球面鏡像法的討論

王 楠， 黨曉杰， 袁浩波， 梁昌洪

(西安電子科技大學(xué) 電子工程學(xué)院， 陜西 西安 710071)

球面鏡像法的討論

王 楠， 黨曉杰， 袁浩波， 梁昌洪

(西安電子科技大學(xué) 電子工程學(xué)院， 陜西 西安 710071)

鏡像法是靜電場邊值問題中的重要方法，是電磁場教學(xué)中的重點之一。本文對球面的鏡像法展開討論，通過教學(xué)中得到的反饋和總結(jié)，以唯一性定理為基礎(chǔ)，使用待定系數(shù)法，重新推導(dǎo)了球面鏡像法的鏡像電荷及其擺放位置。本文推導(dǎo)使用更一般的假設(shè)，推導(dǎo)過程更詳細，可以作為“電磁場與電磁波”課程的教師和學(xué)習(xí)者有益的參考。

球面鏡像法；邊值問題；電磁場與電磁波

0 引言

鏡像法是求解靜電場邊值問題的一種特殊方法，它主要用來求分布在導(dǎo)體附近的電荷產(chǎn)生的場，是“電磁場與電磁波”課程中的教學(xué)重點之一。

球面鏡像法是鏡像法中的一個典型問題，問題的提法可以寫為：一個半徑為a的接地導(dǎo)體球，距離球心d處的外部放置一個點電荷，求球外任意一點的電位，如圖1所示[1]。

鏡像法的關(guān)鍵是求解具有等效導(dǎo)體作用的鏡像電荷，球面鏡像法也是如此，它的等效問題可見圖2，使用原電荷q和鏡像電荷q′組合在一起等效原問題，其中

(1)

圖1 球面鏡像法原問題

圖2 球面鏡像法的等效問題

筆者在教學(xué)過程中接觸過的專業(yè)教材中，球面鏡像電荷的推導(dǎo)，均使用了這樣的表述：“從對稱性考慮，鏡像電荷q′應(yīng)置于球心與電荷q的連線上”[2-4]。以此直接將鏡像電荷位置固定，這樣的假設(shè)符合唯一性定理的要求，但是可能會引起一些學(xué)生的困惑，這種困惑從學(xué)生的課后反饋中也有所體現(xiàn)。基于此，本文以唯一性定理為基礎(chǔ)，從待定系數(shù)法出發(fā)，將鏡像電荷置于待求區(qū)域外的任意位置，重新推導(dǎo)式(1)中的鏡像電荷及其擺放位置，以供教學(xué)和學(xué)習(xí)時的參考。

1 等效問題的建立

根據(jù)唯一性定理，如果等效問題在待求區(qū)域中同時滿足與原問題相同的電位方程和邊界條件，則等效問題是唯一正確的。

原問題滿足的方程為無源區(qū)的拉普拉斯方程

▽2φ=0

(2)

原問題滿足的邊界條件為

無窮遠處,φ=0

(3)

球面上,φ=0

(4)

1.1 鏡像電荷的設(shè)置

等效問題的鏡像電荷不能影響原問題待求區(qū)域的電荷分布，因此本文假設(shè)鏡像電荷位于球面內(nèi)部，與球心距離為d，與球心和電荷q連線的垂直距離為h，電量為q′，如圖3所示，這樣的鏡像電荷設(shè)置具有一般性。

圖3 新的等效問題

1.2 等效問題的方程

在等效問題中，根據(jù)點電荷的電位計算，可知待求區(qū)任意一點的電位寫為

(5)

其中r1,r2分別是原電荷與鏡像電荷到觀察點的距離，如圖4所示。

圖4 待求區(qū)域任意一點的電位

很明顯等效問題在待求區(qū)域滿足無源區(qū)的拉普拉斯方程，與原問題相同。

1.3 等效問題的邊界條件

等效問題的方程與原問題相同，接下來，如果式(5)中的電位解可以滿足原問題的邊界條件，則即是唯一正確的解，這樣可以使用待定系數(shù)法，根據(jù)邊界條件解出位置b,h和電量q′即可。

