基于可變設(shè)計參數(shù)的平面Acrobot位置快速控制方法

王亞午，賴旭芝，吳敏

(1.中國地質(zhì)大學(xué)(武漢) 自動化學(xué)院，湖北 武漢 430074；2.復(fù)雜系統(tǒng)先進(jìn)控制與智能自動化湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430074)

基于可變設(shè)計參數(shù)的平面Acrobot位置快速控制方法

王亞午1,2，賴旭芝1,2，吳敏1,2

(1.中國地質(zhì)大學(xué)(武漢) 自動化學(xué)院，湖北 武漢 430074；2.復(fù)雜系統(tǒng)先進(jìn)控制與智能自動化湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430074)

為平面Acrobot系統(tǒng)(無重力項)提出一種基于可變設(shè)計參數(shù)的快速位置控制方法。首先，根據(jù)平面Acrobot系統(tǒng)的完全可積特性，獲取驅(qū)動關(guān)節(jié)與欠驅(qū)動關(guān)節(jié)的角速度和角度約束關(guān)系。其次，根據(jù)系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)，推導(dǎo)出末端點坐標(biāo)位置和兩關(guān)節(jié)角度之間另一類約束關(guān)系。然后，基于這兩類約束關(guān)系，利用粒子群優(yōu)化算法求取目標(biāo)位置對應(yīng)的兩桿目標(biāo)角度。接著，通過構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)為平面Acrobot系統(tǒng)設(shè)計控制器，并根據(jù)控制器中設(shè)計參數(shù)的特性，選擇一個可變的設(shè)計參數(shù)，減少控制系統(tǒng)到達(dá)目標(biāo)的時間。利用連桿角速度和角度約束關(guān)系，通過控制驅(qū)動桿到目標(biāo)角度同時連帶控制欠驅(qū)動桿到目標(biāo)角度，實現(xiàn)系統(tǒng)的控制目標(biāo)。最后，仿真結(jié)果驗證所設(shè)計控制方法的有效性和快速性。

平面欠驅(qū)動機(jī)械系統(tǒng)；平面Acrobot；位置控制；粒子群優(yōu)化算法；非線性函數(shù)

0 引 言

欠驅(qū)動機(jī)械系統(tǒng)是指控制輸入個數(shù)少于系統(tǒng)自由度個數(shù)的非線性系統(tǒng)[1-3]，它能夠利用較少的驅(qū)動裝置完成控制任務(wù)，具有重量輕、低能耗、靈活等優(yōu)點；然而，驅(qū)動裝置的減小使得該類系統(tǒng)控制器設(shè)計的難度增加，很多適用于全驅(qū)動系統(tǒng)的控制方法無法直接推廣到這類系統(tǒng)中。而目前，國內(nèi)外對垂直欠驅(qū)動機(jī)械系統(tǒng)(含重力項)的研究較為成熟[4-6]，但對平面欠驅(qū)動機(jī)械系統(tǒng)(不含重力項)的研究還在起步階段。

針對垂直欠驅(qū)動機(jī)械系統(tǒng)，現(xiàn)在普遍采用的控制方法是分區(qū)控制方法[1,7-8]，即將控制空間劃分為搖起區(qū)和平衡區(qū)。針對搖起區(qū)的控制問題，主要采用基于系統(tǒng)模型[9]、運動姿態(tài)[10]、系統(tǒng)能量[11]和魯棒性能[12]等指標(biāo)的智能控制方法；而平衡區(qū)的控制主要通過在平衡點附近將系統(tǒng)近似線性化，并采用線性二次調(diào)節(jié)器(LQR)來實現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制[13]。而對于平面欠驅(qū)動機(jī)械系統(tǒng)的控制問題，由于其動力學(xué)模型不含重力項，導(dǎo)致其在水平面內(nèi)的任意靜止姿態(tài)都為它的平衡點，并且其在平衡點附近的線性近似模型不滿足可控條件[14]，無法采用垂直欠驅(qū)動系統(tǒng)中已成熟的LQR方法實現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定控制。

