數(shù)形結(jié)合，建構(gòu)運算律的基本模型

胡芳

[摘 要]小學(xué)階段，運算律是運算教學(xué)的難點之一，尤其是乘法分配律。教材中，簡便運算的題型與計算的練習(xí)量都偏少，通過對學(xué)生錯例的分析，給出相應(yīng)的教學(xué)策略，以幫助學(xué)生掌握乘法分配律。

[關(guān)鍵詞]乘法分配律;簡便運算;數(shù)形結(jié)合;模型

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）26-0021-02

數(shù)學(xué)教材中，知識點的編排往往承襲兩個順序，一是數(shù)學(xué)知識內(nèi)在的邏輯順序，二是學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的順序。人教版教材把簡便運算編排在四年級下冊，除了五條基本運算定律外，連減、連除的簡便計算及加、減、乘、除的靈活應(yīng)用等相關(guān)內(nèi)容也編排在同一單元。這樣的編排與系列位置效應(yīng)理論是相悖的，因為心理學(xué)系列位置效應(yīng)理論指出：“如果學(xué)習(xí)材料中各部分的位置不同，學(xué)習(xí)效果就不同?！背朔ǚ峙渎膳c乘法結(jié)合律在形式上較為相似，這兩個內(nèi)容的例題和引入方式也十分相似，學(xué)生在學(xué)習(xí)時會混淆是情理之中的事。

在學(xué)習(xí)完一節(jié)課的內(nèi)容后，學(xué)生都能較好地理解運算定律，大部分學(xué)生還能根據(jù)運算定律舉一反三，但是在學(xué)習(xí)整個單元的內(nèi)容后，學(xué)生做題時就會出現(xiàn)五花八門的錯誤：有的學(xué)生只是盲目地套用，沒有進(jìn)行客觀的分析和思考;有的學(xué)生的簡便運算意識薄弱，不知道如何靈活運用;有的學(xué)生混淆定律，張冠李戴，對定律認(rèn)識不深刻。

對此，在每個單元的學(xué)習(xí)結(jié)束后，我專門安排一節(jié)課來幫助學(xué)生糾正易錯題，我稱這樣的課為“曬錯題”課?！皶皴e題”可以放大錯誤，把易錯題集中在一起，讓學(xué)生任意選擇，然后分析易錯題、尋找錯因、猜測做題者的想法，進(jìn)而從根源上深刻認(rèn)識運算定律的本質(zhì)。

【錯例一】乘法結(jié)合律和乘法分配律的形式較為接近，相似的題型會干擾學(xué)生，導(dǎo)致出現(xiàn)負(fù)遷移。如（8×4）×125=（8×125）×（4×125）。

【錯例二】盲目運用“湊整思想”，導(dǎo)致學(xué)生的簡便計算意識出現(xiàn)混亂。如578-36+64=578-（36+64）。

【錯例三】在練習(xí)中滲透較少的定律，學(xué)生容易忽略，從而造成錯誤。如482-（82-35），去掉括號應(yīng)變成482-82+35，很多學(xué)生卻寫成482-82-35;又如45+55-45+55，應(yīng)該帶著符號“搬家”，變成45-45+55+55=110，但有的學(xué)生遺漏了符號，寫成45+55-45+55=100-100=0。

【錯例四】25×32×125=（25×4）+（8×125）;

27×99=27×（99+1）=27×100=2700;

25×（40+4）=25×40+4。

分析學(xué)生的表現(xiàn)和出錯的原因，我總結(jié)出兩點：一是學(xué)生對運算定律內(nèi)涵的理解只停留在淺表層次，雖能理解但缺乏結(jié)構(gòu)化的認(rèn)識;二是對運算定律內(nèi)涵的理解只停留在工具性理解層面，缺乏關(guān)系性的理解。

因此，在簡便運算中不能只看到“數(shù)”，只想到“算”，還要想到運算定律的本質(zhì)內(nèi)容。通過以形表數(shù)，讓學(xué)生觀察數(shù)與形的一一對應(yīng)的關(guān)系，可促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識運算律的本質(zhì)。在教學(xué)中，教師要將直觀的“形”與抽象的“數(shù)”對應(yīng)起來，以形表數(shù)，建構(gòu)運算定律的直觀模型，是使學(xué)生最終掌握抽象運算定律的必經(jīng)過程。