由于等效問題是點電荷系統(tǒng)，自動滿足式(3)中的邊界條件，只需要考慮邊界條件式(4)。

2 邊界條件的選用

根據(jù)條件式(4)，為了使用待定系數(shù)法，我們在半徑為a的球面上選取三個特殊位置。

2.1 近原電荷點

如圖5所示，第一個特殊位置取在球面上距離原電荷最近的A點，它在原電荷與球心的連線上。

圖5 近原電荷點

如圖5所示，根據(jù)幾何關(guān)系可知

(6)

原問題球面上電位為零，聯(lián)立式(5)可得

(7)

2.2 遠原電荷點

如圖7所示，第二個特殊位置取在球面上距離原電荷最遠的B點，它也在原電荷與球心的連線上。

圖7 遠原電荷點

如圖7所示，根據(jù)幾何關(guān)系可知

(8)

原問題球面上電位為零，聯(lián)立式(5)可得

(9)

2.3 垂線交點

如圖8所示，第三個特殊位置取在球面上的C點，它與球心和原電荷構(gòu)成直角三角形。

圖8 垂線交點

如圖8所示，根據(jù)幾何關(guān)系可知

(10)

原問題球面上電位為零，聯(lián)立式(5)可得

(11)

3 待定系數(shù)求解鏡像電荷

通過滿足邊界條件的三個特殊點，我們得到了三個方程式(7)、式(9)、式(11)，求解它們即可得到鏡像電荷的位置和電量。

式(11)除以式(7)，可得

(12)

等號兩邊平方，可得

(13)

同理，式(11)除以式(9)，兩邊平方之后可得

(14)

式(13)加上式(14)，可得

(15)

整理之后可得

h=0

(16)

式(13)除以式(14)，可得

(17)

整理可得

4adh2=2a(d-b)(db-a2)

(18)

將式(16)代入，可知

b=d

(19a)

或者

(19b)

鏡像電荷必須在待求區(qū)域內(nèi)，因此舍棄式(19a)，最終可以總結(jié)出，鏡像電荷放置的位置為

(20)

將式(20)代入式(7)，可得鏡像電荷的電量為

(21)

4 結(jié)語

本文從“電磁場與電磁波”課程教學(xué)實際出發(fā)，對靜電場邊值問題的球面鏡像法進行討論。以唯一性定理為基礎(chǔ)，使用待定系數(shù)法，重新推導(dǎo)了球面鏡像法的鏡像電荷及其擺放位置。與現(xiàn)有教材中的內(nèi)容相比，本文推導(dǎo)的前提更一般，推導(dǎo)過程更詳細，有利于在教學(xué)中輔助學(xué)習(xí)者對鏡像法和唯一性定理的理解。

(王 楠等文)

[1] 孫國安，電磁場與電磁波理論基礎(chǔ)(第二版)[M]，南京：東南大學(xué)出版社，2009

[2] 路宏敏，趙永久，朱滿座，電磁場與電磁波基礎(chǔ)(第二版)[M]，北京：科學(xué)出版社，2015

[3] 路宏敏，趙永久，朱滿座，電磁場與電磁波基礎(chǔ))[M]，北京：科學(xué)出版社，2010

[4] 牛中奇，電磁場理論基礎(chǔ)[M]，北京：電子工業(yè)出版社，2001。

Discussion of Spherical Mirror Method

WANG Nan, DANG Xiao-jie, YUAN Hao-bo, LIANG Chang-hong

(SchoolofElectronicEngineering,XidianUniversity,Xi'an710071，China)

Mirror method is an important method in boundary value problems of electrostatic field and one of the key teaching points in electromagnetic fields. The spherical mirror method is discussed based on feedback and conclusion during teaching process. Method of undeterminated coefficients is introduced according to uniqueness theorem and the position and quantity of electric charge of the image charge are deduced. Compared to derivation in current teaching materials, contents in this paper is proposed in thorough details. The derivation in this paper can be used by teachers and learners as references when performing relating courses.

spherical mirror method; boundary value problems; electromagnetic field and wave

2016-0-21;

2016-11- 23

西安電子科技大學(xué)本科教育教學(xué)改革試點項目(BT1316);西安電子科技大學(xué)教育教學(xué)改革項目；

王 楠(1981-)，男，工學(xué)博士，副教授，主要從事計算電磁學(xué)、電磁兼容、電磁散射的教學(xué)和研究,E-Mail：wangnan@mail.xidian.edu.cn

TN801

A

1008-0686(2017)04-0044-04