多參數(shù)空間的非線性非定常氣動力降階模型

陳志強，趙永輝

(南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016)

多參數(shù)空間的非線性非定常氣動力降階模型

陳志強，趙永輝

(南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016)

基于線性卷積和修正因子，發(fā)展了一種多參數(shù)空間的非線性、非定常氣動力降階模型(ROM)，從而高效地獲得準確的非定常氣動力。首先，基于階躍響應的卷積構建線性降階模型；然后應用拉丁超立方抽樣得到參數(shù)空間內的抽樣點，分別計算各抽樣點處的修正因子；利用Kriging插值得到整個參數(shù)空間內的修正因子，從而得到參數(shù)空間內的修正降階模型。以Isogai機翼為研究對象，考慮馬赫數(shù)、俯仰振幅、沉浮振幅和減縮頻率的變化對降階模型精度的影響；最后將模型降階與模型結構方程耦合，進行氣動彈性分析并預測顫振邊界，由此論證了該降階模型的有效性。

修正因子；拉丁超立方抽樣；Krigin插值；非線性非定常氣動力；降階模型(ROM)

0 引 言

非定常氣動力是氣動伺服彈性系統(tǒng)的重要組成部分之一，其建模的好壞直接影響到整個氣動伺服彈性分析與綜合的成敗。隨著計算方法和計算機性能的提高，產生了各種基于計算流體力學(Computation fluid dynamics,CFD)的非定常氣動力計算方法。這些方法通常需要復雜的氣動網格，在結構與氣動之間反復迭代計算，消耗巨大的計算時間，并且非定常氣動力的數(shù)據(jù)量大，因此采用這些方法進行氣動伺服彈性分析與綜合非常困難?；贑FD的模型降階(Reduced-order model,ROM)方法為非定常氣動力的計算提供了一個有效的手段。近些年來，各種非定常流場ROM技術得到了很大的發(fā)展，文獻[1]全面系統(tǒng)地介紹了非定常流場ROM的國內外研究進展，對其發(fā)展趨勢和應用前景進行了展望，并指出自適應魯棒ROM是下一代ROM技術的發(fā)展方向。

在線性系統(tǒng)中，用CFD計算得到單位階躍或脈沖激勵的系統(tǒng)響應，然后應用Duhamel原理得出的卷積積分方式可以得到任意運動下的響應。Volterra級數(shù)是通過卷積增加高階非線性項進行非線性模擬[2]，已經有很多文獻研究其在非定常氣動力上的應用。文獻[3-5]系統(tǒng)研究了基于CFD/CSD耦合求解器的Volterra/ROM建模方法，發(fā)展了基于Volterra/ROM的氣動彈性主動控制律設計方法。為了考慮系統(tǒng)高頻響應，文獻[6]提出了離散氣動力脈沖響應的概念，發(fā)展了基于CFD模型求取Volerra核的辨識方法，并成功用于亞聲速和跨聲速直機翼氣動分析。文獻[7-8]發(fā)現(xiàn)用CFD求解器辨識結構脈沖產生的非定常氣動力有時很不穩(wěn)定，而采用階躍響應計算Volterra核比用脈沖響應穩(wěn)定性有很大提高；并且一階核就能描述大部分氣動非線性，增加高階核對提高精度效果并不是特別明顯。

航空航天飛行器的飛行包線一般都包含多個馬赫數(shù)區(qū)間，例如高超聲速飛行器[9]，從起飛經過亞聲速、跨聲速、超聲速，繼而達到高超聲速巡航。在每一個馬赫數(shù)區(qū)間，都要進行相應的氣動力建模。然而，在進行控制仿真時更希望用一個氣動力模型盡可能地涵蓋多個馬赫數(shù)區(qū)間；這樣不僅可以避免轉換模型時計算時間的增加和可能導致的誤差，而且消除了不同氣動力模型的邊界條件不匹配；因此，大大提高了整個仿真的效率。

