組合體機(jī)動中可變形桁架運(yùn)動規(guī)劃研究

鄧雅，張錦江北京控制工程研究所，北京100190

組合體機(jī)動中可變形桁架運(yùn)動規(guī)劃研究

鄧雅，張錦江＊
北京控制工程研究所，北京100190

目前對空間組合體中可變形桁架（Variable Geometry Truss，VGT）運(yùn)動規(guī)劃問題的研究集中在各級均為單自由度或離散二狀態(tài)等簡單結(jié)構(gòu)的情形，未解決所有可調(diào)長度桿都能夠自由運(yùn)動的復(fù)雜結(jié)構(gòu)運(yùn)動規(guī)劃問題。文章根據(jù)組合體的幾何關(guān)系，建立了遞推位姿運(yùn)動學(xué)模型，再由自由漂浮系統(tǒng)動量守恒，建立了微分運(yùn)動學(xué)模型。給出了單級VGT變化序列與運(yùn)動時間分開設(shè)計的兩步運(yùn)動規(guī)劃方法，并在優(yōu)化目標(biāo)中加入能量項，給出了多級冗余VGT的運(yùn)動規(guī)劃方法。最后通過仿真驗證了算法的有效性，在算例中優(yōu)化指標(biāo)為J＝0.879 8，該方法對以VGT作為空間操作機(jī)構(gòu)的組合體研究具有一定工程指導(dǎo)意義。

空間操作機(jī)構(gòu)；可變形桁架；運(yùn)動規(guī)劃；遺傳算法；運(yùn)動學(xué)建模；組合體機(jī)動

Key words：space operation structure；variable geometry truss；motion planning；genetic algorithm；kinematic modeling；multibody maneuvering

中國將于2020年前后建成空間站，它由核心艙、實驗艙等艙段構(gòu)成［1］，艙段之間通過空間操作機(jī)構(gòu)連接。空間操作機(jī)構(gòu)通常由機(jī)械臂實現(xiàn)，但限于質(zhì)量和任務(wù)，通常采用輕型材料、細(xì)長結(jié)構(gòu)，在操作大負(fù)載時柔性特征明顯［2］?？勺冃舞旒埽╒ariable Geometry Truss，VGT）也是空間操作機(jī)構(gòu)的一種，是指桁架空間結(jié)構(gòu)確定，而部分桿件長度可連續(xù)調(diào)節(jié)的自適應(yīng)結(jié)構(gòu)［3］。由于VGT通常安裝較多分布式的傳感器和執(zhí)行器，與傳統(tǒng)串聯(lián)機(jī)械臂相比，可以提供更強(qiáng)的靈活性，同時，其串并聯(lián)混合結(jié)構(gòu)具有更強(qiáng)的剛性，能夠?qū)崿F(xiàn)空間建造、組裝和運(yùn)輸?shù)裙δ埽诳臻g機(jī)器人、蛇形臂等領(lǐng)域都有應(yīng)用［4－5］。

已有學(xué)者針對VGT的建模和控制等問題進(jìn)行了研究工作。文獻(xiàn)［6－8］基于工作空間密度的概念和擴(kuò)散過程給出了離散二狀態(tài)平面VGT的建模和控制方法。文獻(xiàn)［3，9］提出了一組用3個角度值作為變量描述VGT非線性幾何模型的方程。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［4，10］中給出了一種空間八面體型VGT的定義和正逆運(yùn)動學(xué)模型，并給出了自由漂浮系統(tǒng)的動力學(xué)模型和控制方法，通過物理仿真驗證了有效性。文獻(xiàn)［11］采用自適應(yīng)結(jié)構(gòu)的思想研究了航天器搭載多個VGT時的動量管理問題。