早期研究中學(xué)者們?yōu)榻档推矫媲夫?qū)動系統(tǒng)的控制難度，在模型中考慮摩擦力[15-16]或者在欠驅(qū)動關(guān)節(jié)加裝制動裝置或彈簧[17-18]，以此完成平面欠驅(qū)動系統(tǒng)的控制任務(wù)；但這些方法改變了系統(tǒng)的欠驅(qū)動性質(zhì)。文獻(xiàn)[19]通過為平面Pendubot離線規(guī)劃一條軌跡，并利用滑?？刂萍夹g(shù)實現(xiàn)系統(tǒng)軌跡的穩(wěn)定跟蹤。文獻(xiàn)[20]針對平面Pendubot的控制問題，通過分解系統(tǒng)的運動，利用分層模糊控制器實現(xiàn)系統(tǒng)的控制。但這些研究大多針對第一關(guān)節(jié)為驅(qū)動的平面機(jī)械系統(tǒng)，而對于第一關(guān)節(jié)為欠驅(qū)動的平面機(jī)械系統(tǒng)的研究則較少。Oriolo等人[21]對平面欠驅(qū)動系統(tǒng)的可積性進(jìn)行了初步研究，并證明了第一關(guān)節(jié)為欠驅(qū)動的平面Acrobot具有完全可積分的特性。之后，文獻(xiàn)[22]基于平面Acrobot的完全可積特性，提出了基于軌跡特性的平面Acrobot運動控制方法，但從其仿真結(jié)果來看，系統(tǒng)各個狀態(tài)到達(dá)穩(wěn)定的時間較長，并且沒有提出基于末端點位置獲取連桿角度的方法。

基于文獻(xiàn)[21]和文獻(xiàn)[22]的研究，為了克服系統(tǒng)控制時間較長的問題，提出一種快速實現(xiàn)末端點位置控制的方法。首先，基于平面Acrobot的完全可積特性，獲取驅(qū)動桿和欠驅(qū)動桿的角速度約束關(guān)系和角度約束關(guān)系，即通過控制驅(qū)動桿(第二連桿)實現(xiàn)欠驅(qū)動桿(第一連桿)的連帶控制。然后，根據(jù)系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)，獲取末端點位置和兩桿角度之間的約束關(guān)系?；谙到y(tǒng)這兩類約束關(guān)系，利用粒子群優(yōu)化(PSO)算法求取末端點目標(biāo)坐標(biāo)位置對應(yīng)的兩桿目標(biāo)角度值。最后，通過構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)設(shè)計控制器，并根據(jù)控制器中設(shè)計參數(shù)的特性，將設(shè)計參數(shù)設(shè)計成一類非線性函數(shù)，減少控制系統(tǒng)到達(dá)目標(biāo)的時間。通過控制驅(qū)動桿達(dá)到目標(biāo)角度同時連帶控制欠驅(qū)動桿達(dá)到目標(biāo)角度，實現(xiàn)系統(tǒng)末端點位置控制任務(wù)。仿真結(jié)果驗證所提控制方法不僅能夠完成系統(tǒng)末端點的位置控制任務(wù)，并且控制時間較短。

1 系統(tǒng)模型

第一關(guān)節(jié)為欠驅(qū)動的平面兩連桿系統(tǒng)(平面Acrobot)的物理結(jié)構(gòu)如圖1所示：

圖1 平面Acrobot系統(tǒng)Fig.1 Planar Acrobot system

對于第i連桿(i=1,2)：mi表示質(zhì)量；Li表示長度；li表示第i連桿的質(zhì)心到第i關(guān)節(jié)的長度；Ji表示轉(zhuǎn)動慣量；q1為第1連桿相對于坐標(biāo)y軸方向的角度，q2為第2連桿相對于第1連桿延長線方向的角度；(x,y)為系統(tǒng)末端點坐標(biāo)位置。

根據(jù)歐拉-拉格朗日公式可得平面Acrobot系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

(1)

上述各元素的具體形式如下：

M11(q)=a1+a2+2a3cosq2，

M12(q)=M21=a2+a3cosq2，

M22(q)=a2，

其中a1、a2、a3為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)，具體表達(dá)式如下：

a3=m2L1l2。

由于平面Acrobot系統(tǒng)運動時處于水平面內(nèi)，不含重力項，因而簡化了系統(tǒng)的動力學(xué)模型；但重力項的缺失會使得系統(tǒng)在水平面內(nèi)的任意靜止姿態(tài)都成為它的平衡點，并且也導(dǎo)致在平衡點附近的線性近似模型不滿足線性可控條件[15]，故無法采用垂直欠驅(qū)動系統(tǒng)中已成熟的LQR方法實現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。因此，為實現(xiàn)平面Acrobot系統(tǒng)從任意初始位置到目標(biāo)位置的控制，下面將基于平面Acrobot的完全可積特性獲取系統(tǒng)驅(qū)動桿與欠驅(qū)動桿之間的狀態(tài)約束關(guān)系，并基于此約束關(guān)系提出平面Acrobot的位置控制方法。