在教學(xué)“乘法分配律”時，我調(diào)整了原有的教學(xué)方案：先出示教材情境圖，再從現(xiàn)實原型出發(fā)，給出計算實例，解釋算理，然后采用數(shù)形結(jié)合的方式讓學(xué)生看圖想算式、看算式畫圖、看公式想象，從而抽象出乘法分配律的字母公式，幫助學(xué)生建立幾何模型。

題目：有25組學(xué)生參加了植樹活動，每個小組均有4個男學(xué)生和2個女學(xué)生，求一共有多少名學(xué)生參加了這次植樹活動。

方法一：（4+2）×25=6×25=150。

方法二：4×25+2×25=100+50=150。

由此可知，（4+2）×25=4×25+2×25，利用不同的算式得到相同答案直觀展示了乘法分配律的本質(zhì)，教學(xué)水到渠成。

我還利用數(shù)形結(jié)合的方法滲透幾何模型的結(jié)構(gòu)。

四（1）班栽樹的地點是一塊長5米、寬3米的長方形平地。請用兩種方法求這塊長方形平地的周長。

在學(xué)生得出“5×2+3×2=16”和“（5+3）×2=16”后，我要求學(xué)生指出式子中的每一步運算對應(yīng)的是圖上的哪一部分，讓學(xué)生感受圖形與數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系，這樣學(xué)生就很容易理解“5×2+3×2=（5+3）×2”的意義。隨后，我引導(dǎo)學(xué)生由特殊歸納出一般情況“（長+寬）×2=長×2+寬×2”，并提問：“等式的左邊乘了一個2，右邊乘了兩個2，左右兩邊還相等嗎？‘（長+寬）×2=長+寬×2錯在哪里？”很多學(xué)生都知道“（長+寬）×2=長+寬×2”不正確，但又說不出理由，這時我就用畫圖的方式引導(dǎo)學(xué)生找出問題所在。

在由直觀模型向符號模型轉(zhuǎn)化的過程中，教師可借助抽象程度不同的“形”引導(dǎo)學(xué)生一步步經(jīng)歷符號化的過程，最終提取運算律的符號模型。“（長+寬）×2=長×2+寬×2”這一乘法分配律的直觀模型是建立在計算長方形周長的基礎(chǔ)上的，能夠培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決問題的意識。因此，教師可進(jìn)一步提問：“將長方形的長和寬分別變成a和b時，周長怎樣算？a和b可以是多少？” “如果把2改成3，兩個式子還相等嗎？”……讓學(xué)生模仿之前的模式，通過作圖證明自己的想法。

接著，借助長方形的周長與組成長方形的四條線段之間的關(guān)系推理出“（a+b）×3=a×3+b×3”。

最后，通過不斷添加線段，由形的延伸帶動數(shù)的擴(kuò)張：（a+b）×4=a×4+b×4，（a+b）×5=a×5+b×5，…，（a+b）×c=a×c+b×c，即乘法分配律。

在數(shù)形結(jié)合的過程中，學(xué)生通過乘法分配律的直觀模型對乘法分配率的本質(zhì)有了更深刻的理解，以后就不會犯類似“（5+3）×2=5+3×2”的錯誤了?？梢?，數(shù)形結(jié)合不但能幫助學(xué)生建構(gòu)新知，理解運算定律的本質(zhì)，還能提高學(xué)生簡便計算的技能。

從生活出發(fā)，采用數(shù)形結(jié)合的方式讓學(xué)生在腦海里構(gòu)建運算定律的基本模型，那么學(xué)生對于乘法分配律的認(rèn)知會更加深刻，由此構(gòu)建的知識結(jié)構(gòu)也更加完整，對學(xué)生的計算能力、數(shù)形結(jié)合意識、符號意識也會起到“潤物細(xì)無聲”的滲透作用。

（責(zé)編 童 夏）endprint