正如前面所講，希望建立能適用大范圍馬赫數(shù)(或者其它飛行參數(shù))的ROM，而不是只在很小的馬赫數(shù)區(qū)間內有效。文獻[10]從風洞試驗提取數(shù)據(jù)，用Volterra核得到在多個不同飛行條件下的狀態(tài)空間系統(tǒng)，并且可以預測除測試的飛行條件以外的氣動力。文獻[11]運用插值方法由子模型的Volterra核得到全局的核，分段插值的方法應用到各個子模型的轉換，從而得到適用較廣泛的飛行參數(shù)的ROM。文獻[12]運用非線性變參數(shù)方法拓展前述Volterra模型，能夠在多個飛行參數(shù)范圍捕捉強非線性現(xiàn)象。文獻[13]在線性降階方法的基礎上引入修正因子，使其在一定模態(tài)振幅和馬赫數(shù)范圍內有效，并將此方法應用到高超聲速飛行器的非定常氣動力預測。

采用階躍響應辨識Volterra核的限制在于階躍輸入的幅值不能過大，否則可能導致CFD程序出現(xiàn)數(shù)值問題。引入修正因子，從而避免該問題。本文建立一個結合修正因子的線性卷積的非定常氣動力ROM，在參數(shù)空間內計算修正因子，從而使ROM在這個參數(shù)空間內有效。本文將該方法應用到跨聲速非定常氣動力的預測，以兩自由度翼型為例；通過與直接CFD計算結果對比，證明ROM的有效性，并發(fā)展一個誤差指標用于評估ROM的精度；最后，把ROM與模型結構方程耦合，進行氣動彈性分析并預測顫振邊界。

1 非定常氣動力的降階模型

圖1表示構建非定常氣動力ROM的整體流程。首先，由CFD計算得到模型的階躍響應，利用卷積積分得到模型在任意振動下的響應，即為未修正的線性ROM響應；然后，計算抽樣點處的修正因子，利用Kriging插值得到參數(shù)空間內的修正因子的值；最后，引入修正因子到線性ROM得到修正后的非線性ROM。ROM的輸入是模型的模態(tài)振型和模態(tài)振幅，輸出是非定常的時間精度的氣動力系數(shù)。

圖1 非定常氣動力ROM流程圖Fig.1 Schematic of ROM for unsteady aerodynamics

1.1 線性卷積

如果知道系統(tǒng)對單位階躍激勵和單位脈沖激勵的響應，就可以得到線性系統(tǒng)對任意輸入的響應。文獻[7]指出利用階躍響應可以得到更佳的結果且容易用于CFD計算，并且不太容易產生數(shù)值問題，所以選用階躍輸入。連續(xù)時間域，系統(tǒng)對任意輸入f(t)的響應y(t):

(1)

應用到CFD時需轉化為離散格式:

u[n-1])H[n-k]

(2)

經過線性卷積得到的結果作為線性ROM的響應，即為yconv。

另外需要指出的是在本文研究中，系統(tǒng)的輸入為模態(tài)位移，則：模態(tài)位移階躍輸入

(3)

式中:A0是模態(tài)位移的幅值；然后要將CFD的階躍響應正則化，即為式(2)中的H[n-k]。

在進行CFD階躍響應計算時，需要確定時間步長和模態(tài)階躍幅值，在此遵守以下原則：1)時間步長要選擇足夠小以達到足夠的分辨率的響應，從而保證每個周期內有足夠的時間步；2)必須控制網格的變形幅值和變形速度，保證CFD程序不出現(xiàn)數(shù)值

問題，所以根據(jù)時間步長，確定合適模態(tài)階躍輸入幅值；3)基于線性擾動的假設，網格的變形幅值和變形速度應該保持足夠小。

1.2 修正因子

線性降階方法的局限性在于它只適用于小振幅情形，若實際的系統(tǒng)具有較強的非線性效應，線性模型會有較大的誤差。為了擴大降階模型的適用范圍，本文引入修正因子fc，其定義為線性與非線性響應的比值關系

(4)

首先確定輸入?yún)?shù)值，比如馬赫數(shù)、模態(tài)振幅等；然后將相應振幅的階躍激勵同時施加在相應的模態(tài)上，CFD計算得到的收斂響應值即為ynonlin；對于較大幅值的情況，防止CFD程序出現(xiàn)數(shù)值問題，逐步增加幅值達到最終值，得到穩(wěn)定的響應值即為ynonlin；最后分別在各個模態(tài)上施加單位階躍激勵得到收斂響應值，再乘上相應的模態(tài)振幅，各個模態(tài)的響應值相加的和即為ylin。δ為引入的偏移量，避免出現(xiàn)數(shù)值問題。修正因子計算過程的說明如圖2～3所示。

