雙變權(quán)緩沖GM(1,1)模型在GPS衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)中的應(yīng)用

吳定邦

(1.江西省水利規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院,江西 南昌 330029；2.江西省水工結(jié)構(gòu)工程技術(shù)中心,江西 南昌 330029)

雙變權(quán)緩沖GM(1,1)模型在GPS衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)中的應(yīng)用

吳定邦1,2

(1.江西省水利規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院,江西 南昌 330029；2.江西省水工結(jié)構(gòu)工程技術(shù)中心,江西 南昌 330029)

GPS衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)時(shí)，傳統(tǒng)GM(1,1)模型對(duì)存在跳變和擾動(dòng)因素的衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)預(yù)報(bào)效果較差，為了提高模型的預(yù)報(bào)精度，提出應(yīng)用緩沖算子改善原始數(shù)據(jù)的光滑度，而現(xiàn)實(shí)中傳統(tǒng)的緩沖算子大都是固定不變的，作用強(qiáng)度不可調(diào)，適用性較差。針對(duì)這些問題，引入變權(quán)緩沖算子結(jié)合加權(quán)背景值，通過搜索尋優(yōu)算法以擬合值和實(shí)際值的誤差平方和最小為目標(biāo)，選擇最優(yōu)變權(quán)緩沖系數(shù)和背景權(quán)值，從而構(gòu)建雙變權(quán)緩沖GM(1,1)模型。通過理論分析和算例結(jié)果表明，對(duì)不同類型GPS衛(wèi)星鐘，優(yōu)化的模型相比傳統(tǒng)GM(1,1)模型的預(yù)報(bào)精度改善效果不同，其中對(duì)銫鐘提高不明顯，對(duì)銣鐘均有所提高。

衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)；變權(quán)緩沖算子；加權(quán)背景值；雙變權(quán)緩沖GM(1,1)模型

吳定邦.2017.雙變權(quán)緩沖GM(1,1)模型在GPS衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)中的應(yīng)用[J].東華理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，40(2)：179-184.

Wu Ding-bang.2017.Application of double variable weight buffer GM(1,1) model in GPS satellite clock error prediction[J].Journal of East China University of Technology (Natural Science), 40(2)：179-184.

衛(wèi)星導(dǎo)航定位過程中，精確的位置測量實(shí)際上等同于精確的時(shí)間測量，高精度的時(shí)頻是保證衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)精度的必要條件(王甫紅等,2016;陳良等,2016)，沒有高精度的原子鐘就不可能實(shí)現(xiàn)高精度的點(diǎn)位測量。而精密單點(diǎn)定位中通常采用IGS或數(shù)據(jù)中心提供的精密星歷，這些精密鐘差數(shù)據(jù)為后處理數(shù)據(jù)，都有一定的延遲，而廣播星歷又達(dá)不到高精度定位的要求，所以對(duì)衛(wèi)星鐘差進(jìn)行實(shí)時(shí)準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)變得十分重要。

常用的衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)模型為二次多項(xiàng)式模型和GM(1,1)模型，崔先強(qiáng)等(2005)將GM(1,1)模型應(yīng)用到衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)，通過實(shí)例表明GM(1,1)模型比二次多項(xiàng)式模型更適用衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)，但傳統(tǒng)的GM(1,1)模型在實(shí)際預(yù)報(bào)中仍存在一些問題，即當(dāng)建模數(shù)據(jù)中存在跳變時(shí)，會(huì)對(duì)模型的預(yù)報(bào)效果產(chǎn)生較大的影響。文中試圖從數(shù)據(jù)本身出發(fā)，將變權(quán)緩沖算子和加權(quán)背景值(李大軍等,2002;周清等,2015)引入傳統(tǒng)GM(1,1)模型，通過與傳統(tǒng)GM(1,1)模型對(duì)比分析并和IGS網(wǎng)站上公布的精密鐘差數(shù)據(jù)對(duì)比，驗(yàn)證了文中提出改進(jìn)預(yù)報(bào)模型的可行性和有效性，為GPS實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)精密定位提供了一種可行方案。

1 傳統(tǒng)GM(1,1)建模機(jī)理

設(shè)X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}為原始鐘差序列，對(duì)該序列做一次累加生成：

(1)