在VGT的運(yùn)動規(guī)劃問題上，文獻(xiàn)［12］給出了一種以可調(diào)桿桿長作為控制變量的軌跡跟蹤方法，該方法運(yùn)算高效，但僅針對慢速運(yùn)動下的直線軌跡有效。文獻(xiàn)［13－16］給出了一類角度可調(diào)型平面VGT的建模和撓性模態(tài)最優(yōu)辨識方法，并采用序列二次規(guī)劃算法（Sequential Quadratic Programming，SQP）提出了一種能夠有效抑制振動的運(yùn)動規(guī)劃方法。文獻(xiàn)［17，18］借鑒文獻(xiàn)［6－8］的方法，給出了一種離散二狀態(tài)平面VGT的避障運(yùn)動規(guī)劃方法，但不能解決連續(xù)桿件的問題。

已有的研究未涉及自由漂浮的桿件連續(xù)變化VGT的運(yùn)動規(guī)劃問題。本文針對一類由平面VGT作為操作機(jī)構(gòu)的機(jī)動過程中的空間組合體，研究了VGT運(yùn)動規(guī)劃問題，給出了在單級和多級冗余情形下的規(guī)劃算法，并通過數(shù)學(xué)仿真進(jìn)行了驗證。具有較強(qiáng)的工程價值，為空間站艙段機(jī)動問題提供了一種解決途徑。

1 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述

首先給出平面VGT系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述。如圖1所示，系統(tǒng)由基座艙段、負(fù)載艙段及N級桁架構(gòu)成。第k級k＝1，2，…，N（

）桁架包括3根可調(diào)長度桿qk，1、qk，2和qk，3，以及下方的固定長度桿wk。第k級與第k＋1級桁架通過固定桿wk＋1連接?；摱巍⒇?fù)載艙段質(zhì)量分別為mb和me，繞各自質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量分別為Ib和Ie，艙段寬度的一半分別為db和de，長度與固定桿長度相等，基座艙段與桁架共用的固定桿為w1，負(fù)載艙段與桁架共用的固定桿為wN＋1。桿件質(zhì)量集中在端點(diǎn)，質(zhì)量均為m，wk的左右兩端分別為xl，k和xr，k。

圖1 平面VGT系統(tǒng)幾何模型示意Fig.1 Geometrical model of planar VGT

建立系統(tǒng)質(zhì)心坐標(biāo)系XOY，如圖1所示，原點(diǎn)位于系統(tǒng)質(zhì)心，x軸、y軸分別與慣性系坐標(biāo)軸平行。每級桁架固定桿wk相對x軸轉(zhuǎn)過的角度為θk。

每根可調(diào)桿可以簡化為圖2所示模型，即端點(diǎn)處的集中質(zhì)量通過彈簧阻尼相連接。

圖2 可調(diào)長度桿簡化模型Fig.2 Simplified model of a varied link

為研究方便，首先給出一些基本假設(shè)：

1）僅考慮剛性情形，桿件、基座艙段及負(fù)載艙段均為剛體；

2）系統(tǒng)處于自由漂浮狀態(tài)，忽略軌道運(yùn)動，忽略重力及其他引力；

3）由于桁架各級通常采用相同的材料及加工方式制成，以便于安裝和維護(hù)，因而假設(shè)各級桁架參數(shù)相同，即具有相同的集中質(zhì)量和相同的固定桿長wk＝w k＝1，2，…，N（

）。

本文研究VGT可調(diào)桿的運(yùn)動規(guī)劃，實現(xiàn)保證系統(tǒng)始末構(gòu)型不變，即各可調(diào)桿在運(yùn)動末時刻tf達(dá)到與初始時刻相同的長度，同時實現(xiàn)對基座艙段位姿的調(diào)節(jié)，即使得基座艙段位姿達(dá)到期望值?；蛎枋鰹樽顑?yōu)化問題：給定初始時刻t0，初始時刻可調(diào)桿長度qo，基座艙段初始位置為，姿態(tài)為速度b及角速度，期望末時刻位置和姿態(tài)。規(guī)劃各可調(diào)桿的長度函數(shù)q（t），t∈［t0，tf］ ，使得在末時刻tf，可調(diào)桿長度qf，長度變化率˙qf，基座艙段位置滿足：式中：J為優(yōu)化指標(biāo)，即實際值與期望值的誤差；‖·‖2為向量的2－范數(shù)。在此過程中，無外力及外力矩的參與。

