簡(jiǎn)單電磁問(wèn)題分析中的舉一反三

譚康伯， 路宏敏， 蘇 濤

(西安電子科技大學(xué) 電子工程學(xué)院， 陜西 西安 710071)

簡(jiǎn)單電磁問(wèn)題分析中的舉一反三

譚康伯， 路宏敏， 蘇 濤

(西安電子科技大學(xué) 電子工程學(xué)院， 陜西 西安 710071)

根據(jù)本科高年級(jí)電磁相關(guān)專業(yè)研究型教學(xué)實(shí)際情況，在有關(guān)電磁基本概念、基本原理、基本方法的基礎(chǔ)上適當(dāng)引伸，以電磁學(xué)中的一個(gè)簡(jiǎn)明靜場(chǎng)問(wèn)題為例，對(duì)電磁數(shù)值分析教學(xué)中的三種重要方法：差分法、矩量法、有限元進(jìn)行了討論分析。通過(guò)舉一反三，進(jìn)一步啟發(fā)研究型教學(xué)中的問(wèn)題處理多樣性。

電磁；靜場(chǎng)；數(shù)值分析

0 引言

在本科專業(yè)教學(xué)中，一個(gè)重要的要求就是不斷引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建專業(yè)知識(shí)框架和聯(lián)絡(luò)。對(duì)電磁專業(yè)研究型教學(xué)而言，在基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)時(shí)，對(duì)基本概念、基本原理、基本方法(本文簡(jiǎn)稱三基)等相關(guān)內(nèi)容提出了相當(dāng)高的要求。不僅僅要求能通過(guò)教學(xué)認(rèn)識(shí)基本規(guī)律，還要能從中啟發(fā)靈活、多變的思想和方法來(lái)促進(jìn)對(duì)于后續(xù)可能遇到的實(shí)際問(wèn)題的分析和解決?；A(chǔ)知識(shí)教學(xué)作為堅(jiān)實(shí)的樹(shù)根和樹(shù)干，需要為后續(xù)專業(yè)知識(shí)教學(xué)的樹(shù)冠上豐富多彩的內(nèi)容提供支撐。靈動(dòng)的思維是學(xué)生進(jìn)行高階段深入學(xué)習(xí)、研究和工作的有力促證。正因?yàn)槿绱?，在電磁相關(guān)專業(yè)研究型教學(xué)中，從簡(jiǎn)單問(wèn)題出發(fā)，不斷引伸、擴(kuò)展、深入、聯(lián)系是非常重要的。

對(duì)此，本文以相應(yīng)電磁三基知識(shí)框架為出發(fā)點(diǎn)，以簡(jiǎn)單的二維靜場(chǎng)問(wèn)題為例，著重探討了基于同一問(wèn)題的發(fā)散型分析方法，舉一反三，加強(qiáng)和促進(jìn)對(duì)問(wèn)題處理多樣性的理解，進(jìn)而表明在電磁教學(xué)實(shí)踐中，基本概念、基本原理、基本方法基礎(chǔ)之上的適當(dāng)引伸對(duì)于基礎(chǔ)教學(xué)與研究型教學(xué)間聯(lián)系和啟發(fā)的重要性。

1 問(wèn)題模型的基礎(chǔ)

靜電場(chǎng)是指相對(duì)于觀察者靜止的電荷產(chǎn)生的場(chǎng)。從歷史的角度來(lái)看，人類在對(duì)于靜電問(wèn)題的實(shí)踐過(guò)程中，由“定性”—“定量”的認(rèn)識(shí)飛躍過(guò)程是科學(xué)發(fā)展的必然，其中卡文迪許、庫(kù)侖、高斯等偉大的科學(xué)家為此做出了巨大的貢獻(xiàn)。定量分析必須借助于數(shù)學(xué)手段。由基本定義可知，靜電場(chǎng)不隨時(shí)間變化，故需關(guān)注其空間分布特征。靜電場(chǎng)是一個(gè)矢量場(chǎng)，于是從矢量分析的角度就需要對(duì)其所對(duì)應(yīng)的旋度和散度進(jìn)行討論。對(duì)此，靜電場(chǎng)的數(shù)學(xué)特征可以總結(jié)為

(1)