式(1)中a,u為待識(shí)別的灰參數(shù)，由最小二乘法求灰參數(shù)：

(a,u)T=(BTB)-1BTL

(2)

(3)

累減還原得：

(4)

公式(3)、(4)為灰色GM(1,1)模型的具體計(jì)算公式。用(4)式進(jìn)行衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)。需要注意的是，灰色模型要求序列的符號(hào)為正，如果衛(wèi)星鐘差原始數(shù)據(jù)為負(fù)，則可以在建模前改變?cè)夹蛄蟹?hào)，建模后再來還原。此外，采用拉格朗日插值法對(duì)IGS缺失的數(shù)據(jù)進(jìn)行填充(李瑋等,2009)。

2 雙變權(quán)緩沖GM(1,1)模型的建立

星載原子鐘頻率高，容易受到外界環(huán)境和自身因素的影響而發(fā)生跳變，若直接用原始數(shù)據(jù)建立GM(1,1)模型，可能導(dǎo)致模型預(yù)測精度較差(鄭作亞等,2008)。為此，劉思峰(1992)提出了緩沖算子概念，利用緩沖算子對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理能減弱其隨機(jī)性、增強(qiáng)序列的光滑度進(jìn)而提高模型的預(yù)測效果。但傳統(tǒng)的緩沖算子作用效果不可調(diào)，即當(dāng)緩沖過弱時(shí)處理的效果不明顯，過強(qiáng)又會(huì)改變?cè)夹蛄械膬?nèi)在變化規(guī)律(王大鵬等,2013)。為了解決上述問題，文中將變權(quán)緩沖算子引入灰色GM(1,1)模型，解決了傳統(tǒng)緩沖算子不可調(diào)的問題同時(shí)結(jié)合加權(quán)背景值進(jìn)一步優(yōu)化GM(1,1)模型，有效的改善了GM(1,1)模型在GPS衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)上的精度。

2.1 基于變權(quán)緩沖算子的衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)預(yù)處理

設(shè)有X={x(1),x(2),…,x(n)}為原始數(shù)據(jù)序列，且有：

(5)

式中，0≤λ≤1；x(k)>0；k=1,2，…，n。則當(dāng)X單調(diào)增長、單調(diào)衰減或振蕩序列時(shí),D皆為弱化緩沖算子，稱D為變權(quán)弱化緩沖算子，λ為權(quán)系數(shù)。

根據(jù)王正新等(2009)變權(quán)弱化緩沖算子D在各點(diǎn)的調(diào)節(jié)度表示為

(6)

式中，r(k)代表x(k)到x(n)的平均變化率，變權(quán)弱化緩沖算子的調(diào)節(jié)度反應(yīng)了弱化緩沖算子對(duì)序列的作用強(qiáng)度。由式(6)可知，變權(quán)弱化緩沖算子的調(diào)節(jié)度等于變權(quán)弱化緩沖算子系數(shù)。因此，通過動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)變權(quán)弱化緩沖算子系數(shù)來解決傳統(tǒng)緩沖算子作用強(qiáng)度過強(qiáng)或過弱的問題，從而實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)預(yù)處理。

2.2 雙變權(quán)緩沖GM(1,1)模型的建立

由于鐘差數(shù)據(jù)本身存在著跳變和干擾，為了弱化鐘差序列的波動(dòng)、強(qiáng)化序列的趨勢(shì)性，使用變權(quán)弱化緩沖算子對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)處理后結(jié)合加權(quán)的背景值構(gòu)造優(yōu)化的GM(1,1)模型,按以下步驟建模。

(1)設(shè)原始鐘差數(shù)據(jù)序列為X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}，使用變權(quán)弱化緩沖算子對(duì)鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，弱化其干擾項(xiàng)、增強(qiáng)其趨勢(shì)性、增加序列的光滑度。

y(0)(k)=λx(0)(n)+(1-λ)x(0)(k),k=1,2,…,n

(7)

Y0=[y(0)(1),y(0)(2),…,y(0)(n)]

(2)對(duì)Y0按第1部分傳統(tǒng)GM(1,1)模型建模，其中背景值Z(i)取為：

(8)

(3)由公式(5)可得最終預(yù)測值：

(9)

從上述建模過程可知，影響模型精度的因素為變權(quán)弱化緩沖算子λ和背景值權(quán)重p，在滿足預(yù)測誤差平方和J最小的準(zhǔn)則下尋找最優(yōu)的λ,p。