圖2 計算ynonlin的示意圖Fig.2 Schematic for the calculation of ynonlin

圖3 計算ylin的示意圖Fig.3 Schematic for the calculation of ylin

得到修正因子后，修正線性ROM的響應值yconv，修正后的響應值ycorr可表示為：

ycorr=fc(yconv+δ)-δ

(5)

1.3 拉丁超立方抽樣

為了構建準確的修正因子Kriging面，必須在參數(shù)空間內選擇足夠的抽樣點，本文應用拉丁超立方抽樣選取參數(shù)空間內合適的抽樣點。

基于Maximin準則的逐次局部枚舉拉丁超立方試驗設計方法[14](Successive local enumeration, SLE)的采樣過程是一個簡單的局部優(yōu)化過程，目標為待選定的樣本點與已生成的樣本點之間的最小距離最大化。與其它現(xiàn)有拉丁超立方采樣算法最大的不同在于，其它算法采樣過程中有全局目標函數(shù)，采樣過程繁瑣復雜，由于優(yōu)化過程的不確定性且存在著魯棒性不高的問題，而SLE方法采樣過程中的目標函數(shù)為局部的最小距離最大化，具有更高的空間均勻性和投影均勻性。

1.4 Kriging插值

Kriging模型是1951年由Danic Krige提出的一種估計方差最小的無偏估計模型，它通過相關函數(shù)的作用，具有局部估計的特點，對非線性模型有很好的逼近能力。文獻[15]用Kriging模型近似估計確定的計算模型，復雜形式的Kriging模型能更準確更容易地估計計算模型。

假定在一個N維的設計空間取M個樣本點x(1),x(2),…,x(M)，y=[fc1,fc2,…,fcM]是這些抽樣點處的修正因子值，在Kriging模型中，需要插值的未知函數(shù)Φ(x)表示為如下形式：

(6)

(7)

式中:RM×M為相關矩陣，元素Rij=R(x(i),x(j))。

(8)

式中:N表示x的維數(shù)，pk是需要確定的相關模型參數(shù)。

(9)

式中:F是維數(shù)為M×n的矩陣，第i行表示對應第i個采樣點的n個回歸模型。

(10)

式中:

r(x)=[R(x,x(1))R(x,x(2)) …R(x,x(M))]T

(11)

1.5 利用修正因子修正ROM

修正因子的Kriging面構建完成以后，即可引入修正因子修正線性ROM。在任一時間步上，已知相應的馬赫數(shù)和模態(tài)振幅，可由修正因子的Kriging面中獲得對應的修正因子fc，代入式(5)即為修正后的響應值。ROM計算中的每一個時間步都要重復上述過程。

1.6 誤差分析

在此，定義誤差參數(shù)用于量化ROM的精度。均方根誤差(Lerror)定義為：

(12)

式中:yROM,i表示第i時間步上ROM的響應值，yCFD,i表示第i時間步上CFD的響應值，分母表示在整個CFD響應值中最大值與最小值的差。

2 算例與分析

2.1 模型描述

本節(jié)以Isogai機翼模型為研究對象，分別研究ROM在參數(shù)空間內的精度和跨聲速顫振邊界預測，從而論證非線性ROM的有效性。圖4為Isogai機翼的兩自由度力學模型，該翼段模型采用NACA64A010翼型為氣動外形，其氣動網格如圖5所示。

圖4 Isogai機翼的兩自由度力學模型Fig.4 Two-degree-of-freedom model of Isogai wing model

圖4中，xα是重心到剛心的距離，b是半弦長，rα是機翼對剛心的回轉半徑，kh和kα分別是沉浮剛度和扭轉剛度。

圖5 NACA64A010翼型的氣動網格Fig.5 Computational grids for a NACA64A010 airfoil

對于二元翼段，其氣動彈性方程如下：

(13)

(14)

式中:ρ∞為無窮遠處來流密度，V∞為無窮遠處來流速度，cR為平均氣動力弦長。

(15)

2.2 修正因子的計算

對于流場的CFD計算，采用半離散有限體積法求解基于Spalart-Allmaras湍流模型的可壓雷諾平均納維-斯托克斯控制方程，雷諾數(shù)為4×106。本文研究翼型在零攻角下的俯仰和沉浮兩種振動模態(tài)，無量綱的時間步長為0.6。