2 組合體運(yùn)動學(xué)模型

根據(jù)圖1中的幾何關(guān)系，可計算出第1級桁架左側(cè)頂點(diǎn)位置xl，1和姿態(tài)θ1：

利用式（5）遞推可得第N＋1根固定桿左頂點(diǎn)位置xl，N＋1及角度θN＋1，從而求得負(fù)載艙段質(zhì)心位置xe和姿態(tài)θe：

式中：J為速度Jacobian矩陣，與系統(tǒng)幾何參數(shù)、慣性參數(shù)及可變桿件長度有關(guān)；J0為初值矩陣，體現(xiàn)了初始動量的影響。

3 運(yùn)動規(guī)劃

在第2節(jié)運(yùn)動學(xué)模型的基礎(chǔ)上，本節(jié)以誤差和時間為指標(biāo)，研究桁架運(yùn)動規(guī)劃問題。首先給出單級桁架規(guī)劃算法，而后在此基礎(chǔ)上給出了多級桁架冗余情形下的能量最優(yōu)規(guī)劃算法。為避免多根可調(diào)桿長度同時變化引起桁架結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定，故在任意時刻至多僅改變一根可調(diào)桿長度。

3.1 單級桁架運(yùn)動規(guī)劃算法

由于本文所研究的平面系統(tǒng)，其基座艙段具有3自由度，每級桁架有3根主動調(diào)節(jié)長度的桿件，因而桁架自由度為3 N。當(dāng)N＝1時，系統(tǒng)輸入輸出具有相同的自由度，式（10）中Jacobian矩陣為三階方陣。本節(jié)給出此類單級桁架系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)劃算法。為減小運(yùn)算量，提高運(yùn)算效率，將選取變化序列與尋找變化時間分開設(shè)計。

由于各可調(diào)長度桿依次變化長度，則長度變化次序可定義為變化序列S＝s1，s2，…，s2N

｛｝。N級桁架共有3N（）！2個變化序列，每個變化序列包含2 N個有序的非零元素s，每個元素表示一個長度變化的桿件序號，其中，“＋”表示桿件伸長，即˙q≥0，“－”表示桿件壓縮，即˙q≤0。

已知：VGT系統(tǒng)桁架為1級，即三根可調(diào)桿q1，1、q1，2和q1，3，為記號簡單，這里記為q1、q2和q3?；摱纬跏嘉恢脼樽藨B(tài)為

求解：規(guī)劃各可調(diào)桿的長度函數(shù)q（t）＝［q1（t），q2（t），q3（t）］T，t∈［t0，tf］ 。

算法步驟：

1）各可調(diào)長度桿長度變化的加速度絕對值為常值a，單根桿件先壓縮，再拉伸恢復(fù)原長，壓縮與拉伸時間相等。設(shè)q1，q2，q3的壓縮時間分別為t1，t2，t3，則末時刻：