(10)

J含有兩個(gè)變量，為了求得J的最小值，通過MATLAB自編程序(張智星,2002)，使用循環(huán)語句進(jìn)行試算(周一帆等,2017)。首先，變量λ從0開始以步長0.01試算到1，對(duì)于每個(gè)給定試算的λ，p都從0開始以步長0.01試算到1，最后可得到滿足條件的a,u,λ,p，建立預(yù)測模型。

3 算例分析

本次實(shí)驗(yàn)采用IGS官網(wǎng)公布的采樣間隔為5 min的精密鐘差，時(shí)間為2006-12-13，對(duì)應(yīng)IGS 官網(wǎng)上的14053.clk，預(yù)報(bào)時(shí)間為2006-12-14和2006-12-15。由于IGS提供的精密鐘差誤差很小，因此可將預(yù)報(bào)時(shí)間段內(nèi)對(duì)應(yīng)的已知精密鐘差值作為參考真值。且從http://www.navcen.uscg.gov/?Do=constellationStatus發(fā)現(xiàn)，截止到目前為止，GPS導(dǎo)航系統(tǒng)在軌運(yùn)行的衛(wèi)星共32顆，按不同的衛(wèi)星類型及衛(wèi)星鐘類型，共分為IIF Rb，IIA Cs，IIR Rb，IIF Cs，IIA Rb，IIR-M Rb六種類型衛(wèi)星鐘(王宇譜等,2013)，限于篇幅，以PRN03，PRN08，PRN11，PRN24，PRN26，PRN29六顆衛(wèi)星為代表分別對(duì)應(yīng)前面六類衛(wèi)星鐘，并分別用傳統(tǒng)GM(1,1)模型(方案一)、文中提出的優(yōu)化模型(方案二)進(jìn)行建模預(yù)報(bào)，將鐘差預(yù)報(bào)結(jié)果的最大值、最小值、均方差作為評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)預(yù)報(bào)效果進(jìn)行分析，具體結(jié)果見圖1～6和表1。

圖1 PRN03衛(wèi)星的IGS精密星歷及相應(yīng)模型的預(yù)報(bào)誤差Fig.1 PRN 03 satellite IGS precision ephemeris and the corresponding model prediction error

圖2 PRN08衛(wèi)星的IGS精密星歷及相應(yīng)模型的預(yù)報(bào)誤差 Fig.2 PRN 08 satellite IGS precision ephemeris and the corresponding model prediction error

圖3 PRN11衛(wèi)星IGS精密星歷及相應(yīng)模型的預(yù)報(bào)誤差 Fig.3 PRN11 satellite IGS precision ephemeris and the corresponding model prediction error

圖4 PRN24號(hào)衛(wèi)星的IGS精密星歷及相應(yīng)模型的預(yù)報(bào)誤差Fig.4 PRN24 satellite IGS precision ephemeris and the corresponding model prediction error

圖5 PRN26號(hào)衛(wèi)星的IGS精密星歷及相應(yīng)模型的預(yù)報(bào)誤差Fig.5 PRN26 satellite IGS precision ephemeris and the corresponding model prediction error

圖6 PRN29號(hào)衛(wèi)星的IGS精密星歷及相應(yīng)模型的預(yù)報(bào)誤差 Fig.6 PRN29 satellite IGS precision ephemeris and the corresponding model prediction error

衛(wèi)星號(hào)預(yù)報(bào)方法最小值最大值均方差PRN03方案一-98．18562．384629．7069方案二-77．52432．108223．4796PRN08方案一-31．62006．022210．5527方案二-31．11636．014710．3915PRN11方案一-90．18982．167028．0626方案二-10．77000．92283．4961PRN24方案一-7．00137．97993．6720方案二-7．26287．42993．7711PRN26方案一-136．44011．624240．8660方案二-3．09461．52151．0595PRN29方案一-98．99303．344829．8647方案二-56．50032．860217．0734