2 約束關(guān)系分析

由動力學(xué)方程(1)可知，系統(tǒng)的二階微分約束為

(2)

系統(tǒng)慣性矩陣的欠驅(qū)動部分Mu(q)=[M11(q),M12(q)]對時間求導(dǎo)，可得

(3)

(4)

將式(4)代入到式(2)中得

(5)

式(5)對時間積分得

(6)

(7)

從式(7)可知，當(dāng)?shù)诙U的角速度為0時，第1桿的角度速度也為0，即只要能控制第2桿到靜止?fàn)顟B(tài)，平面Acrobot系統(tǒng)就能穩(wěn)定。

而M11(q)是正定對稱矩陣M(q)對角線上的元素，則有M11(q)>0。又因M(q)不包含q1，所以式(7)可寫成

(8)

式(8)對時間積分，可得

(9)

其中A1和A2是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)的量，具體形式分別為：

(10)

其中floor(·)為向下取整函數(shù)。

1)k≥0時，

f(q2)-f(q2(0))+kπ

f(q2)-f(q2(0))+kπ

(11)

其中，c=-A1f(q2(0))+q1(0)+q2(0)/2。

從角度約束關(guān)系式(11)可知，當(dāng)控制驅(qū)動桿(第2桿)到達(dá)某個角度，欠驅(qū)動桿(第1桿)也將被連帶控制到某個角度，即可通過控制驅(qū)動桿來實現(xiàn)欠驅(qū)動桿的連帶控制。下面，通過分析系統(tǒng)的幾何結(jié)構(gòu)，同時結(jié)合角度約束關(guān)系式(11)，來獲取系統(tǒng)末端點目標(biāo)坐標(biāo)位置對應(yīng)的兩桿目標(biāo)角度。

3 目標(biāo)角度求解

在討論目標(biāo)角度求解之前，首先需建立末端點的坐標(biāo)位置(x,y)和兩桿角度q1,q2之間的關(guān)系，如圖2所示。

圖2 平面Acrobot物理結(jié)構(gòu)簡圖Fig.2 Physical structure diagram of planar Acrobot

根據(jù)平面Acrobot的物理結(jié)構(gòu)簡圖，運用幾何知識可獲得末端點坐標(biāo)位置與兩桿角度之間的約束關(guān)系為：

(12)

因此，當(dāng)系統(tǒng)末端點的目標(biāo)坐標(biāo)位置設(shè)計為(xd,yd)時，為尋找同時滿足約束關(guān)系式(11)和式(12)的目標(biāo)角度q1d和q2d，首先將式(11)代入式(12)中得：

(13)

然后根據(jù)式(13)可定義如下目標(biāo)函數(shù)：

h(q2)=|x-xd|+|y-yd|。

(14)

可知，h(q2)=0的解就是驅(qū)動桿目標(biāo)角度q2d。當(dāng)將q2d代入約束關(guān)系式(11)中，即可求得對應(yīng)的欠驅(qū)動桿目標(biāo)角度q1d。

考慮到直接求解h(q2)=0較為困難，并且在誤差允許的范圍內(nèi)(h(q2)≤e1)，目標(biāo)坐標(biāo)位置對應(yīng)的目標(biāo)角度具有多解性。因此，這里選取粒子群優(yōu)化算法作為求解方法。記sj=q2為粒子的位置。從而，第j(j=1,2,…,n)個粒子的進(jìn)化方程為：

(15)

其中：w為慣性權(quán)重；c1和c2為權(quán)重因子；r1和r2為在[0,1]當(dāng)中的隨機(jī)值；sj(K)表示第j個粒子的位置；vj(K)表示第j個粒子的速度；pj代表第j個粒子的個體歷史最優(yōu)位置；pg表示群體歷史最優(yōu)位置；K為粒子進(jìn)化代數(shù)；n為粒子群的大小。