2）固定變化時間，選取變化序列。首先假設(shè)t1＝t2＝t3＝ts，故各桿件桿長變化幅度相同。由于系統(tǒng)角動量守恒，且：

其中使得式（12）指標(biāo)最小的一組序列；而后采用遺傳算法求出滿足式（12）的一組運(yùn)動時間，即得到所求的運(yùn)動規(guī)劃。

4 仿真驗證

本節(jié)對所給出的模型及算法進(jìn)行數(shù)值仿真，以驗證其正確性。

首先令t1＝t2＝t3＝0.5s，遍歷桿件變化序列，結(jié)果如表1所示，選取使得式（11）中的J最小的一組順序。

仿真結(jié)果如圖3所示，系統(tǒng)在tf＝3.6s時最終完全復(fù)原到初始狀態(tài)。

4.2 單級桁架規(guī)劃算法仿真

根據(jù)第3.1節(jié)給出的算法，采用4.1節(jié)中的參數(shù)，在無外力及外力矩參與的情形下，設(shè)定初

圖3 運(yùn)動學(xué)模型仿真結(jié)果Fig.3 Results of kinematic model simulation

通過比較表1中數(shù)據(jù)，選取桿件轉(zhuǎn)動順序為第14組：S＊＝－2，－1，－3，＋1，＋3，｛＋2｝。在該順序下，以指標(biāo)最小化為目標(biāo)，調(diào)用Matlab的遺傳算法函數(shù)ga來搜索最優(yōu)解，得到3根桿件的最優(yōu)變化時間為：t1＝6.997 5s，t2＝7.663 6s，t3＝4.209 3s此時J＝0.879 8，長度變化曲線如圖4所示，基座艙段位姿xb（t）及速度˙xb（t）變化如圖5所示。

表1 固定時間，不同序列下的誤差值Table 1 Results of objective function under different move sequences and same moving time

圖4 可調(diào)長度桿仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of variable links

圖5 基座位姿及速度仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results of states of base body

5 結(jié)束語

本文針對由基座艙段、平面VGT、負(fù)載艙段組成的組合體在機(jī)動過程中，VGT可調(diào)桿的長度變化給出了運(yùn)動規(guī)劃算法。結(jié)果表明：

1）建立了系統(tǒng)幾何描述及運(yùn)動學(xué)模型，給出了運(yùn)動規(guī)劃目標(biāo)及約束，將該過程簡化為一個最優(yōu)問題。

2）針對單級桁架連續(xù)桿件系統(tǒng)，給出兩步尋優(yōu)的誤差最小算法，例如在所給算例中，使得運(yùn)動軌跡的末時刻位姿誤差指標(biāo)為J＝0.879 8。

3）針對多級桁架冗余系統(tǒng)，給出能量最優(yōu)運(yùn)動規(guī)劃算法。但運(yùn)算量仍然較大，需要進(jìn)一步研究減小運(yùn)算量的方法。

4）本文給出的算法對于以VGT作為操作機(jī)構(gòu)的空間系統(tǒng)的運(yùn)動具有一定的指導(dǎo)意義。

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［1］ 李廣興，肖余之，卜邵華，等.空間站組裝過程姿態(tài)控制方案研究［J］.載人航天，2012，18（1）：22－29.LI G X，XIAO Y Z，BU S H，el al.Research on attitude control scheme during space station assembly［J］.Manned Spaceflight，2012，18（1）：22－29（in Chinese）.

［2］ 危清清，王耀兵，唐自新，等.空間站柔性機(jī)械臂輔助艙段對接動力學(xué)分析［J］.中國空間科學(xué)技術(shù)，2016，36（3）：24－31.WEI Q Q，WANG Y B，TANG Z X，et al.Analysis on flexible space manipulator system assisted docking of space station［J］.Chinese Space Science and Technology，2016，36（3）：24－31（in Chinese）.

［3］ MIURA K，F(xiàn)URUYA H，SUZUKI K.Variable geometry truss and its application to deployable truss and space crane arm［J］.Acta Astronautica，1985，12（85）：599－607.

［4］ HUANG S，NATORI M C，MIURA K.Motion control of free－floating variable geometry truss，part 1：kinematics［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1996，19（4）：756－763.

［5］ MUROTSU Y，SENDA K，HISAJI K.Optimal configuration control of an intelligent truss structure［J］.Contemporary Physics，1991，42（3）：203.

［6］ CHIRIKJIAN G S，EBERT－UPHOFF I.Numerical convolution on the Euclidean group with applications to workspace generation［J］.IEEE Trans.Robot.Automat.，1998，2（14）：123－136.

［7］ EBERT－UPHOFF I.On the development of discretelyactuated hybrid－serial－parallel manipulators［D］.Baltimore：Johns Hopkins Univ.，1997.