式(1)表明對(duì)于靜電場(chǎng)性質(zhì)特征的認(rèn)識(shí)。旋度特征描述了靜電力是保守力，靜電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)。散度特征則表示電荷所產(chǎn)生場(chǎng)區(qū)的分布特性，真空中任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的散度等于該點(diǎn)的電荷密度與介電常數(shù)之比。若場(chǎng)區(qū)為無(wú)源自由區(qū)，那么根據(jù)矢量分析中的重要關(guān)系：梯度場(chǎng)無(wú)旋，以及電磁學(xué)知識(shí)引入的電位φ的定義，則通過(guò)對(duì)上面兩個(gè)關(guān)系的考慮，就可以進(jìn)一步得到相應(yīng)靜電場(chǎng)問(wèn)題的支配方程：

▽2φ=0

(2)

其中，▽2為L(zhǎng)aplace算子。如果不只是停留在這些一般性的定性認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上，需要進(jìn)一步關(guān)注具體靜電問(wèn)題的分布特征時(shí)，就需要定量處理。

2 問(wèn)題分析的原理

一般而言，在電磁場(chǎng)中，“支配方程+邊界條件”構(gòu)成了相關(guān)電磁問(wèn)題的分析解決方案。具體求解方法包括：解析法、半解析法和數(shù)值法。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)值法已成為一種非常實(shí)用且重要的分析方法。相關(guān)電磁問(wèn)題的求解實(shí)際上是電磁科學(xué)和計(jì)算科學(xué)的共同體，兩者是通過(guò)工程數(shù)學(xué)有機(jī)結(jié)合起來(lái)的，而矩陣(Matrix)在中間發(fā)揮了突出作用。簡(jiǎn)言之，電磁數(shù)值方法的關(guān)鍵作用就是將相關(guān)“支配算子方程”轉(zhuǎn)化為“矩陣代數(shù)方程”。

3 問(wèn)題的分析處理

3.1 問(wèn)題模型建立

在電磁場(chǎng)中，靜電問(wèn)題有其簡(jiǎn)潔的特點(diǎn)，雖然與其相關(guān)問(wèn)題及處理具有特殊性，但其中所反映的思想、原理并不失一般規(guī)律。首先建立一個(gè)簡(jiǎn)單的2D靜電問(wèn)題模型。在二維空間中，設(shè)有一方形區(qū)域，簡(jiǎn)單起見(jiàn)，取區(qū)域四邊邊長(zhǎng)各為3，上邊電位為100 V，其它三邊為0 V，求其中待求場(chǎng)區(qū)的電位。下面將具體圍繞該問(wèn)題來(lái)展開(kāi)數(shù)值分析和討論。

3.2 途徑1—差分法

采用有限差分法對(duì)該問(wèn)題分析。該方法處理問(wèn)題的一個(gè)關(guān)鍵是：實(shí)現(xiàn)微分到差分的轉(zhuǎn)化。由前面基礎(chǔ)理論可知，該問(wèn)題的支配算子方程為L(zhǎng)aplace方程，在2D情況下可以進(jìn)行微分～差分(轉(zhuǎn)變)處理：

▽2φ=0

～

～

(3)

為了便于計(jì)算，對(duì)該問(wèn)題區(qū)域進(jìn)行離散剖分。每個(gè)邊分為N份，其等分間距為Δx=Δy=3/N，于是整個(gè)問(wèn)題區(qū)域形成了(N+1)2個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中待求場(chǎng)點(diǎn)為區(qū)域中心的(N-1)2個(gè)點(diǎn)。

若以場(chǎng)量的下標(biāo)i和j分別表示x和y方向上的位置指標(biāo)，則本例的差分分析圖示如圖1所示。

圖1 差分分析圖示

將待求場(chǎng)點(diǎn)代到式(3)中的差分方程中，可以進(jìn)一步得到如下方程組：

φi+1,j-2φi,j+φi-1,j+φi,j+1-2φi,j+φi,j-1=0, (i,j=1,2,3…,N+1)

(4)

值得指出的是，上面(N-1)2個(gè)方程中有4(N-1)個(gè)量通過(guò)邊界條件是已知的。通過(guò)對(duì)方程組中待求場(chǎng)量各項(xiàng)的合并，并將確定場(chǎng)量移到各個(gè)方程等號(hào)的右端，則可以得到如下矩陣代數(shù)方程：

AX=B

(5)

其中，X為待求場(chǎng)量組成的列向量，A為確定的對(duì)稱系數(shù)矩陣，B為確定場(chǎng)量組成的列向量。通過(guò)對(duì)該方程的求解就可以得到待求場(chǎng)量X=A-1B。

3.3 途徑2—矩量法

(6)