個體歷史最優(yōu)位置更新規(guī)則：

(16)

群體歷史最優(yōu)值更新規(guī)則

pg=argmin{h(pj)}。

(17)

為防止粒子的進(jìn)化速度過大，這里加入速度限制方程，如下式所示：

|vj(K+1)|≤vmax。

(18)

其中vmax為正的常數(shù)。

求解兩桿目標(biāo)角度的算法步驟如下：

1)初始化n個粒子的初始位置sj(0)與初始速度vj(0)及個體歷史最優(yōu)位置pj與群體歷史最優(yōu)位置pg。

2)按照粒子的進(jìn)化方程式(15)來更新各個粒子的位置和速度，由式(18)來限制粒子進(jìn)化速度。當(dāng)進(jìn)化代數(shù)K=Kmax，退出程序。

3)將新一代n個粒子的位置代入到目標(biāo)函數(shù)h(·)中，求得此新一代n個粒子的適應(yīng)度值。

4)根據(jù)各個粒子的適應(yīng)度值，按照式(16)和式(17)來更新個體歷史最優(yōu)位置pj和群體歷史最優(yōu)位置pg。

5)當(dāng)粒子群中最大的適應(yīng)度值小于或等于e1時，群體歷史位置pg即為驅(qū)動桿目標(biāo)角度q2d，程序轉(zhuǎn)到第六步；否則，轉(zhuǎn)到第2步。

6)將q2d代入到公式(11)中，求出相應(yīng)欠驅(qū)動桿目標(biāo)角度q1d，退出程序。

當(dāng)控制驅(qū)動桿到達(dá)目標(biāo)角度q2d同時連帶欠驅(qū)動桿到目標(biāo)角度q1d時，系統(tǒng)末端點運動到目標(biāo)坐標(biāo)位置(xd,yd)?；诖怂枷?，下面設(shè)計控制器實現(xiàn)平面Acrobot末端點的位置控制。

4 控制器設(shè)計

從上面分析可知，當(dāng)控制驅(qū)動桿到達(dá)目標(biāo)角度q2d時，欠驅(qū)動桿也將被連帶控制達(dá)到目標(biāo)角度q1d，從而實現(xiàn)系統(tǒng)的控制目標(biāo)。本節(jié)將依據(jù)系統(tǒng)這一特性，通過為平面Acrobot系統(tǒng)構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)來設(shè)計控制器，并針對控制器的設(shè)計參數(shù)，提出改進(jìn)計劃，實現(xiàn)系統(tǒng)末端點位置的快速控制。

(19)

其中，F(xiàn)i(X)、Gi(X)是關(guān)于X的非線性函數(shù)，具體形式如下：

構(gòu)造如下李雅普諾夫函數(shù)為

(20)

其中，x2d=q2d。

式(20)對時間求導(dǎo)得

(21)

即

(22)

若設(shè)計

x2-x2d+F2(X)+G2(X)τ2=-rx4。

(23)

其中，r(r>0)為設(shè)計參數(shù)。

則將式(23)代入式(22)中有

(24)

因此，控制器可設(shè)計為

(25)

(26)

將式(25)或式(26)代入式(19)中可得到以下閉環(huán)系統(tǒng)為

(27)

閉環(huán)系統(tǒng)式(27)的框圖如圖3所示。

圖3 閉環(huán)系統(tǒng)(27)的框圖Fig.3 Block diagram of closed system(27)

Φ={X∈R4|0≤V(X)≤C}。

(28)

其中C為正的常數(shù)。

系統(tǒng)式(27)任意始于Φ內(nèi)的解X對于所有t≥0仍處于Φ。記Ψ為系統(tǒng)(27)的不變集，

(29)

(30)

(31)

由LaSalle不變原理[23]可知，當(dāng)t→，系統(tǒng)式(27)始于Φ內(nèi)的解X趨于M，即：

因此，系統(tǒng)式(19)在控制器式(25)作用下可以運動并穩(wěn)定到目標(biāo)狀態(tài)，即平面Acrobot系統(tǒng)末端點到達(dá)所設(shè)定的目標(biāo)坐標(biāo)位置(xd,yd)。

