Matlab在IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)教學(xué)中的應(yīng)用

李娟+吳謹(jǐn)+鄭慶慶+楊莘+劉勁

[摘 要]數(shù)字信號(hào)處理是電子信息類專業(yè)一門重要的專業(yè)課程，該課程理論性強(qiáng)，知識(shí)點(diǎn)多，內(nèi)容抽象，需應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)廣泛。教師可通過(guò)介紹IIR數(shù)字濾波器的基本設(shè)計(jì)方法，并以IIR數(shù)字低通濾波器為例結(jié)合Matlab的工具箱函數(shù)對(duì)濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程進(jìn)行仿真演示，分析利用沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的特性，使學(xué)生獲得數(shù)字濾波的感性認(rèn)知，進(jìn)一步理解用沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的原理與方法。實(shí)踐表明，將Matlab引入課堂教學(xué)，有助于學(xué)生掌握重點(diǎn)、理解難點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)字信號(hào)處理課程的學(xué)習(xí)興趣，有效提高教學(xué)質(zhì)量。

[關(guān)鍵詞]數(shù)字信號(hào)處理；Matlab；IIR數(shù)字濾波器；沖激響應(yīng)不變法；雙線性變換法

[中圖分類號(hào)] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2017）08-0081-04

數(shù)字信號(hào)處理是電子信息類專業(yè)一門重要的專業(yè)課程，該課程理論性強(qiáng)，知識(shí)點(diǎn)多，內(nèi)容抽象，需應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)廣泛。僅依靠傳統(tǒng)方式的理論授課很難將抽象概念講解清楚，因此引入實(shí)例分析和Matlab仿真輔助課堂教學(xué)[1]-[8]，有助于學(xué)生更好地掌握數(shù)字信號(hào)處理的基本理論和方法，更深入地理解重難點(diǎn)知識(shí)，同時(shí)可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)是數(shù)字信號(hào)處理課程的重要內(nèi)容。數(shù)字濾波器通常分為無(wú)限長(zhǎng)沖激響應(yīng)（IIR）濾波器和有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)（FIR）濾波器，其中，IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的主要方法是首先設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬濾波器，然后通過(guò)S平面到Z平面的變換，求得滿足技術(shù)指標(biāo)的數(shù)字濾波器。[9][10]實(shí)現(xiàn)S平面到Z平面的映射有兩種方法，即沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法。本文介紹了利用Matlab設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的方法[11][12]，使學(xué)生更直觀地理解數(shù)字濾波的概念、沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法的特點(diǎn)，以及采樣間隔的選取對(duì)數(shù)字濾波特性的影響。

一、IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法

（一）沖激響應(yīng)不變法

圖3中，ω/π處對(duì)應(yīng)的模擬頻率為0.5Hz。可見，數(shù)字濾波器逼近模擬濾波器在頻率范圍0～0.5Hz以內(nèi)的幅頻特性，且曲線形狀很相近，本質(zhì)原因是模擬和數(shù)字頻率之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系是線性的；并且數(shù)字濾波器在ω = π附近的衰減小于模擬濾波器在f = 0.5Hz附近的衰減，即數(shù)字濾波器在ω = π附近發(fā)生混疊失真，本質(zhì)原因是S平面到Z平面是多值映射的關(guān)系。

保持?jǐn)?shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)不變，減小采樣間隔T，比如取T = 0.1，設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的幅頻特性曲線如圖4所示：

比較圖3和圖4可知，當(dāng)給定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)時(shí)，不能通過(guò)減小采樣間隔T改善混疊失真。

但是當(dāng)給定模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)時(shí)，情況則不同。保持圖2所示模擬濾波器的幅頻特性，采樣間隔分別取1和0.1時(shí)，轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的幅頻特性如圖6所示。圖5給出了模擬濾波器在頻率范圍0～5Hz上的幅頻特性。ω/π = 1處對(duì)應(yīng)的模擬頻率與采樣間隔T有關(guān)，當(dāng)T = 1時(shí)，對(duì)應(yīng)的模擬頻率為0.5Hz；當(dāng)T = 0.1時(shí)，對(duì)應(yīng)的模擬頻率為5Hz。比較圖5和圖6可知，T越小，數(shù)字濾波器與模擬濾波器的幅頻特性差別越小，即混疊失真越小。

數(shù)字濾波器在ω/π = 1處的幅度降為零，因?yàn)殡p線性變換法的頻率壓縮作用，建立了S平面和Z平面之間一一對(duì)應(yīng)的單值映射關(guān)系，消除了頻率混疊失真，使得數(shù)字濾波器逼近模擬濾波器在整個(gè)頻率區(qū)間上的幅頻特性。但是由于模擬頻率和數(shù)字頻率之間呈非線性關(guān)系，使得數(shù)字濾波器在幅頻曲線形狀上偏離模擬濾波器較大。

保持?jǐn)?shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)不變，減小采樣間隔T，比如取T = 0.1，設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的幅頻特性曲線如圖9所示：

比較圖8和圖9可知，當(dāng)給定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)時(shí)，改變采樣間隔，數(shù)字濾波器的幅頻特性基本不變。

保持圖7所示模擬濾波器的幅頻特性，采樣間隔T分別取1和0.1時(shí)，轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的幅頻特性如圖10所示。比較圖7和圖10可知，T小一些，數(shù)字濾波器在幅頻曲線形狀上偏離模擬濾波器相對(duì)小一些，本質(zhì)原因是非線性的影響少一些。

四、結(jié)語(yǔ)

本文詳細(xì)介紹了利用Matlab設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器的方法，該方法也可以推廣到IIR數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。在教學(xué)中利用Matlab仿真軟件演示數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程，可以幫助學(xué)生深入理解數(shù)字濾波器的基本理論和設(shè)計(jì)方法，對(duì)理論教學(xué)起到了很好的輔助作用。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

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[10] 高西全，丁玉美.數(shù)字信號(hào)處理[M].西安：西安電子科技大學(xué)出版社（第四版），2016.

[11] 萬(wàn)永革.數(shù)字信號(hào)處理的MATLAB實(shí)現(xiàn)[M].北京：科學(xué)出版社（第二版），2012.

[12] 維納·K·英格爾，約翰·G·普羅克斯.劉樹棠，陳志剛譯.數(shù)字信號(hào)處理（MATLAB版）[M].西安：西安交通大學(xué)出版社（第三版），2013.

[特約編輯：黃緊德]endprint