基于IFS碼的分形圖形生成算法研究

陶雪嬌+陶薇薇

摘 要：迭代函數(shù)系統(tǒng)（Iritated Function System，IFS）是一種利用迭代或遞歸方式，將滿足收斂性的數(shù)學對象進行反復計算并拼貼生成具有分形特征作品的方法。首先從二維IFS公式原理上研究了分形圖形的拼貼公式以及推導；然后將分形作品按照自相似特征進行解析，形成多個仿射變換拼貼；再從整體到局部縮放、旋轉(zhuǎn)、平移等變換的角度，分析仿射變換指數(shù)的變化規(guī)律，得出IFS碼；最后對分形圖形進行了仿真分析。

關鍵詞：迭代函數(shù)系統(tǒng)；放射變換；分形圖

DOIDOI：10.11907/rjdk.171460

中圖分類號：TP312

文獻標識碼：A 文章編號文章編

號：1672-7800（2017）008-0053-03

0 引言

隨著數(shù)學與計算機學科發(fā)展，依托公式遞歸與迭代方式生成數(shù)字分形作品的藝術形式發(fā)展很快，分形藝術作品也在平面、視頻、影視、動畫、壓縮等領域得到了較好應用[1]。迭代函數(shù)系統(tǒng)（Ireration Function System，IFS）是基于函數(shù)迭代原理的仿射變換系統(tǒng)，是生成數(shù)字分形圖形的重要方法之一，在分形圖形數(shù)字生長中最具發(fā)展前景。IFS系統(tǒng)可以選取迭代函數(shù)，生成IFS吸引集，通過仿射變換（Affine Transformation）實現(xiàn)二維坐標之間的線性變換，保持二維圖形的“平直性”[2]。

1 二維平面的仿射變換拼貼原理

任何分形圖形都具有整體與局部相似的特性，每一組相似可視為從整體到局部的一個仿射變換，多個仿射變換集進行拼貼就能形成復雜的分形圖像。二維平面的IFS公式[3]如下：

S=Un[]i=1Fi（S）Pi（1）

其中，S是二維平面的點集，仿射變換是一個二維點集到二維點集的映射，其中Fi即仿射變換的變換函數(shù)， N個仿射變換函數(shù)映射的并集拼貼形成一個具有自相似特性的分形圖形，Pi是該變換函數(shù)在仿射拼貼中的權(quán)重值。

Fi是一個仿射變換的映射公式，Vj本身可以是任意的迭代算法，如線性（linear）、旋渦（swirl）、球形（spherical）等變換，可以寫成如下形式：

Fi（x，y）=Vj（aix+biy+ei，cix+diy+fi）（2）

由式（2）可以看出，F(xiàn)i輸入了一個點（x，y），然后傳入Vj進行線性變換，其簡化形式可以用式（3）表達：x′=ax+by+ey′=cx+dy+f（3）

式（3）可轉(zhuǎn)化為矩陣表達式：

x′y′=a cb dx[]y+ef=Txy+ef（4）

從式（3）和式（4）可以看出，F(xiàn)i的仿射變換即是對（x，y）點進行縮放、旋轉(zhuǎn)、拉伸、平移等線性操作，（x，y）是仿射變換前的點坐標，（x′，y′）是仿射變換后的點坐標，a、b、c、d、e、f是仿射變換系數(shù)，當把式（3）變成式（4）時，系數(shù)是矩陣的形式，便于在Matlab中計算和實現(xiàn)。在繪制某個分形圖形時，應當先分析分形圖形的自相似性，確定仿射變換系數(shù)。

當繪制的分形圖形比較復雜時，需要多個仿射變換，即確定仿射變換集{ωn}。多個仿射變換的結(jié)果會拼貼在一起進行迭代，此即IFS的拼貼原理。每個仿射變換在拼貼時所占比重不一樣，也即仿射變換集會對應一個比重集P=[p1，p2，p3]。

2 仿射變換生成IFS碼

以經(jīng)典的sierpinski三角為例，如圖1所示。墊片由3個基本的仿射變換組成，完整的墊片由這3個三角形進行各自仿射變換形成。由于這3個部分的形狀完全一樣，所占的比重也一樣，都是1/3，所以，P=[1/3，1/3，1/3]。

根據(jù)圖1可以分析出3個三角形相對于原始三角形的線性變換關系：原始三角形迭代后的形狀邊長是原邊長的一半，因此式（4）中的T可以確定為：

T=0.5 00 0.5（5）

3個三角形的起始坐標可以確定為（0，0），（1，0），（0.5，3/2），這3個坐標是迭代后3個三角形的坐標偏移量。很明顯在第二次迭代時，大三角形中間挖空了一個倒立的正三角形，可以將其解讀為3個同樣大小的三角形拼貼到一起，也即三角形①由原三角形邊長縮放到1/2且不平移，三角形②由原三角形縮放到1/2且平移坐標（1，0），三角形③由原三角形縮放到1/2且平移坐標（0.5，sin（pi/3））?？s放對應到式（4）中x和y的系數(shù)，即a與d，而平移對應到式（4）的e和f。迭代出來的3個三角形大小一樣，意即3個仿射變換的比重一樣為1/3，因此得出墊片的IFS碼。3個三角形的權(quán)重相等，因此概率因子pi用1等分，即pi=1/3，得到3個線性變換的IFS碼，見表1。