從圖3可以看出，所設(shè)計控制器中包含1個PD控制器，其比例系數(shù)為1，微分時間參數(shù)為設(shè)計參數(shù)r(r>0)。當(dāng)r較小時，e變化快(即x2變化快)，超調(diào)大；而當(dāng)r較大時，e變化慢(即x2變化慢)，超調(diào)小?；诖讼敕ǎ?dāng)?shù)?桿角度x2與目標(biāo)角度x2d偏差絕對值|e|較大時，調(diào)小r值，使e變化快；當(dāng)|e|較小時，調(diào)大r值，防止系統(tǒng)超調(diào)。而且，為不影響系統(tǒng)的收斂性，應(yīng)保證r>0。

基于上述思想，可將r設(shè)計成與驅(qū)動桿角度相關(guān)的一類非線性函數(shù)，即|x2d-x2|較大時，r取??；|x2d-x2|較小時，r取大。這里以分段函數(shù)和高斯函數(shù)為例進(jìn)行說明。

1)r為分段函數(shù)，如下式所示：

(32)

其中：ed、rmax和rmin(rmax>rmin)為正的常數(shù)。

式(32)的函數(shù)圖形如圖4所示。

圖4 分段函數(shù)Fig.4 Piecewise function

由圖4可知，當(dāng)x2離目標(biāo)角度x2d較遠(yuǎn)時，r=rmin；當(dāng)x2離目標(biāo)角度x2d較近時，r=rmax。并且r一直處于正值，不影響系統(tǒng)式(27)的穩(wěn)定性。那么控制器式(25)變?yōu)椋?/p>

(33)

2)r為高斯函數(shù)，如下式所示：

(34)

其中A和σ都是正的常數(shù)。

式(34)的函數(shù)圖形如下

圖5 高斯函數(shù)Fig.5 Gauss function

由圖5可知，當(dāng)?shù)?桿角度x2離目標(biāo)角度x2d較遠(yuǎn)時，采用較小的r；而隨著第2桿角度x2接近目標(biāo)角度x2d時，r也隨之增大。并且r一直處于正值，不影響系統(tǒng)式(27)的穩(wěn)定性。因此控制器式(25)變?yōu)?/p>

(35)

5 仿真結(jié)果

按照上述設(shè)計方案，利用Matlab環(huán)境下的SIMULINK平臺搭建系統(tǒng)仿真模型，完成平面Acrobot系統(tǒng)仿真控制。平面Acrobot系統(tǒng)的仿真參數(shù)如表1所示。

表1 平面Acrobot系統(tǒng)的仿真參數(shù)Table 1 Simulation parameter of plannar Acrobot system

圖6 r為常數(shù)時的仿真結(jié)果(r=1.8)Fig.6 Simulation results when r is a constant

1)r為常數(shù)，仿真結(jié)果如圖6所示。

從圖6(a)可看出，兩桿均達(dá)到目標(biāo)角度；從圖6(c)可看出，系統(tǒng)末端點在6 s時已經(jīng)達(dá)到所設(shè)計的目標(biāo)坐標(biāo)位置，說明所設(shè)計的控制器有效。

2)r為分段函數(shù)，仿真結(jié)果如圖7所示。

從圖7(a)可看出，兩桿均達(dá)到目標(biāo)角度；從圖7(c)可看出系統(tǒng)末端點在2.7 s時已經(jīng)達(dá)到目標(biāo)位置(1.25,1.55)。說明所設(shè)計的控制器不僅有效，而且可縮短控制系統(tǒng)達(dá)到目標(biāo)的時間。

3)r為高斯函數(shù)，仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 r為高斯函數(shù)時的仿真結(jié)果(A=60,σ=1)Fig.8 Simulation results when r is a gauss function

從圖8(a)可看出，兩桿均達(dá)到目標(biāo)角度；從圖8(c)可看出系統(tǒng)末端點在2 s時已經(jīng)達(dá)到目標(biāo)位置(1.25,1.55)。同樣說明，所設(shè)計的控制器不僅有效，并且可縮短控制系統(tǒng)達(dá)到目標(biāo)的時間。

因此，所設(shè)計的控制器不但能夠完成系統(tǒng)末端點的位置控制任務(wù)，而且當(dāng)將控制器的設(shè)計參數(shù)r設(shè)計成分段函數(shù)或者高斯函數(shù)這一類非線性函數(shù)時，可以較大地減少控制系統(tǒng)末端點到達(dá)目標(biāo)坐標(biāo)位置的時間。