(1)從這六類衛(wèi)星鐘差圖可知，在一天時(shí)間內(nèi)，兩類銫鐘均比銣鐘的起伏波動(dòng)大，說明銣鐘相比銫鐘更穩(wěn)定，銣鐘得到的原始數(shù)據(jù)質(zhì)量相比銫鐘更好。李曉宇等(2013)也進(jìn)一步分析了導(dǎo)致這種差異的原因：①原子鐘自身鐘差跳變或外來干擾；②銫鐘用于早期發(fā)射的衛(wèi)星上，本身就精度不高，更由于長期的使用造成了設(shè)備老化。

(2)圖2、圖4和表1結(jié)果表明，對(duì)PRN08號(hào)衛(wèi)星，優(yōu)化模型得到的均方差為10.391 5 ns，傳統(tǒng)GM(1,1)模型得到的均方差為10.552 7 ns，對(duì)PRN24號(hào)衛(wèi)星，優(yōu)化模型得到的均方差為3.771 1 ns，傳統(tǒng)GM(1,1)模型得到的均方差為3.672 0 ns?？梢妼?duì)銫鐘而言，以一天的鐘差數(shù)據(jù)建模預(yù)報(bào)未來兩天鐘差，兩種模型的預(yù)報(bào)效果相當(dāng)；而對(duì)不同類型的銣鐘(PRN03，PRN11，PRN26，PRN29)，從圖1、3、5、6和表1計(jì)算結(jié)果表明，優(yōu)化模型預(yù)測精度均優(yōu)于傳統(tǒng)GM(1,1)模型預(yù)測精度，值得一提的是，對(duì)呈遞增趨勢(shì)的PRN11號(hào)衛(wèi)星鐘差，文中模型的均方差僅為3.496 1 ns，而傳統(tǒng)GM(1,1)模型的均方差達(dá)到了28.062 6 ns，對(duì)呈遞減趨勢(shì)的PRN26號(hào)衛(wèi)星鐘差，文中模型的均方差為1.059 5 ns，傳統(tǒng)GM(1,1)模型為40.866 0 ns，優(yōu)化模型相比傳統(tǒng)GM(1,1)模型預(yù)測精度提高了一個(gè)數(shù)量級(jí)。

通過以上分析可知，優(yōu)化模型對(duì)不同類型衛(wèi)星鐘處理的效果不同。銫鐘由于其本身跳變或干擾幅度較大，使得變權(quán)弱化緩沖算子作用失效，得到的預(yù)測效果和傳統(tǒng)GM(1,1)模型預(yù)測效果相當(dāng)；而銣鐘本身具有較好的穩(wěn)定性，得到的鐘差數(shù)據(jù)也較平穩(wěn)，使得優(yōu)化的模型更能發(fā)揮其優(yōu)勢(shì)，預(yù)測的精度也越高。為了更進(jìn)一步驗(yàn)證文中模型，筆者對(duì)其它銣鐘均作相同的處理，結(jié)果與文中結(jié)論均一致?？梢?，基于變權(quán)弱化緩沖算子和背景值優(yōu)化的GM(1,1)模型更適合銣鐘預(yù)報(bào)。

4 結(jié)論

衛(wèi)星鐘差的實(shí)時(shí)可靠性預(yù)報(bào)是實(shí)現(xiàn)GPS高精度單點(diǎn)定位的關(guān)鍵技術(shù)之一，而高精度的實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)依賴高精度的預(yù)報(bào)模型。文中從這一角度出發(fā)，針對(duì)傳統(tǒng)GM(1,1)預(yù)測模型的不足，將變權(quán)緩沖算子和加權(quán)背景值相結(jié)合構(gòu)建了雙變權(quán)緩沖GM(1,1)模型，優(yōu)化的模型不僅克服傳統(tǒng)GM(1,1)模型缺陷還兼具有傳統(tǒng)GM(1,1)特性(即當(dāng)λ=0，p=0.5)、時(shí)即為傳統(tǒng)GM(1,1)模型)。算例結(jié)果表明，對(duì)銫鐘而言，兩種模型預(yù)報(bào)精度相當(dāng)，推薦選擇相對(duì)簡單的傳統(tǒng)GM(1,1)模型，對(duì)銣鐘而言，優(yōu)化模型的預(yù)報(bào)精度較傳統(tǒng)GM(1,1)模型預(yù)報(bào)精度有一定的提高，更符合鐘差預(yù)報(bào)的需要，推薦以優(yōu)化的模型作為預(yù)報(bào)模型。值的一提的是，文中算例均基于短期鐘差預(yù)報(bào)，針對(duì)長期鐘差預(yù)報(bào)還需進(jìn)一步的研究。

陳良,耿長江,周泉.2016.北斗/GPS實(shí)時(shí)精密衛(wèi)星鐘差融合解算模型及精度分析[J].測繪學(xué)報(bào),45(9):1028-1034.