每一次迭代都采用相同的系數(shù)獲取映射點集、迭代數(shù)次，得到分形圖。執(zhí)行上述程序輸出的圖形如圖1所示。從Matlab的輸出結(jié)果可以看出，這是一個具有典型的自相似性的三角形墊片，初始是一個黑色的三角形，每次切掉中間倒立的正三角形，如此迭代，可得到sierpinski墊片。在IFS迭代函數(shù)系統(tǒng)中，迭代次數(shù)越多效果越清晰。

用同樣的方式可得出koch曲線的IFS碼，如圖2所示。第1次迭代時，koch曲線是一條直線，而第2次迭代時，koch曲線變成了4段，每一段等長，可以看作4個仿射變換，每個仿射變換的權(quán)重相等，因此概率因子pi用1等分，即pi=1/4。很明顯，在第二次迭代時，可以將其解讀為4個同樣大小的線段拼貼到一起，也即是線段①由原線段邊長縮放到1/3且不平移，線段②由原線段縮放到1/3且逆向旋轉(zhuǎn)60°且平移坐標（1/3，0），線段③由原線段縮放到1/3且正向旋轉(zhuǎn)60°且平移坐標（0.5，1/sqrt（12））， 線段③由原線段縮放到1/3且平移坐標（2/3，0）?？s放對應式（4）中各自的x、y系數(shù)，旋轉(zhuǎn)需要將坐標進行三角變換，而平移到式（4）的e和f，由此得出墊片的IFS碼，見表2。endprint

只要分析清楚對象的自相似特性，就可以建模具體的仿射變換進行拼貼，再根據(jù)公式（4）分析出各自的仿射變換IFS碼。

用同樣的方式可以得出分形樹的IFS碼，如圖3所示。第1次迭代時，分形樹是一條直線，而第2次迭代時，分形樹變成了5段，每一段等長，可以看做5個仿射變換，每個仿射變換權(quán)重相等，因此概率因子pi用1等分，即pi=1/5。很明顯在第二次迭代時，可以將其解讀為5個同樣大小的線段拼貼到一起，也即是線段①由原線段邊長縮放到1/3且不平移，線段②由原線段縮放到1/3且逆向旋轉(zhuǎn)30°且平移坐標（0，1/3），線段③由原線段縮放到1/3且平移坐標（0，1/3）， 線段④由原線段縮放到1/3且正向旋轉(zhuǎn)30°且平移坐標（0，2/3），線段⑤由原線段縮放到1/3且平移坐標（0，2/3）?？s放對應到式（4）中各自x和y的系數(shù)，旋轉(zhuǎn)需要將坐標進行三角變換，而平移對應到式（4）的e和f，得出墊片的IFS碼，見表3。

由以上例子可知，在進行縮放時，所有的系數(shù)abcd都需要乘以縮放系數(shù)。進行旋轉(zhuǎn)時，逆時針旋轉(zhuǎn)角度取正，順時針旋轉(zhuǎn)角度取負，坐標系數(shù)需要進行三角變換，即T系數(shù)變換：

T=cosθ -sinθsinθ cosθ（6）

3 IFS碼引入隨機參數(shù)

在構(gòu)造森林時，考慮到森林中樹的隨機性，可以將隨機參數(shù)引入IFS碼。但不同的樹木分形特征差異較大，如楓葉與蕨類植物的葉子具有極大的差異性[4]，可以構(gòu)造不同的仿射變換來生成分形樹，如圖4第一棵樹與第二棵樹是兩個不同時令不同物種的分形樹。

同一種對象的仿射變換特征相似，可以引入隨機函數(shù)構(gòu)造同一物種不同外觀的樹或樹葉。圖5是引入了隨機參數(shù)到IFS后生成的同一物種不同外觀的樹葉。

4 結(jié)語

自然界有許多具有自相似特性的分形結(jié)構(gòu)，如雪花、分形厥、樹冠等，通過分析分形圖整體與局部的仿射變換特性，計算出仿射變換的旋轉(zhuǎn)、平移、縮放指數(shù)，構(gòu)成IFS碼，就可以對分形實物進行仿真[5]。但這種分析方式對大自然中具有不規(guī)則變換特性的分形圖仿真效果較差，找到較為準確的IFS碼需要多次嘗試。下一步研究擬提出仿射變換建模算法，以提高IFS碼生成效率與仿真準確率。

參考文獻：

[1] 朱華，姬翠翠.分形理論及其應用[M].北京：科學出版社， 2011.

[2] 徐桂楠.數(shù)字藝術設計中的科學美 [J].科教文匯，2014（5）：132-133.

[3] 陶薇薇.基于數(shù)學分形生成數(shù)字藝術作品的方法研究[J].藝術品評，2017（1）：408-410.

[4] 朱海祥.基于 IFS 法的分形圖形生成及優(yōu)化設計[J].高師理科學刊，2016（36）：29-30.

[5] 劉志勇.基于分形技術與Matlab的樹葉形態(tài)模擬仿真[J].重慶職業(yè)技術學院學報，2007 （16）：141-142.endprint