［8］ WANG Y，CHIRIKJIAN G S.Workspace generation of hyper－redundant manipulators as a diffusion process on SE（N）［J］.IEEE Trans.Robot.Automat.，2004，20（3）：399－408.

［9］ MIURA K，F(xiàn)URUYA H.Adaptive structure concept for future space applications［J］.AIAA Journal，1988，26（26）：995－1002.

［10］ HUANG S，NATORI M C，MIURA K.Motion control of free－floating variable geometry truss，part 2：inverse kinematics［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1996，19（4）：764－771.

［11］ HANAHARA K，TADA Y.Motion of variable geometry truss for momentum management in spacecraft［J］.AIAA Journal，2002，40（8）：1673－1676.

［12］ UTKU S，RAMESH A V，DAS S K，et al.Control of a slow－moving space crane as an adaptive structure［J］.AIAA Journal，1991，25（6）：961－967.

［13］ SENBA A，F(xiàn)URUYA H.Identifiability and limitation of self－identification of adaptive structures by variable matrices method［J］.Japan Society of Aeronautical Space Sciences，2004，52（52）：479－486.

［14］ SENBA A，F(xiàn)URUYA H.Implementation algorithms for self－identification of adaptive structures with variable geometric properties［J］.Mechanical Systems ＆Signal Processing，2008，22（1）：1－14.

［15］ SENBA A，F(xiàn)URUYA H.Optimal configuration for the self－identification of a two－dimensional variable geometry truss［J］.Structural ＆Multidisciplinary Optimization，2010，40（1－6）：453－465.

［16］ SENBA A，OKA K，TAKAHAMA M，et al.Vibration

reduction by natural frequency optimization for manipulation of a variable geometry truss［J］.Structural＆Multidisciplinary Optimization，2013，48（5）：939－954.

［17］ MOTAHARI A，ZOHOOR H，KORAYEM M H.A new obstacle avoidance method for discretely actuated hyper－redundant manipulators［J］.Scientia Iranica，2012，19（4）：1081－1091.

［18］ MOTAHARI A，ZOHOOR H，KORAYEM M H.A new motion planning method for discretely actuated hyper－redundant manipulators［J］.Robotica，2017，35（1）：101－118.

（編輯：車曉玲）

Studyon motion planningof variable geometrytruss duringmultibodymaneuvering

DENG Ya，ZHANG Jinjiang＊
Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190，China

Most of current researches about variable geometry truss（VGT）motion planning only focus on the situation that each bay has single degree of freedom.Motion planning of VGT whose each bay are variable multiple links were investigated.Kinematic model was set up based on the geometrical relationship.Considering momentum conservation of the freefloating system，velocity kinematic model was formulated.A method of designing moving sequence and moving time separately was proposed for motion planning of single bay VGT.Additionally，multi－bay VGT motion planning problem was solved by energy optimum.Simulation results show that the algorithm is effective，and the optimizing index is 0.879 8.The method has practical benefits to the space operation system with VGT.

V448.2

A

10.16708／j.cnki.1000－758X.2017.0045

2016－11－09；

2017－03－27；錄用日期：2017－06－29；網(wǎng)絡(luò)出版時間：2017－08－11 13：21：16

http：∥kns.cnki.net／kcms／detail／11.1859.V.20170811.1321.009.html

鄧雅（1988－），女，博士研究生，dengyahit＠163.com，研究方向為航天器控制

＊通訊作者：張錦江（1973－），男，博士，研究員，ewindzjj＠163.com，研究方向為航天器控制、制導(dǎo)與仿真

鄧雅，張錦江.組合體機(jī)動中可變形桁架運(yùn)動規(guī)劃研究［J］.中國空間科學(xué)技術(shù)，2017，37（4）：10－17.

DENG Y，ZHANG J J.Study on motion planning of variable geometry truss during multibody maneuvering［J］.Chinese Space Science and Technology，2017，37（4）：10－17（in Chinese）.