6 結(jié) 論

為實現(xiàn)平面Acrobot系統(tǒng)末端點從初始位置到目標(biāo)位置的快速控制，本文提出了一種基于可變設(shè)計參數(shù)的控制方法。該方法利用平面Acrobot系統(tǒng)的完全可積性質(zhì)，通過控制驅(qū)動桿實現(xiàn)了欠驅(qū)動桿的連帶控制。并根據(jù)平面Acrobot系統(tǒng)的兩類約束關(guān)系定義目標(biāo)函數(shù)，由PSO算法解出兩桿目標(biāo)角度值。最后通過構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)來設(shè)計控制器，實現(xiàn)了平面Acrobot末端點的位置控制任務(wù)。特別是根據(jù)控制器中設(shè)計參數(shù)r的特性，將r設(shè)計成與驅(qū)動桿角度相關(guān)的一類非線性函數(shù)，實現(xiàn)了系統(tǒng)末端點位置的快速控制。仿真結(jié)果的對比驗證了所提控制方法可以較大地減少系統(tǒng)到達(dá)控制目標(biāo)的時間。

[1] LAI X Z,PAN C Z,WU M,et al.Unified control of n-link underactuated manipulator with single passive joint:A reduced order approach[J].Mechanism and Machine Theory,2012,56(12):170.

[2] 張靜,孫強(qiáng),關(guān)婷婷.TORA系統(tǒng)的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出反饋控制[J].哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報,2015,20(6):83.ZHANG Jing,SUN Qiang,GUAN Tingting.Output feedback control of the TORA system based on adaptive neural network[J].Journal of Harbin University of Science and Technology,2015,20(6):83.

[3] 高丙團(tuán),陳宏鈞,張曉華.欠驅(qū)動機(jī)械系統(tǒng)控制設(shè)計綜述[J].電機(jī)與控制學(xué)報,2006,10(5):541.GAO Bingtuan,CHEN Hongjun,ZHANG Xiaohua.Control design for underactuated mechanical systems:a survey[J].Electric Machines and Control,2006,10(5):541.

[4] 劉殿通,易建強(qiáng),譚民.不確定欠驅(qū)動非線性系統(tǒng)的模糊滑?？刂芠J].電機(jī)與控制學(xué)報,2003,7(3):215.LIU Diantong,YI Jianqiang,TAN Min.Fuzzy sliding mode control of uncertain underactuated nonlinear systems[J].Electric Machines and Control,2003,7(3):215.

[5] LAI X Z,ZHANG A C,SHE J H,et al.Motion control of underactuated three-link gymnast robot based on combination of energy and posture[J].IET Control Theory and Application,2011,5(13):1484.

[6] 武俊峰,王勝達(dá).模糊控制在二級倒立擺系統(tǒng)中的應(yīng)用[J].哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報,2013,18(4):12.WU Junfeng,WANG Shengda.The application of fuzzy control in double inverted pendulum[J].Journal of Harbin University of Science and Technology,2013,18(4):12.

[7] XIN X,SHE J H,YAMASAKI T,et al.Swing-up control based on virtual composite links for n-link underactuated robot with passive first joint[J].Automatica,2009,45(9):1986.

[8] ZHANG M J,TARNTJ.Hybrid control of the pendubot[J].IEEE/ASME Transactions on Mechatronics,2002,7(1):79.

[9] PATRICIO O J,OMAR S J,VIRGILIO L M.Toward a generalized sub-optimal control method of underactuated systems[J].Optimal Control Applications & Methods,2012,33(3):338.

[10] XIN X,MITAT,KANEDAM.The posture control of a two-link free flying acrobot with initial angular momentum[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2004,49(7):1201.

[11] FANTONI I,LOZANOR,SPONG M W.Energy based control of the pendubot[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2002,45(4):725.

[12] LAI X Z,PAN C Z,WU M,et al.Robust stabilization and disturbance attenuation for a class of underactuated mechanical systems[J].Journal of Central South University,2012,19(9):2488.

[13] MARTON L,HODEL A S,LANTOS B,et al.Underactuated robot control:comparing LQR,subspace stabilization,and combined error metric approaches[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics,2008,55(10):3724.

