行列式的發(fā)展史及應(yīng)用

王曉春+張瑤+付吉麗

【摘要】行列式是由解線性方程組產(chǎn)生的一種算式。無(wú)論是在線性代數(shù)、多項(xiàng)式理論，還是在微積分學(xué)中，行列式作為基本的數(shù)學(xué)工具，都有著重要的應(yīng)用。矩陣概念的引入使得更多有關(guān)行列式的性質(zhì)被發(fā)現(xiàn)，行列式在許多領(lǐng)域都逐漸顯現(xiàn)出重要的意義和作用，出現(xiàn)了線性自同態(tài)和向量組的行列式的定義。

【關(guān)鍵詞】行列式 Cramer法則

【中圖分類(lèi)號(hào)】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）30-0205-02

《九章算術(shù)》的第八章提到谷物稱(chēng)重問(wèn)題。問(wèn)題：有三種谷物，如果第一種谷物有3袋、第二種谷物有2袋、第三種谷物有1袋，以上三種谷物總重量是39個(gè)重量單位。如果第一種谷物有2袋、第二種谷物有3袋、第三種谷物有1袋，以上三種谷物總重量是34個(gè)重量單位。如果第一種谷物有1袋、第二種谷物有2袋、第三種谷物有3袋，以上三種谷物總重量是26個(gè)重量單位。請(qǐng)問(wèn)，每種谷物一袋重量是多少（假設(shè)每種谷物每袋重量一樣）？

本書(shū)給出的求解方法是第一種谷物每袋重量是x、第二種谷物每袋重量是y、第三種谷物每袋重量是z，建立線性方程組：

該方程解法是，首先，把第二個(gè)方程乘以3，然后減去第一個(gè)方程的2倍。類(lèi)似地，把第三個(gè)方程乘以3減去第一個(gè)方程。此時(shí)方程變?yōu)椋?/p>

現(xiàn)在，把第三個(gè)方程乘以5，然后減去第二個(gè)方程的4倍。于是第三個(gè)方程化簡(jiǎn)為：得；將結(jié)果代入第二個(gè)方程得；將兩個(gè)值代入第一個(gè)方程得[1]。

《九章算術(shù)》給出的線性方程組的解法在現(xiàn)在看來(lái)就是數(shù)學(xué)里常說(shuō)的高斯消元法；高斯消元法是由德國(guó)的高斯在1803年提出的，用來(lái)求解n個(gè)未知量n個(gè)方程（）的線性方程組，而中國(guó)的《九章算術(shù)》在2000年前就已經(jīng)用這種方法了[1]。

對(duì)高斯消元法中解的表達(dá)式中線性方程組的系數(shù)和常數(shù)運(yùn)算可以發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律這就衍生出行列式。

一、行列式的歷史

行列式的應(yīng)用是線性方程組的求解，而且它的出現(xiàn)也是由線性方程組的求解問(wèn)題引出的。1545年，意大利的卡當(dāng)在著作《大術(shù)》中給出了一種解兩個(gè)一次方程組的方法。這種方法和后來(lái)的Cramer法則已經(jīng)很相似了，但卡當(dāng)并沒(méi)有給出行列式的概念。16世紀(jì)意大利的卡爾達(dá)諾和法國(guó)的笛卡等人幾乎要發(fā)現(xiàn)行列式。行列式被明確的提出是在1683年，而且巧合的是它由兩個(gè)屬于不同的國(guó)家的數(shù)學(xué)家提出的，這兩個(gè)人分別是德國(guó)的萊布尼茨和日本的關(guān)孝和。 1683年，萊布尼茨在寫(xiě)給法國(guó)數(shù)學(xué)家洛必達(dá)的信中提到：如果含兩個(gè)未知數(shù)三個(gè)方程的線性方程組

有解，那么，也就是相當(dāng)于行列式

盡管他沒(méi)能創(chuàng)造出完整的行列式理論體系，但是他明確地提出了求解線性方程組的過(guò)程中行列式的重要性，并掌握了行列式的結(jié)構(gòu)和一些對(duì)稱(chēng)準(zhǔn)則。

另一位提出行列式的人是日本的關(guān)孝和，他的著作《解伏題之法》直到他死后才由他的學(xué)生于1970年整理出版，在這本書(shū)中敘述了關(guān)孝和關(guān)于行列式的研究，他提煉并擴(kuò)展了《九章算術(shù)》里的行消元法，同時(shí)提出了行列式。

遺憾的是無(wú)論是關(guān)孝和還是萊布尼茨都沒(méi)有系統(tǒng)的闡述行列式及其理論。直到1750年瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆在他的著作《代數(shù)分析導(dǎo)論》中明確地提出了用行列式求解n個(gè)未知量n個(gè)方程（為正整數(shù)）的線性方程組。

Cramer法則：設(shè)元線性方程組：

如果它的系數(shù)行列式

則它有唯一的一組解且解的值為

其中為線性方程組常數(shù)列替換的第j列得到的行列式；為D的第i行第j列的代數(shù)余子式[2]。該方法稱(chēng)為Cramer法則。

一個(gè)行列式本身是一個(gè)數(shù)，那么行列式是否可以像數(shù)一樣進(jìn)行加減乘除的四則運(yùn)算呢？行列式的加法和乘法理論是由法國(guó)著名數(shù)學(xué)家柯西提出的，1812年柯西在法國(guó)科學(xué)院宣讀了一篇論文，該論文完整而系統(tǒng)地描述了行列式及其對(duì)稱(chēng)性和計(jì)算法則。

二、行列式的應(yīng)用

在天文方面的應(yīng)用

德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒提出：每一行星沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽(yáng)，而太陽(yáng)則處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上[3]； 該定律被稱(chēng)為開(kāi)普勒第一定律。由此可知任意行星的運(yùn)行軌道一定是一個(gè)二維曲線，即曲線方程如下：

利用Cramer法則計(jì)算該方程中系數(shù)及常數(shù)的值，進(jìn)而得到行星的軌道方程。

假設(shè)測(cè)定該行星的5個(gè)不同位置的坐標(biāo)為，，，，代入式（5）得到線性方程組為：

其中，，，，不同；

整理變形得：

設(shè)

（因?yàn)?，，，，不同的點(diǎn)）

同理，其中是由替換的第i列得到的，則

將上述解的表達(dá)式代入式（5）得行星的軌道方程：

行列式的主要用途是通過(guò)Cramer法則求解唯一解的線性方程組，而線性方程組在工業(yè)生產(chǎn)及日常生活中有著廣泛應(yīng)用，可以配平化學(xué)方程式，可以處理營(yíng)養(yǎng)食譜問(wèn)題，它在數(shù)學(xué)與其它自然科學(xué)、工程技術(shù)、社會(huì)科學(xué)特別是經(jīng)濟(jì)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。當(dāng)行列式階數(shù)較高的時(shí)候，它的計(jì)算是比較麻煩的，但隨著計(jì)算機(jī)軟件和硬件技術(shù)的不斷提高，現(xiàn)在已經(jīng)有相應(yīng)的軟件用來(lái)計(jì)算行列式例如MATLAB。這就實(shí)現(xiàn)了了行列式在更多領(lǐng)域的應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)：

[1] John D著. 代數(shù)的歷史[M]. 馮速，譯. 北京：人民郵電出版社，2010：141-147.

[2]郭潤(rùn)喜.王曉春. 線性代數(shù)[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社， 2010年7月，38-45.

[3]王國(guó)強(qiáng). 新天文學(xué)的起源[M].北京：中國(guó)科學(xué)技術(shù). ， 2010年11月，20-100.endprint