其中{(x,y)?D}，待求的未知函數(shù)是產(chǎn)生邊界上電位的電荷線密度ρ(x,y)。將邊界剖分成N個(gè)小段，每段ln長(zhǎng)為2b，b=2·3/N。采用脈沖函數(shù)

(7)

作為分域基函數(shù)，將待求電荷線密度函數(shù)展開(kāi)，于是有

(8)

從上式可以看到，只要求得系數(shù)an則可得到電荷的線密度的分布情況。定義適合于該問(wèn)題的內(nèi)積為∫?Df(x,y)g(x,y)dl。將前面電荷線密度的展開(kāi)式代入上式，并且取檢驗(yàn)函數(shù)為：wm=δ(x-xm)δ(y-ym)，其中，(xm,ym)為每段 的中點(diǎn)，則得相應(yīng)矩陣代數(shù)方程：

[lm,n][an]=[gm]

(9)

其中

gm=∫?Dδ(x-xm)δ(y-ym)Vdl

通過(guò)對(duì)于上面矩陣代數(shù)方程的求解，就可以得到電荷線密度分布函數(shù)的系數(shù)[an]=[lm,n]-1[gm]。圖2給出了分析中的矩量離散形式。

在此基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步得到待求場(chǎng)點(diǎn)的靜電位：

(10)

圖2 矩量分析圖示

3.4 途徑3—有限元

通過(guò)有限元方法也可對(duì)本問(wèn)題進(jìn)行分析。有限元方法的實(shí)質(zhì)是建立與問(wèn)題靜電能有關(guān)的泛函，并分析其變分。對(duì)于本文問(wèn)題，可以建立其所對(duì)應(yīng)的泛函為

(11)

其中，D為整個(gè)問(wèn)題區(qū)域。在具體分析時(shí)往往要借助化整為零的技巧，即將總的能量分析轉(zhuǎn)換為在一個(gè)三角網(wǎng)格上的分析，即H=ΣHn。對(duì)全部三角網(wǎng)格及節(jié)點(diǎn)編號(hào)，其規(guī)則如下：①將所有網(wǎng)格按照從1到2N2編號(hào)；②將所有節(jié)點(diǎn)從1編號(hào)到(N+1)2，為全局編號(hào)；③對(duì)每個(gè)網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)從l1、2l、3l編號(hào)，為局部編號(hào)。由于邊界上節(jié)點(diǎn)的場(chǎng)量是已知的，因此僅需分析待求場(chǎng)量的節(jié)點(diǎn)。

圖(3)給出了分析中的有限元網(wǎng)格劃分規(guī)則和局部編號(hào)規(guī)則。

圖3 有限元分析圖示

按照?qǐng)D中的規(guī)則，在整個(gè)網(wǎng)格劃分中，分為兩類：上三角網(wǎng)格和下三角網(wǎng)格，且所有網(wǎng)格取向與圖中所示臨近網(wǎng)格去向一致。網(wǎng)格的劃分依據(jù)先按x向增大，再y向遞增的逐次遞增編號(hào)。通過(guò)離散處理，將問(wèn)題區(qū)域劃分為2N2個(gè)等腰直角網(wǎng)格，進(jìn)而形成了(N+1)2節(jié)點(diǎn)。對(duì)第 個(gè)網(wǎng)格的電位可分別用三個(gè)節(jié)點(diǎn)上的電位做線性插值：

(12)

同時(shí)考慮在分析中，對(duì)三角網(wǎng)格的形狀函數(shù)進(jìn)行展開(kāi)

(13)

其中，An=(y2-y3)x1+(y3-y1)x2+(y1-y2)x3。上式中的所有坐標(biāo)都使用的是局部編號(hào)。接下來(lái)可以構(gòu)建[tn]和各個(gè)網(wǎng)格所對(duì)應(yīng)的能量：

(14)

由前面分析可知，三角網(wǎng)格分為兩類。根據(jù)問(wèn)題特點(diǎn)，這里采用等腰直角網(wǎng)格，因此，上面的局部分析結(jié)果也分兩類。對(duì)于下三角網(wǎng)格有：

而對(duì)于上三角網(wǎng)格：

于是進(jìn)一步的對(duì)應(yīng)可以得到：

(15)

根據(jù)變分原理的條件，對(duì)剖分所得2N2個(gè)局部關(guān)系進(jìn)行整理，則可得到關(guān)于(N+1)2個(gè)節(jié)點(diǎn)的方程組：

