加權(quán)整體最小二乘算法在直線擬合中的應(yīng)用

曹澤強(qiáng)++朱笑笑

摘要：在日常測(cè)繪生產(chǎn)實(shí)踐中，常會(huì)遇到不等精度直線擬合的問(wèn)題，利用加權(quán)整體最小二乘算法可以有效解決此類問(wèn)題。首先對(duì)待解決問(wèn)題借助EIV模型建立誤差方程，然后采用Newton-Gauss法進(jìn)行迭代計(jì)算，將所得結(jié)果與最小二乘算法，整體最小二乘算法進(jìn)行橫向精度分析。經(jīng)實(shí)例計(jì)算可知，加權(quán)整體最小二乘算法擬合效果更好，擬合精度更高。

關(guān)鍵詞：加權(quán)整體最小二乘；EIV模型；直線擬合；Newton-Gauss法

Application of Weighted Integral Least Squares in Straight Line Fitting

CAO Ze-qiang， ZHU Xiao-xiao

（School of Geography and Urban Planning， Jiangsu Normal University， Xuzhou 221000）

Abstract： In the practice of daily surveying and mapping production， the problem of straight line fitting is often encountered. The weighted average squares algorithm can solve this problem effectively. Firstly， the error equation is established by means of EIV model. Then， the Newton-Gauss method is used to calculate the iteration. Finally， the result is compared with the least squares algorithm and the whole least squares algorithm. The results show that the weighted average squares algorithm is better and the fitting precision is higher.

Key words： weighted global least squares； EIV model； straight line fitting； Newton-Gauss method

一、引言

直線擬合在工程測(cè)量、變形監(jiān)測(cè)、橋梁建筑、房屋建造等測(cè)量工作中都有廣泛應(yīng)用[1]。一般擬合方法是測(cè)定直線上若干個(gè)點(diǎn)，假設(shè)自變量沒(méi)有誤差，然后依據(jù)最小二乘原則建立誤差方程。而實(shí)際情況下，自變量也是有誤差的，因此常規(guī)擬合方程中存在著一定的模型誤差[2]。若要減小這些誤差，可以利用整體最小二乘算法（Total Least Squares，TLS）來(lái)兼顧系數(shù)矩陣和觀測(cè)量的誤差以求得更為精確的擬合參數(shù)[3]。該算法起源于20世紀(jì)90年代，一經(jīng)提出便引起了很多學(xué)者的關(guān)注[4]。隨著對(duì)該算法的深入研究，學(xué)者們發(fā)現(xiàn)當(dāng)系數(shù)矩陣，觀測(cè)向量為不等精度觀測(cè)時(shí)，如果直接采用TLS算法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)則可能會(huì)出現(xiàn)解失真的情況[5]，因此需要引入?yún)f(xié)因數(shù)陣[6]的計(jì)算，即引入加權(quán)整體最小二乘算法（Weighted Total Least Squares，WTLS）。分別對(duì)觀測(cè)點(diǎn)的和坐標(biāo)分量賦予相應(yīng)權(quán)重[7]，以求得更為準(zhǔn)確的擬合結(jié)果。

二、直線擬合

設(shè)某條未知直線的方程表達(dá)式為：

（1）

（1）式中和分別為對(duì)應(yīng)誤差和的估計(jì)值。若有個(gè)觀測(cè)值，則存在個(gè)觀測(cè)方程，這些方程用矩陣可表述為：

（2）

（2）式中各元素表達(dá)式如下：

（3）

三、直線擬合算法模型

（一）TLS算法模型。

（4）

從式（4）中可以看出TLS算法默認(rèn)系數(shù)矩陣和觀測(cè)向量均是等精度觀測(cè)，從而不考慮其權(quán)陣。而在現(xiàn)實(shí)情況中，因?yàn)槟Ｐ驼`差、測(cè)量員操作誤差、儀器誤差等使得觀測(cè)向量和系數(shù)矩陣多為不等精度觀測(cè)[8]，從而需要為觀測(cè)向量和系數(shù)矩陣賦予相應(yīng)的權(quán)重，利用WTLS算法來(lái)解決此類直線擬合問(wèn)題。

（二）WTLS算法模型。

（5）

在式（5）中，，表示系數(shù)矩陣的偶然誤差矩陣，表示將按列拉伸向量化。和分別代表系數(shù)矩陣的列向量協(xié)因數(shù)陣和行向量協(xié)因數(shù)陣，且，，為階方陣，為階方陣。在TLS算法中，和皆為單位陣；而WTLS算法分別賦予觀測(cè)向量和系數(shù)矩陣以不同的權(quán)重，因此WTLS算法的擬合模型為：

