《利用“輔助圓”巧解一類動態(tài)平衡問題》一文引發(fā)的思考

蔣金團++牛云景

摘 要：對《利用“輔助圓”巧解一類動態(tài)平衡問題》一文中的解題方法進行了點評，并給出新的解法與之對比。

關(guān)鍵詞：動態(tài)平衡；拉密定理；輔助圓

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2017）8-0036-3

《物理教學(xué)探討》2016年第12期刊登了一篇名為《利用“輔助圓”巧解一類動態(tài)平衡問題》的文章（以下簡稱文獻1）[1]，該文主要介紹了輔助圓在三力動態(tài)平衡問題中的應(yīng)用。筆者仔細拜讀后，發(fā)現(xiàn)文中的方法并不是想象中的那么方便快捷，故在原文的基礎(chǔ)之上作些探討。

1 對文獻1兩個例題的研究

例題1 如圖1所示，圓弧形貨架擺著四個完全相同的光滑小球，O為圓心。則對圓弧面的壓力最小的是（ ）

A.a球 B.b球

C.c球 D.d球

參考答案：小球?qū)A弧面的壓力大小等于球的重力沿斜面向下的分力mgsinθ，由圖1可知，a球所在處的傾斜角θ（斜面與水平方向的夾角）最小，所以壓力最小，故選A 。

文獻1的解答：選項A是正確的答案，但真如解析所說：“小球?qū)A弧面的壓力大小等于球的重力沿斜面向下的分力mgsinθ？把圖中的小球放大后，分析受力如圖2所示。其中FA1和FA2對應(yīng)擋板在A點時圓弧面和擋板對球的支持力，從圖中可以看出FA1和FA2并不是互相垂直的。顯然，參考答案的解析是錯誤的。有什么辦法解決此類問題？現(xiàn)取擋板在圖中A、B受力分析，并把FA1和FA2，F(xiàn)B1和FB2各自獨立合成后再來分析。

如圖2所示，F(xiàn)B1和FB2表示擋板在B點時圓弧面和擋板對球的支持力。在圖中∠FA2O'FA1與∠FB2O'FB1是相等的，即圖中α、β角是相等的，故4點F■、O'、FA1、FB1共圓。去掉圖中其他線條，作出4點所在圓（如圖3所示）。主要擋板最低能擺放到豎直位置，即擋板對球的支持力F2不能轉(zhuǎn)到水平位置。由圖3可知，當擋板逆時針轉(zhuǎn)動時，點O'在圓周沿FA1和FB1方向移動，其中圓弧對球的支持力不能指向4點確定的圓的直徑方向，故圓弧對球的支持力不斷增大，擋板對球的支持力不斷減小。

點評分析：文獻1與參考答案的分歧在于，參考答案把小球看成一個質(zhì)點，此時小球?qū)A弧面的壓力大小等于球的重力沿斜面向下的分力mgsinθ，從而快速確定答案。而文獻1認為小球不能看成質(zhì)點，適當放大之后，圓弧面對小球的支持力和擋板對小球的支持力并不垂直，因此套用正交分解的結(jié)論是錯誤的。顯然，題目中沒有說明小球可看成質(zhì)點，文獻1的解法確實更為嚴謹。但是對于中學(xué)生來說，該法費時費力效果不佳。筆者曾把文獻1的解法傳授給學(xué)生，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生根本理不清幾對線條之間的幾何關(guān)系，更談不上巧妙構(gòu)圓，因此尋找一種更便捷的方法是很有必要的。

筆者的解法：如圖4所示，對小球受力分析后可知，小球受到的兩個力雖然不垂直，但是當小球緩慢下滑時，兩彈力之間的夾角α+β保持不變，可采用拉密定理求解。根據(jù)拉密定理，在同一平面內(nèi)，當三個共點力的合力為零時，其中任一個力與其他兩個力夾角正弦的比值相等，■=■，即■=常數(shù)。當小球緩慢下移時，α角減小，β角增大， F2逐漸增大，所以圓弧面對a球的支持力最小。根據(jù)牛頓第三定律，a球?qū)A弧面的壓力最小。該法的最大好處是避開了復(fù)雜的線條關(guān)系，用公式進行定量分析，方便快捷。

例題2 如圖5所示，桿BC的B端用鉸鏈接于豎直墻上，另一端C為一定滑輪。重物G系一繩經(jīng)過滑輪固定于墻上的A點，桿恰好平衡。若將繩的A端沿墻稍向下移至A'點，再使之平衡，桿重、滑輪大小及各處摩擦均可省略，則此時滑輪C的位置（ ）

A.在AA'之間 B.與A'點等高

C.在A'點之下 D.在A點之上

文獻1的解答：引進“輔助圓”，則解答會變得一目了然。C點總在以B為圓心，BC為半徑的圓周上，如圖6所示。其中，BC線總是∠ACG的角平分線。根據(jù)這個特點，我們可作出各點的位置關(guān)系（如圖7所示），P和P' 關(guān)于BC所在直徑對稱，直觀可見，C的位置在A點之上，故選D。

筆者的解法：對C點受力分析，由于桿一直平衡且兩段細繩的拉力相等，因此桿對C點的彈力一定處在兩段細繩之間的角平分線上。如圖8所示，A點下移時，兩段繩之間的夾角減小，角θ跟著減小，所以桿只能往左上邊擺動，滑輪的位置升高，故選D。

在分秒必爭的考場上，快準狠解題是取得高分的保證。碰到難題時，只能采取化繁為簡的策略，而文獻1恰恰弄反了，一個比（下轉(zhuǎn)第39頁）（上接第37頁）較簡單的平衡題硬是畫圓浪費時間，這種做法筆者不太贊同。

2 小 結(jié)

三力動態(tài)平衡一直是高考的熱點，給學(xué)生講透是很有必要的，但一法通吃各種情形的策略往往繁瑣不堪。因此，最好的做法是分門別類，針對不同條件，靈活選用不同的方法。筆者通常給學(xué)生總結(jié)如下的三種情況：（1）三力平衡時，有一個力是恒力，還有一個力的方向不變，優(yōu)先考慮圖解法判斷動態(tài)變化；（2）三力平衡時，有一個力是恒力，且其余兩個力之間的夾角保持不變，優(yōu)先考慮拉密定理判斷動態(tài)變化；（3）三力平衡時，有一個力是恒力，其余兩個力的方向都在變，優(yōu)先考慮三角形相似判斷動態(tài)變化。

需要說明的是，不少四力動態(tài)平衡問題也可轉(zhuǎn)化成三力平衡問題，上述分類還有挖掘的空間，希望感興趣的朋友同行試之。

參考文獻：

[1]彭立君.利用“輔助圓”巧解一類動態(tài)平衡問題[J].物理教學(xué)探討，2016，34（12）：46-47.

（欄目編輯 羅琬華）endprint