崔先強(qiáng),焦文海.2005.灰色系統(tǒng)模型在衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)中的應(yīng)用[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào):信息科學(xué)版,30(5):447-450.

李大軍,孫旭紅,湯擁軍.2002.PGM(1,1)灰色預(yù)測模型及其應(yīng)用[J].華東地質(zhì)學(xué)院學(xué)報(bào),25(1):40-43.

李瑋,程鵬飛,秘金鐘.2009.灰色系統(tǒng)模型在衛(wèi)星鐘差短期預(yù)報(bào)中的應(yīng)用[J].測繪通報(bào),(6):32-35.

李曉宇,楊洋,胡曉粉,等.2013.基于改進(jìn)灰色ARMA模型的衛(wèi)星鐘差短期預(yù)報(bào)研究[J].大地測量與地球動(dòng)力學(xué),33(1):59-63.

劉思峰.1992.緩沖算子及其應(yīng)用[J].灰色系統(tǒng)理論與實(shí)踐，2(1)：45-50.

王大鵬,汪秉文.2013.基于變權(quán)緩沖灰色模型的中長期負(fù)荷預(yù)測[J].電網(wǎng)技術(shù),37(1):167-171.

王甫紅,夏博洋,龔學(xué)文. 2016.顧及鐘差變化率的GPS衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)法[J].測繪學(xué)報(bào),45(12):1387-1395.

王宇譜,呂志平,陳正生,等.2013.衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法研究[J].測繪學(xué)報(bào),42(3):323-330.

王正新,黨耀國,劉思峰.2009.變權(quán)緩沖算子及緩沖算子公理的補(bǔ)充[J].系統(tǒng)工程,27(1):113-117.

張智星.2002.MATLAB程序設(shè)計(jì)與應(yīng)用[M].北京:清華大學(xué)出版社:23-75.

鄭作亞,陳永奇,盧秀山.2008.灰色模型修正及其在實(shí)時(shí)GPS衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)中的應(yīng)用研究[J].天文學(xué)報(bào),49(3):306-320.

周清,王奉偉.2015.灰色預(yù)測模型背景值改進(jìn)方法比較分析[J]. 東華理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,38(2):231-234.

周一帆,魯鐵定,王奉偉,等.2017.灰色預(yù)測模型初始條件求解的優(yōu)化解法[J].測繪科學(xué),40(9):1-6.

Application of Double Variable Weight Buffer GM(1,1) Modelin GPS Satellite Clock Error Prediction

WU Ding-bang1,2

(1.Jiangxi Provincial Water Conservancy Planning and Designing Institute,Nanchang，JX 330029,China;2.Jiangxi Province Hydraulic Structure Engineering Technology Center,Nanchang，JX 330029,China)

In the satellite clock error prediction, the traditional GM (1,1) model has poor prediction effect on satellite clock error data with transition and disturbance factors.In order to improve the prediction accuracy of the model, it is proposed to apply the buffer operator to improve the smoothness of the original data, but in reality, most of the traditional buffer operator is fixed, not strength adjustable, poor applicability. In order to solve these problems,the variable weight buffer operator and the weighted background value are introduced to find the optimal variable weight buffer coefficient and background weight by searching the optimization algorithm with the least sum of the square error for fitting value and the actual value so as to construct the double variable weight buffer GM (1,1) model.Through theoretical analysis and numerical example results show that the optimized model has different effect on the prediction accuracy of different types of GPS satellite clock compared with the traditional GM (1,1) model,which is not obvious for the cesium clock, but for the rubidium clock is obvious.

satellite clock error prediction; variable weights buffer operator; weighted background value; double variable weight buffer GM (1,1) model

2016-12-21

吳定邦(1972—)，男，高級(jí)工程師，工程碩士，主要從事精密工程測量，GPS衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)等方面的工作。E-mail:737354273@qq.com

10.3969/j.issn.1674-3504.2017.02.011

P228

A

1674-3504(2017)02-0179-06