（6）

由于EIV模型是一種非線性模型，因此使用Shen[9]提出的基于Newton-Gauss法[10]的WTLS迭代算法。

對(duì)直線誤差方程進(jìn)行第次迭代計(jì)算后的結(jié)果為：

（7）

在（7）式中，表示的改正值，表示第次迭代計(jì)算所得系數(shù)矩陣的改正值。

借助（7）式構(gòu)造拉格朗日極值函數(shù)[11]：

（8）

對(duì)（8）式求偏導(dǎo)并消去得第次迭代計(jì)算所得參數(shù)近似值為：

（9）

（9）式中各元素表達(dá)式如下：

（10）

綜上可得基于Newton-Gauss法的WTLS迭代算法計(jì)算步驟為：

令 ，計(jì)算初始值[12]：

（11）

迭代過(guò)程從到，當(dāng)（為給定閾值）時(shí)，迭代終止。

（三）實(shí)例分析。

模擬直線，設(shè)計(jì)直線模型為。自變量范圍為、因變量范圍為，利用軟件隨機(jī)生成10個(gè)點(diǎn)，并為每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)和坐標(biāo)分別添加隨機(jī)誤差，然后用LS，TLS，WTLS三種算法進(jìn)行直線擬合。endprint

表1樣本數(shù)據(jù)

i xi Pxi yi Pyi

1 2.1582 1000 -7.9493 1.0

2 -2.2177 1000 18.3062 1.8

3 2.8303 500 -11.9818 4.0

4 4.2313 800 -20.3877 8.0

5 3.1582 200 -13.9490 20.0

6 1.2323 80 -2.3936 20.0

7 0.8249 60 0.0505 70.0

8 -0.1160 20 5.6957 70.0

9 -3.8206 1.8 27.9238 100.0

10 -5.0360 1.0 35.2160 500.0

擬合結(jié)果如表2：

表2擬合結(jié)果

估計(jì)量 真值 LS TLS WTLS

斜率 -6.0000 -6.0033 -6.0005 -5.9998

截距 5.0000 5.0411 5.0057 5.0025

精度分析如表3：

表3精度分析

計(jì)算算法 平均偏差 平均偏差

LS 0.0019 0.0359

TLS 0.0005 0.0053

WTLS 0.0002 0.0037

由表3可知，最小二乘算法（LS）所得參數(shù)估值與真值平均偏差最大。由于整體最小二乘算法（TLS）兼顧了系數(shù)矩陣和觀測(cè)向量的誤差，其解算結(jié)果優(yōu)于LS，平均偏差較LS算法降低了71.87%和85.19%。又因?yàn)榧訖?quán)整體最小二乘算法（WTLS）加入了協(xié)因數(shù)陣的計(jì)算，因此擬合效果最好，其平均偏差較LS算法降低了88.54%和89.70%，較TLS算法降低了62.96%和30.45%。

四條擬合直線圖如圖1：

圖1擬合直線圖

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：TLS算法兼顧系數(shù)陣和觀測(cè)向量的誤差，擬合結(jié)果相較LS算法與實(shí)際情況更加吻合；而在不等權(quán)觀測(cè)情況下，WTLS算法引入了協(xié)因數(shù)陣的計(jì)算，因此所得參數(shù)估值與真值平均偏差最小，其直線擬合效果明顯優(yōu)于LS和TLS算法。

四、結(jié)論

WTLS算法在處理不等精度觀測(cè)的直線擬合問(wèn)題時(shí)有明顯的優(yōu)勢(shì)，其相較于LS和TLS算法，可以得到精度更高、更穩(wěn)定的擬合結(jié)果。但是現(xiàn)行WTLS算法多涉及大量公式，計(jì)算過(guò)程仍較為繁瑣，不利于測(cè)量工作者們的快捷使用。因此在未來(lái)的測(cè)量數(shù)據(jù)處理中，如何結(jié)合實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)特點(diǎn)、判斷系數(shù)矩陣誤差、觀測(cè)向量誤差對(duì)參數(shù)求解的影響程度，以及如何更好的優(yōu)化WTLS算法等都是值得進(jìn)一步研究的問(wèn)題。

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作者簡(jiǎn)介：

第一作者，曹澤強(qiáng)（1996.06-），男，漢族，江蘇徐州，測(cè)繪工程。

第二作者，朱笑笑（1995.10-），女，漢族，江蘇連云港，遙感科學(xué)與技術(shù)。

注：江蘇省自然科學(xué)基金青年項(xiàng)目（BK20150236）；江蘇師范大學(xué)自然科學(xué)研究基金（15XLR019）endprint