2.3 構建修正因子的Kriging面

在此，考慮的參數(shù)有：馬赫數(shù)Ma，俯仰振幅d1，沉浮振幅d2，選取的范圍見表1。

表1 參數(shù)取值范圍

因為翼型NACA64A010是對稱翼型，負的幅值下的升力系數(shù)和力矩系數(shù)與相應正的幅值下的升力系數(shù)和力矩系數(shù)互成相反數(shù)，所以可大幅減少CFD的計算量。應用SLE在參數(shù)空間內得到107個樣本點用于構建修正因子的Krigin面。

2.4 馬赫數(shù)測試

為了測試不同馬赫數(shù)對ROM精度的影響，保持模態(tài)振幅d1=3°,d2=0.1和振動頻率ωh=ωα=100 rad/s不變，考察馬赫數(shù)區(qū)間0.75～0.95中模型的誤差。另外，選取4個馬赫數(shù)用于構建ROM，即Mastep=0.8,0.85,0.9,0.95；并且在相應馬赫數(shù)下的階躍響應用于計算yconv。在此，馬赫數(shù)區(qū)間內選取10個點用于分析，測試結果如圖6～7所示。由圖6～7可知，升力系數(shù)和力矩系數(shù)的誤差都比較小，在4%以內，并且整體趨勢相似，升力系數(shù)和力矩系數(shù)對Mastep較為敏感，當仿真馬赫數(shù)Masim與Mastep越接近時，誤差也相對越小。

圖6 升力系數(shù)誤差Fig.6 Errors of lift coefficient

圖7 力矩系數(shù)誤差Fig.7 Errors of moment coefficient

2.5 振幅測試

為了測試兩階模態(tài)振幅的增加對ROM精度的影響，現(xiàn)保持馬赫數(shù)Masim=0.85與減縮頻率k=0.172不變，考察不同振幅下ROM的誤差，并對比修正后的降階模型與未修正的降階模型的誤差。用于計算ylin和yconv的馬赫數(shù)Mastep=0.85。首先測試俯仰振幅d1，令沉浮振幅d2=0，升力系數(shù)和力矩系數(shù)的誤差如圖8所示；然后令俯仰振幅d1=0，測試沉浮振幅d2，升力系數(shù)和力矩系數(shù)的誤差如圖9所示。對比結果顯示，修正后的ROM的誤差在振幅參數(shù)范圍內都很小，并保持基本一致，但未修正的ROM的誤差隨著幅值的增大而快速增加；說明修正因子的加入對ROM的修正效果非常明顯。

圖8 Masim=0.85，俯仰振幅測試誤差Fig.8 ROM errors, pitch amplitude tests, Masim=0.85

圖9 Masim=0.85，沉浮振幅測試誤差Fig.9 ROM errors, heave amplitude tests, Masim=0.85

2.6 角頻率測試

為了測試減縮頻率的增長對ROM精度的影響，現(xiàn)保持馬赫數(shù)Masim=0.85與振幅d1=4°,d2=0.1不變，考察不同減縮頻率下ROM的誤差。與振幅測試類似，選取馬赫數(shù)Mastep=0.85，在減縮頻率k=0～0.25的區(qū)間內選取6個測試點，如圖10所示。升力和力矩系數(shù)的誤差都保持在1%以內，但是隨著減縮頻率的增加，誤差也在增大，可能是流場內部的不穩(wěn)定性增加所導致的；另外，力矩系數(shù)的誤差要比升力系數(shù)誤差略大。

圖10 Ma=0.85，頻率測試誤差Fig.10 ROM errors, frequency tests, Ma=0.85

2.7 隨機振動仿真

在工程實際中，結構往往會發(fā)生隨機振動，能準確預測這種激勵下的非定常氣動力對ROM也非常重要。在此，以有限帶寬的高斯白噪聲(Filtered white Gaussian noise, FWGN)運動規(guī)律作為CFD計算的輸入，俯仰振幅限制在5°以內，沉浮振幅限制在0.15以內，折合頻率為0.02到0.25，計算非定常氣動力。FWGN激勵下的俯仰和沉浮運動如圖11所示。