(16)

解該代數(shù)方程即可確定電位分布。

3.5 結(jié)果分析及討論

為了表明上面三種分析途徑的有效性，基于不同途徑，分別對(duì)前面所建立的統(tǒng)一的二維靜電問(wèn)題模型進(jìn)行細(xì)致分析，得到結(jié)果如下圖所示：

(a)差分法； (b)矩量法； (c)有限元圖4 三種方法分析結(jié)果對(duì)比

通過(guò)對(duì)比可以看到，對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題，三種方法計(jì)算結(jié)果吻合良好。值得注意的是，通過(guò)上面的分析還可以看到，不同方法各有其特點(diǎn)，在實(shí)際使用過(guò)程中，往往需要和具體問(wèn)題特點(diǎn)相結(jié)合，才能更為高效的發(fā)揮其自身優(yōu)勢(shì)。在本文問(wèn)題模型的分析中，通過(guò)具體分析過(guò)程可以知道，有限差分法較之其它兩種相對(duì)較優(yōu)。另外，數(shù)值方法存在一定的誤差取舍。通常，當(dāng)減小剖分間距的尺寸或增大離散網(wǎng)格數(shù)量時(shí)，可以得到更為細(xì)致的場(chǎng)分布特性。通過(guò)以上對(duì)比可以感受到，在實(shí)際問(wèn)題分析中可以采用多種靈活的途徑，具體路徑的選擇則需要根據(jù)實(shí)際條件合理選擇。

4 結(jié)語(yǔ)

大學(xué)本科研究型教學(xué)實(shí)際中，從基本知識(shí)框架著眼，通過(guò)典型問(wèn)題入手，把不同知識(shí)進(jìn)行對(duì)比、聯(lián)系將對(duì)學(xué)生的相關(guān)專業(yè)學(xué)習(xí)具有重要意義。

在電磁相關(guān)學(xué)科本科教學(xué)實(shí)踐中，因涉及較多數(shù)理專業(yè)知識(shí)，使得許多學(xué)生出現(xiàn)不能積極拓展思維，將多種知識(shí)形成聯(lián)系的問(wèn)題。對(duì)此，本文從大處著眼，小處著手，以電磁專業(yè)本科教學(xué)實(shí)踐為研究背景，通過(guò)典型問(wèn)題研究，探索教學(xué)活動(dòng)中問(wèn)題分析、多樣性解決問(wèn)題及相關(guān)基本概念、基本原理、基本方法(三基)的重要作用，討論問(wèn)題處理思想的拓展。

由聚攏到發(fā)散，再由發(fā)散到聚攏……這種思想的啟發(fā)對(duì)于教學(xué)非常重要，為了更好地啟發(fā)多數(shù)學(xué)生能夠更為有效的從多角度來(lái)思考電磁知識(shí)與計(jì)算知識(shí)的相互關(guān)系，一題多解是一種有效的方法[7]。

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[5] 鄔大光, 趙婷婷, 李梟鷹, 梁燕玲, 李國(guó)強(qiáng). 高等教育強(qiáng)國(guó)的內(nèi)涵、本質(zhì)與基本特征[J]. 北京: 中國(guó)高教研究, 2010. 1: 4-10

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[7] 梁昌洪. 科學(xué)隨想錄[M]. 西安: 陜西人民教育出版社, 2012

Inspiration from the Analysis of the Simple Electromagnetic Problem

TAN Kang-bo, LU Hong-min, SU Tao

(SchoolofElectricEngineering,XidianUniversity,Xi'an710071,China)

Based on the practical practices in the teaching mode of researching to the juniors and seniors at the electromagnetic related specialties, the basic concepts, the basic principles, and the basic methods are focused and investigated. With the assistance of simple statistic electric problem in electromagnetics, three typical numerical methods, that is differential method, method of moment, and finite element method, are investigated on the basis of the above consideration. Through drawing inferences, the diversity of the problem solving is inspired in the teaching mode of researching.

electromagnetic; statistic field; numerical methods

2016-09-06;

2017-02-08

陜西省精品資源共享課程項(xiàng)目(201522)、陜西省專業(yè)綜合改革試點(diǎn)項(xiàng)目(201409)

譚康伯(1981-)，男，博士，副教授，主要從事電磁兼容、天線與微波工程教學(xué)與研究等工作，E-mail：kbtan@mail.xidian.edu.cn

G420，G642.0，O441，TN802

A

1008-0686(2017)04-0105-05