[14] LUO Yibiao,LAI Xuzhi,WU Min.A positioning control strategy of planar Acrobot[C].Proceeding of the 30th Chinese Control Conference,Yantai,China,2011:743-747.

[15] SUZUKI T,MIYOSHI W,NAKAMURA Y.Control of 2R underactuated manipulator with friction[C].Proceedings of the 37th IEEE Conference on Decision and Control,Tampa,USA,1998,2007-2012.

[16] MAHINDRAKAR A D,SHODHAN R,BANAVAR R N.Point-to-point control of a 2R planar horizontalunderactuated manipulator[J].Mechanism and Machine Theory,2006,41(7):838.

[17] ARAIH,TACHIS.Position control of manipulator with passive joints using dynamic coupling[J].IEEE Transactions onRobotics and Automation,1991,7(4):528.

[18] POPESCU C,WANG Y,ROTH Z.Passivity based control of spring coupled underactuated horizontaldouble pendulum[C].Proceedings of the Florida Conference of recent Advances in Robotics,Florida,USA,2003:1-17.

[19] ALFREDO J R F,JAIME A G,Rafael C L.Trajectory planning and control of an underactuated planar2R manipulator[C].Proceedings of the IEEE International Conference on Control Applications,Mexico,2001:548-552.

[20] 劉慶波,余躍慶.基于遺傳算法的欠驅(qū)動機(jī)器人模糊控制器設(shè)計[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報,2008,20(8):2097.LIU Qingbo,YU Yuejin.Fuzzy controller design for underactuated robots based on GA method[J].Journal of System Simulation,2008,20(8):2097.

[21] ORIOLOG,NAKAMURAY.Control of mechanical systems with second-order nonholonomic constraints:Underactuated manipulators[C].Proceedings of 30th IEEE Conference on Decision and Control,Brighton,England,1991:2398-2403.

[22] CAO Shengqiang,LAI Xuzhi,WU Min.Motion control method of planar Acrobot based on trajectory characteristics[C].Proceeding of the 31th Chinese Control Conference,Hefei,China,2012:4910-4915.

[23] KHALIL H K.Nonlinear systems (3rd Ed.)[M].New Jersey:Prentice Hall,2002.

(編輯：張 楠)

RapidpositioncontrolapproachbasedonvariabledesignparameterforplanarAcrobot

WANG Ya-wu1,2，LAI Xu-zhi1,2，WU Min1,2

(1.School of Automation,China University of Geosciences,Wuhan 430074,China;2.Hubei key Laboratory of Advanced Control and Intelligent Automation for Complex Systems,Wuhan 430074,China)

A rapid position control approach based on a variable design parameter was presented for a planar Acrobot which has no gravity item.Firstly,angle constraint relationship and angular velocity constraint relationship between active joint and passive joint were obtained by employing the complete integral characteristics of the planar Acrobot.Next,another kind of the constraint relationship between the endpoint position and two angles of joint was deduced according to the physical structure of the planar Acrobot.Then,the target angles of joint were obtained by using particle swarm optimization (PSO) algorithm based on the above two kinds of constraint relationship.Finally,a controller was designed for planar Acrobot by constructing a Lyapunov function,and a variable design parameter of the controller was chosen to reduce the control time according to the characteristics of parameter.When the active link was controlled to the target angle,the passive link was also controlled jointly to its target angle by utilizing angular velocity constraint relationship and angle constraint relationship.That is,the endpoint of the planar Acrobot was driven to the target position.Simulation results demonstrate the effectiveness and rapidity of the proposed control approach.

planar underactuated mechanical system; planar Acrobot; position control; particle swarm optimization algorithm; nonlinear function

10.15938/j.emc.2017.09.015

TP 4

:A

:1007-449X(2017)09-0110-09

2015-01-20

國家自然科學(xué)基金(61374106)；湖北省自然科學(xué)基金(2015CFA010)；“111計劃”項目(B17040)

王亞午(1990—)，男，博士研究生，研究方向為欠驅(qū)動機(jī)器人控制、非線性系統(tǒng)控制；賴旭芝(1966—)，女，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為智能控制、機(jī)器人控制和非線性系統(tǒng)控制；吳 敏(1963—)，男，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為魯棒控制、智能控制和過程控制。

賴旭芝