以仿照（2）的思路解答，即過點P作PM∥AC，交BG于點M，交OB于點N。仍然可以利用∠BPE=■∠ACB=■∠BPM以及BF⊥PE的條件，得出BF=■BM；但是這里不存在全等關系，根據(jù)圖形背景的變化，由全等關系變?yōu)橄嗨脐P系，即△BMN∽△PEN，可得■=■=tanα。因此■=■=■tanα。

善于拓展變式教學，能更好地培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，大大提高學生分析問題、解決問題的能力。

總之，在數(shù)學課堂教學中，遵循學生認知發(fā)展規(guī)律，根據(jù)教學內容和目標加強變式訓練，對鞏固基礎、培養(yǎng)思維、提高能力有著重要的作用。教學實踐證明，注重概念變式，可以幫助學生加深理解知識；運用遞進變式，可以層層深入學習知識；善用變式，可以培養(yǎng)學生歸納探究能力；利用拓展變式訓練，可以幫助學生提升分析問題的能力。最關鍵的是通過例題、習題變式，有利于克服“題海戰(zhàn)術”的重復訓練傾向，從而減輕學生的過重負擔，真正把能力培養(yǎng)落到實處。

參考文獻：

[1] 許靈飛.變式教學在初中數(shù)學教學中的應用[J].數(shù)學學習與研究，2010 （3）.

[2] 王怡蘊.淺談初中數(shù)學課堂教學中的變式教學[J].新課程學習，2012（5）.

（作者單位：福建省三明市梅列區(qū)第一實驗學校 365000）endprint