圖11 高斯白噪聲激勵下的俯仰和沉浮振動Fig.11 FWGN input signals for the pitch and heave motions

選取馬赫數(shù)Mastep=0.85，計算ROM在上述運動狀態(tài)下的響應值。在上述激勵下，ROM和CFD計算的結果如圖12所示，可以發(fā)現(xiàn)兩個結果吻合得很好。對于2000個時間步長非定常氣動力的計算，CFD計算花費大約21 min，而ROM只用2.73 s?？梢?，ROM計算效率要遠高于直接CFD方法。

圖12 高斯白噪聲激勵下，ROM結果與 CFD計算結果對比Fig.12 Direct CFD model outputs vs ROM outputs under the FWGN excitation

2.8 氣動彈性仿真

圖13 俯仰自由度的氣動彈性響應及FFT分析Fig.13 Heave time response and its FFT spectrum

圖14 沉浮自由度的氣動彈性響應及FFT分析Fig.14 Pitch time response and its FFT spectrum

圖15是基于直接CFD方法和ROM方法計算Isogai機翼顫振邊界的對比，二者結果基本一致。在馬赫數(shù)Ma=0.85左右出現(xiàn)跨聲速“凹坑”現(xiàn)象，隨后顫振速度有個躍升，在Ma=0.875～0.9的區(qū)間內又有一個下降，在Ma=0.9之后，顫振速度再次出現(xiàn)很大的躍升，然后緩慢增長，與文獻[16]結果一致。

圖15 CFD方法和ROM方法預測Isogai機翼的顫振邊界Fig.15 Flutter boundaries of the Isogai wing model computed by using direct CFD and ROMs

3 結 論

本文基于線性卷積和修正因子，利用Kriging插值得到參數(shù)空間內的修正因子，發(fā)展了一種多參數(shù)空間的非線性、非定常氣動力降階模型。通過馬赫數(shù)測試、振幅測試和頻率測試，考察其在參數(shù)空間內的精度；然后進行隨機振動仿真和氣動彈性仿真，論證了該ROM的有效性；得到以下結論：

1) 在所考慮的參數(shù)空間內，ROM得到了較好的結果，與CFD計算值的比較，誤差都在3%以內。在振幅測試中可發(fā)現(xiàn)修正后的ROM明顯好于未修正的ROM。

3) 將ROM應用到氣動彈性仿真，并且較準確地預測了顫振邊界，與CFD/CSD相互耦合方法比較，計算效率大幅提高，若應用到三維機翼，效果將更加明顯。

4) 修正因子的引入使該降階方法具有較好的魯棒性，可用于主動控制和氣動伺服彈性分析與設計。

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通信地址：南京航空航天大學航空宇航學院(210016)

電話：(025)84892152

E-mail: 994630093@qq.com

趙永輝(1969-)，男，教授，主要從事氣動彈性力學、振動主動控制方面的研究。本文通信作者。

通信地址：南京航空航天大學航空宇航學院(210016)

電話：(025)84892152

E-mail: zyhae@nuaa.edu.cn

A Multi-Parameter Space Reduced Order Model ofNonlinear Unsteady Aerodynamics

CHEN Zhi-qiang, ZHAO Yong-hui

(State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

A multi-parameter space reduced order model (ROM) of nonlinear unsteady aerodynamics is proposed based on the linear convolution and correction factor, to obtain the unsteady aerodynamics accurately and efficiently. Firstly, a linear reduced order model is constructed using the convolution of modal step responses. Then, the nearly-orthogonal Latin hypercubes are used to determine the appropriate sampling points in the parameter space, and calculate the correction factor at each sampling point. Finally, the Kriging surfaces for the correction factor are calculated using the Kriging interpolation method, and the modified reduced order model is obtained. The basic geometric model used for the validation of ROM is the Isogai wing. The effects of the Mach number, sinusoidal input amplitudes and oscillation frequency on the accuracy of the ROM are all investigated. The ROM is coupled with the structural model to make a time-marching simulation, and predict the flutter speed. The validation of the ROM in multi-parameter space is proved by the comparison with results obtained via the high-fidelity computation fluid dynamics solver.

Correction factor; Latin hypercube sampling; Kriging interpolation; Nonlinear unsteady aerodynamics; Reduced order model (ROM)

2017- 04-12;

2017- 06- 06

國家自然科學基金(11472128)

V215.3

A

1000-1328(2017)08-0813-09

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.08.005

陳志強(1988-)，男，博士，主要從事氣動彈性力學和非定常氣動力降階研究。